Коваріаційна матриця — Вікіпедія

Коваріаційна матриця (або коваріаційна таблиця) в теорії ймовірностей — це квадратна матриця, яка складена з попарних коваріацій і дисперсій двох або більше випадкових величин.

Визначення[ред. | ред. код]

нехай $\mathbf {X} :\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ , $\mathbf {Y} :\Omega \to \mathbb {R} ^{m}$ — два випадкових вектора розмірності $n$ і $m$ відповідно. Нехай також випадкові величини $X_{i},Y_{j},\;i=1,\ldots ,n,\;j=1,\ldots ,m$ мають скінченний другий момент, тобто $X_{i},Y_{j}\in L^{2}$ . Тоді матрицею коваріації $\mathbf {X} ,\mathbf {Y}$ називається

\Sigma =\mathrm {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )=\mathbb {E} \left[(\mathbf {X} -\mathbb {E} \mathbf {X} )(\mathbf {Y} -\mathbb {E} \mathbf {Y} )^{\top }\right],

тобто

\Sigma =(\sigma _{ij})

,

де

\sigma _{ij}=\mathrm {cov} (X_{i},Y_{j})\equiv \mathbb {E} \left[(X_{i}-\mathbb {E} X_{i})(Y_{j}-\mathbb {E} Y_{j})\right],\;i=1,\ldots ,n,\;j=1,\ldots ,m

,

\mathbb {E}

Якщо $\mathbf {X} \equiv \mathbf {Y}$ , то $\Sigma$ називається матрицею коваріації вектора $\mathbf {X}$ і позначається $\mathrm {cov} (\mathbf {X} )$ . Така матриця коваріацій є узагальненням дисперсії для багатовимірної випадкової величини, а її слід — скалярним виразом дисперсії багатовимірної випадкової величини. Власні вектори і власні значення цієї матриці дозволяють оцінити розміри і форму хмари розподілу випадкової величини, апроксимувавши її еліпсоїдом (або еліпсом у двовимірному випадку) .

Цей термін має також інші значення. Наприклад, матрицею коваріації називається матриця, складена з попарних коваріацій різних елементів одного випадкового вектора.