Коефіцієнт ексцесу — Вікіпедія

Коефіцієнт ексцесу (англ. kurtosis) — числова характеристика розподілу ймовірностей дійсної випадкової величини. Коефіцієнт ексцесу характеризує «крутість», тобто, стрімкість підвищення кривої розподілу у порівнянні з нормальною кривою.^[1]

Визначення[ред. | ред. код]

Ексцесом $\gamma _{2}$ (за Фішером) теоретичного розподілу називають характеристику, що обчислюється за такою формулою:^[1]

\gamma _{2}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}-3

,

де $\mu _{4}$ — центральний момент четвертого порядку, $\sigma ^{2}$ — дисперсія.

Оцінка ексцесу[ред. | ред. код]

Оцінка ексцесу (за Фішером) $\gamma _{2}$ дорівнює:^[2]

g_{2}={\frac {k_{4}}{k_{2}^{2}}},

де $k$ є k-статистиками.

Дисперсія оцінки для нормального розподілу дорівнює:

\mathrm {var} (g_{2})\approx {\frac {24}{N}}.

Коефіцієнт ексцесу Пірсона[ред. | ред. код]

Коефіцієнт ексцесу Пірсона $\beta _{2}$ (англ. Pearson Kurtosis) дорівнює:^[2]

\beta _{2}\equiv {\frac {\mu _{4}}{\mu _{2}^{2}}}.

Властивості[ред. | ред. код]

Для нормального розподілу $(\mu _{4}/\sigma ^{4})=3$ ; із чого випливає, що ексцес нормального розподілу дорівнює нулю. Якщо ексцес деякого розподілу відмінний від нуля, то крива щільності цього розподілу відрізняється від кривої щільності нормального розподілу: якщо ексцес додатній, то крива теоретичного має вищу та «гострішу» вершину ніж крива нормального; якщо ексцес від'ємний, то крива теоретичного має нижчу та «плоскішу» вершину ніж крива нормального. При цьому вважається, що нормальний і теоретичний розподіли мають однакові математичні сподівання та дисперсії.^[1]

Див. також[ред. | ред. код]

Коефіцієнт асиметрії

Джерела[ред. | ред. код]

Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)

Посилання[ред. | ред. код]

↑ ^а ^б ^в Гмурман В. Е. (2003). Теория вероятностей и математическая статистика (вид. 9-те). Высшая школа.
↑ ^а ^б Weisstein, Eric W. (1999). CRC concise encyclopedia of mathematics. Boca Raton, Fla.: CRC Press. ISBN 0-8493-9640-9.

[gmyrman-1] а ^б ^в Гмурман В. Е. (2003). Теория вероятностей и математическая статистика (вид. 9-те). Высшая школа.

[wolfram-2] а ^б Weisstein, Eric W. (1999). CRC concise encyclopedia of mathematics. Boca Raton, Fla.: CRC Press. ISBN 0-8493-9640-9.

[1]

[2]