Момент (математика) — Вікіпедія

Моме́нт випадкової величини́ — числова характеристика розподілу даної випадкової величини.

Означення[ред. | ред. код]

Моментом n-того порядку дискретної випадкової величини $\xi$ , яка приймає значення $x_{i}$ з ймовірністю $p_{i}$ , де $i=1,2,3...$ , називається число $M\xi ^{n}=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}^{k}p_{i}$ , якщо цей ряд збігається абсолютно, тобто $M|\xi ^{n}|=\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}^{k}|p_{i}<\infty$ .^[1]

Величина $M|\xi ^{n}|$ називається абсолютним моментом випадкової величини $\xi$ .

Моментом n-того порядку неперервної випадкової величини $\xi$ з густиною $p(x)$ , називається число $M\xi ^{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{k}p(x)dx$ , якщо інтеграл збігається абсолютно, тобто $M|\xi ^{n}|=\int _{-\infty }^{\infty }|x^{k}|p(x)dx<\infty$ .^[1]

Якщо дана випадкова величина $\displaystyle X,$ визначена на деякому імовірнісному просторі, то центра́льним моментом (k -го порядку) випадкової величини $\displaystyle X$ називається величина

\mu _{k}=\mathbb {E} \left[(X-\mathbb {E} X)^{k}\right],

якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.

Початковим моментом k-го порядку називається величина:

\nu _{k}=\mathbb {E} \left[X^{k}\right],

якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.

\displaystyle k

-им факторіальним моментом випадкової величини

\displaystyle X

називається величина

\mu _{k}=\mathbb {E} \left[X(X-1)...(X-k+1)\right],

якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.

Зауваження[ред. | ред. код]

Враховуючи лінійність математичного сподівання центральні моменти можна виразити через початкові, і навпаки. Наприклад:

\displaystyle \mu _{1}=0,

\displaystyle \mu _{2}=\nu _{2}-\nu _{1}^{2},

\displaystyle \mu _{3}=\nu _{3}-3\nu _{1}\nu _{2}+2\nu _{1}^{3},

\displaystyle \mu _{4}=\nu _{4}-4\nu _{1}\nu _{3}+6\nu _{1}^{2}\nu _{2}-3\nu _{1}^{4},

\mu _{k}=\sum \limits _{s=0}^{k}{(-1)^{s}C_{k}^{s}v_{k-s}v_{1}^{s}}

Якщо визначені моменти

\displaystyle k

-го порядку, то визначені і всі моменти нижчих порядків

1\leqslant k'<k.

.

Геометрична інтерпретація деяких моментів[ред. | ред. код]

$\displaystyle \nu _{1}$ дорівнює математичному сподіванню випадкової величини і показує відносне розташування розподілу на числовій прямій.
$\displaystyle \mu _{2}$ дорівнює дисперсії розподілу випадкової величини $\displaystyle (\mu _{2}=\sigma ^{2})$ і показує розсіяння (розкид) довкола середнього значення.
$\displaystyle \mu _{3}$ , будучи відповідним чином нормалізований є числовою характеристикою симетрії розподілу. Точніше, вираз

\gamma _{1}={\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}

називається коефіцієнтом асиметрії.

$\displaystyle \mu _{4}$ контролює, наскільки яскраво виражена верхівка розподілу в околі математичного сподівання. Величина

\gamma _{2}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}-3

називається коефіцієнтом ексцесу розподілу в.в.

\displaystyle X.

Обчислення моментів[ред. | ред. код]

Моменти можна обчислити безпосередньо шляхом інтегрування відповідної функії випадкової величини. Зокрема, для абсолютно неперервного розподілу із щільністю $\displaystyle f(x),$ маємо:

\nu _{k}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x^{k}\,f(x)\,dx,

якщо

\nu _{k}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|x|^{k}\,f(x)\,dx<{+\infty }

,

а для дискретних розподілів із функцією ймовірностей $\displaystyle p(x)$ :

\nu _{k}=\sum \limits _{x}x^{k}\,p(x),

якщо $\nu _{k}=\sum \limits _{x}|x|^{k}\,p(x)<{+\infty }.$

Також початкові моменти випадкової величини можна обчислити використовуючи її характеристичну функцію $\displaystyle \varphi (t)$ :

\nu _{k}=\left.-i^{k}{\frac {d^{k}}{dt^{k}}}\varphi (t)\right\vert _{t=0}.

Якщо розподіл такий, що для нього в деякому околі нуля визначена твірна функція моментів, $\displaystyle M_{X}(t),$ , то початкові моменти можна обчислити використовуючи наступну формулу:

\nu _{k}=\left.{\frac {d^{k}}{dt^{k}}}M_{X}(t)\right\vert _{t=0}.

Можна також розглядати моменти в.в. для значень $k$ , що не є цілими числами. Такий момент, момент, що розглядується як функція від дісного аргументу $k$ , називається перетворення Мелліна.

Можна розглянути моменти багатовимірної випадкової величини. Тоді перший момент буде вектором тієї ж розмірності, другий — тензором другого порядку (див. матриця коваріації) над простором тієї ж розмірності (хоча можна розглянути і слід цієї матриці, що дає скалярне узагальнення дисперсії). Ітд.

Див. також[ред. | ред. код]

Джерела[ред. | ред. код]

Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
Сеньо П. С. (2004). Розділ 4.3. Теорія ймовірностей та математична статистика (вид. 1-e). Київ: Центр навчальної літератури. с. 448.

Примітки[ред. | ред. код]

↑ ^а ^б Єжов С.М. (2001). Теорія ймовірностей, математична статистика і випадкові процеси: Навчальний посібник (PDF) (укр) . К.: ВПЦ "Київський університет". Архів оригіналу за 24 лютого 2007. Процитовано 10 жовтня 2015.

[phys-1] а ^б Єжов С.М. (2001). Теорія ймовірностей, математична статистика і випадкові процеси: Навчальний посібник (PDF) (укр) . К.: ВПЦ "Київський університет". Архів оригіналу за 24 лютого 2007. Процитовано 10 жовтня 2015.

[1]