Взаємна кореляція — Вікіпедія

Частина з циклу Статистика
Кореляція та коваріація
Для випадкових векторів Автокореляційна матриця Взаємна кореляційна матриця[en] Автоковаріаційна матриця Взаємна коваріаційна матриця[en]
Для стохастичних процесів Автокореляційна функція Взаємна кореляційна функція Автоковаріаційна функція Взаємна коваріаційна функція
Для детермінованих сигналів Автокореляційна функція Взаємна кореляційна функція Автоковаріаційна функція Взаємна коваріаційна функція
п о р

В обробці сигналів взаємна кореляція (англ. cross-correlation) — це міра подібності двох рядів як функція зміщення одного відносно іншого. Вона також відома як ковзний скалярний добуток (англ. sliding dot product) та ковзний внутрішній добуток (англ. sliding inner-product). Її зазвичай використовують для пошуку в довгому сигналі коротшої відомої ознаки. Вона має застосування в розпізнаванні образів, аналізі одиничних частинок^[en], електронній томографії^[en], усереднюванні, криптоаналізі та нейрофізіології . Взаємна кореляція за своєю природою подібна до згортки двох функцій. В автокореляції, яка є взаємною кореляцією сигналу з самим собою, завжди буде пік на нульовій затримці, і його розмір буде енергією сигналу.

У теорії ймовірностей та статистиці термін взаємні кореляції стосується кореляцій між елементами двох випадкових векторів ${\displaystyle \mathbf {X} }$ та ${\displaystyle \mathbf {Y} }$, тоді як кореляції випадкового вектора ${\displaystyle \mathbf {X} }$ є кореляціями між елементами самого ${\displaystyle \mathbf {X} }$, що утворюють кореляційну матрицю ${\displaystyle \mathbf {X} }$. Якщо як ${\displaystyle \mathbf {X} }$, так і ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ є скалярними випадковими величинами, які багаторазово реалізуються в часовому ряді, то кореляції різних часових примірників ${\displaystyle \mathbf {X} }$ відомі як автокореляції (англ. autocorrelations) ${\displaystyle \mathbf {X} }$, а взаємні кореляції ${\displaystyle \mathbf {X} }$ із ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ у часі є часовими взаємними кореляціями (англ. temporal cross-correlations). У теорії ймовірностей та статистиці визначення кореляції завжди включає такий стандартувальний коефіцієнт, щоби кореляції мали значення від −1 до +1.

Якщо ${\displaystyle X}$ та ${\displaystyle Y}$ — дві незалежні випадкові величини з функціями густини ймовірності ${\displaystyle f}$ та ${\displaystyle g}$ відповідно, то густина ймовірності різниці ${\displaystyle Y-X}$ формально задається взаємною кореляцією (у сенсі обробки сигналів) ${\displaystyle f\star g}$, проте цю термінологію в теорії ймовірностей та статистиці не використовують. На противагу цьому, згортка ${\displaystyle f*g}$ (еквівалентна взаємній кореляції ${\displaystyle f(t)}$ та ${\displaystyle g(-t)}$) дає функцію густини ймовірності суми ${\displaystyle X+Y}$.

Взаємна кореляція детермінованих сигналів[ред. | ред. код]

Для безперервних функцій ${\displaystyle f}$ та ${\displaystyle g}$ взаємну кореляцію визначають як^[1][2][3]

що рівнозначне

${\displaystyle (f\star g)(\tau )\ \triangleq \int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(t-\tau )}}g(t)\,dt}$

де ${\displaystyle {\overline {f(t)}}}$ позначує комплексне спряжене ${\displaystyle f(t)}$, а ${\displaystyle \tau }$ — зміщення, відоме також як запізнювання (англ. lag; ознака в ${\displaystyle f}$ з ${\displaystyle t}$ трапляється в ${\displaystyle g}$ на ${\displaystyle t+\tau }$).

Якщо ${\displaystyle f}$ та ${\displaystyle g}$ обидві є безперервними періодичними функціями з періодом ${\displaystyle T}$, то інтегрування з ${\displaystyle -\infty }$ до ${\displaystyle \infty }$ замінюється інтегруванням за будь-яким інтервалом ${\displaystyle [t_{0},t_{0}+T]}$ довжини ${\displaystyle T}$:

що рівнозначне

${\displaystyle (f\star g)(\tau )\ \triangleq \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{\overline {f(t-\tau )}}g(t)\,dt}$

Аналогічно, для дискретних функцій взаємну кореляцію визначають як^[4][5]

що рівнозначне

${\displaystyle (f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }{\overline {f[m-n]}}g[m]}$.

Для скінченних дискретних функцій ${\displaystyle f,g\in \mathbb {C} ^{N}}$ (циклічну, англ. circular) взаємну кореляцію визначають як^[6]

що рівнозначне

${\displaystyle (f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=0}^{N-1}{\overline {f[(m-n)_{{\text{mod}}~N}]}}g[m]}$.

Для скінченних дискретних функцій ${\displaystyle f\in \mathbb {C} ^{N}}$, ${\displaystyle g\in \mathbb {C} ^{M}}$ ядрову взаємну кореляцію (англ. kernel cross-correlation) визначають як^[7]

де ${\displaystyle K_{g}=[k(g,T_{0}(g)),k(g,T_{1}(g)),\dots ,k(g,T_{N-1}(g))]}$ — вектор ядрових функцій ${\displaystyle k(\cdot ,\cdot )\colon \mathbb {C} ^{M}\times \mathbb {C} ^{M}\to \mathbb {R} }$, а ${\displaystyle T_{i}(\cdot )\colon \mathbb {C} ^{M}\to \mathbb {C} ^{M}}$ — афінне перетворення.

Зокрема, ${\displaystyle T_{i}(\cdot )}$ може бути перетворенням циклічного перенесення, поворотним та масштабувальним перетворенням тощо. Ядрова взаємна кореляція узагальнює взаємну кореляцію з лінійного простору до ядрового. Взаємна кореляція рівнозначна перенесенню; ядрова взаємна кореляція рівнозначна будь-яким афінним перетворенням, включно з перенесенням, повертанням, масштабуванням тощо.

Пояснення[ред. | ред. код]

Як приклад розгляньмо дві дійснозначні функції ${\displaystyle f}$ та ${\displaystyle g}$, що відрізняються лише невідомим зміщенням уздовж осі x. Взаємною кореляцією можливо скористатися, щоби знайти, наскільки ${\displaystyle g}$ мусить бути зміщено вздовж осі x, щоби зробити її ідентичною до ${\displaystyle f}$. Ця формула по суті соває функцію ${\displaystyle g}$ уздовж осі x, обчислюючи інтеграл від їхнього добутку в кожному положенні. Коли функції збігаються, значення ${\displaystyle (f\star g)}$ є максимальним. Це тому, що коли піки (додатні області) вирівняно, вони роблять великий внесок до інтегралу. Аналогічно, коли вирівнюються западини (від'ємні області), вони також роблять додатний внесок до інтегралу, оскільки добуток двох від'ємних чисел є додатним.

З комплекснозначними функціями ${\displaystyle f}$ та ${\displaystyle g}$ взяття спряження ${\displaystyle f}$ забезпечує, що вирівняні піки (або вирівняні западини) з уявними компонентами робитимуть до інтегралу додатний внесок.

В економетрії взаємну кореляцію з запізнюванням іноді називають взаємною автокореляцією (англ. cross-autocorrelation).^{[8]:с. 74}

Властивості[ред. | ред. код]

Взаємна кореляція випадкових векторів[ред. | ред. код]

Визначення[ред. | ред. код]

Для випадкових векторів ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{m})^{\rm {T}}}$ та ${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})^{\rm {T}}}$, кожен з яких складається з випадкових елементів з відомими математичним сподіваннями та дисперсіями, матрицю взаємної кореляції ${\displaystyle \mathbf {X} }$ та ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ визначають через^[10]:с.337

й вона має розміри ${\displaystyle m\times n}$. У записі по складових:

${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }={\begin{bmatrix}\operatorname {E} [X_{1}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{1}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{1}Y_{n}]\\\\\operatorname {E} [X_{2}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{2}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{2}Y_{n}]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\operatorname {E} [X_{m}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{m}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{m}Y_{n}]\end{bmatrix}}}$

Випадкові вектори ${\displaystyle \mathbf {X} }$ та ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ не зобов'язані мати однакові розміри, й будь-який з них може бути скалярним значенням.

Приклад[ред. | ред. код]

Наприклад, якщо ${\displaystyle \mathbf {X} =\left(X_{1},X_{2},X_{3}\right)^{\rm {T}}}$ та ${\displaystyle \mathbf {Y} =\left(Y_{1},Y_{2}\right)^{\rm {T}}}$ — випадкові вектори, то ${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }}$ — матриця ${\displaystyle 3\times 2}$, чиїм ${\displaystyle (i,j)}$-м елементом є ${\displaystyle \operatorname {E} [X_{i}Y_{j}]}$.

Визначення для комплексних випадкових векторів[ред. | ред. код]

Якщо ${\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{m})^{\rm {T}}}$ та ${\displaystyle \mathbf {W} =(W_{1},\ldots ,W_{n})^{\rm {T}}}$ — комплексні випадкові вектори^[en], кожен з яких містить випадкові величини з відомими математичними сподіваннями та дисперсіями, то матрицю взаємної кореляції ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ та ${\displaystyle \mathbf {W} }$ визначають через

${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }\triangleq \ \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{\rm {H}}]}$

де ${\displaystyle {}^{\rm {H}}}$ позначує ермітове транспонування.

Взаємна кореляція стохастичних процесів[ред. | ред. код]

В аналізі часових рядів і статистиці взаємна кореляція пари випадкових процесів — це кореляція між значеннями цих процесів у різні моменти часу як функція від цих двох моментів часу. Нехай ${\displaystyle (X_{t},Y_{t})}$ — пара випадкових процесів, а ${\displaystyle t}$ — будь-яка точка в часі (${\displaystyle t}$ може бути цілим числом для дискретночасового^[en] процесу, або дійсним числом для процесу неперервночасового^[en]). Тоді ${\displaystyle X_{t}}$ — це значення (або реалізація^[en]), реалізоване в результаті заданого перебігу процесу в момент часу ${\displaystyle t}$.

Взаємна кореляційна функція[ред. | ред. код]

Припустімо, що цей процес у момент часу ${\displaystyle t}$ має середні значення ${\displaystyle \mu _{X}(t)}$ та ${\displaystyle \mu _{Y}(t)}$ і дисперсії ${\displaystyle \sigma _{X}^{2}(t)}$ та ${\displaystyle \sigma _{Y}^{2}(t)}$, для будь-якого ${\displaystyle t}$. Тоді визначенням взаємної кореляції між моментами часу ${\displaystyle t_{1}}$ та ${\displaystyle t_{2}}$ є^[10]:с.392

де ${\displaystyle \operatorname {E} }$ — оператор математичного сподівання. Зауважте, що цей вираз може бути не визначеним.

Взаємна коваріаційна функція[ред. | ред. код]

Віднімання середнього значення перед множенням дає перехресну коваріацію моментів часу ${\displaystyle t_{1}}$ та ${\displaystyle t_{2}}$:^[10]:с.392

Зауважте, що цей вираз не є однозначно визначеним для всіх часових рядів та процесів, оскільки середнє значення або дисперсія можуть не існувати.

Визначення для стаціонарного в широкому сенсі стохастичного процесу[ред. | ред. код]

Нехай ${\displaystyle (X_{t},Y_{t})}$ подає пару стохастичних процесів, спільно стаціонарних у широкому сенсі^[en]. Тоді взаємну коваріаційну та взаємну кореляційну функції задають наступним чином.

Взаємна кореляційна функція[ред. | ред. код]

або, рівнозначно,

${\displaystyle \operatorname {R} _{XY}(\tau )=\operatorname {E} \left[X_{t-\tau }{\overline {Y_{t}}}\right]}$

Взаємна коваріаційна функція[ред. | ред. код]

або, рівнозначно,

${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(\tau )=\operatorname {E} \left[\left(X_{t-\tau }-\mu _{X}\right){\overline {\left(Y_{t}-\mu _{Y}\right)}}\right]}$

де ${\displaystyle \mu _{X}}$ та ${\displaystyle \sigma _{X}}$ — середнє значення та стандартне відхилення процесу ${\displaystyle (X_{t})}$, сталі в часі через стаціонарність; і так само для ${\displaystyle (Y_{t})}$, відповідно. ${\displaystyle \operatorname {E} [\ ]}$ показує математичне сподівання. Те, що взаємні коваріація та кореляція не залежать від ${\displaystyle t}$, — саме додаткова інформація (поза індивідуальною стаціонарністю в широкому сенсі), яку передає вимога, що ${\displaystyle (X_{t},Y_{t})}$ спільно стаціонарні в широкому сенсі.

Взаємну кореляцію пари спільно стаціонарних у широкому сенсі стохастичних процесів можливо оцінювати усереднюванням добутку зразків, виміряних за одним процесом, і зразків, виміряних за іншим (та за його зсувами в часі). Зразки, включені до цього усереднювання, можуть бути довільною підмножиною всіх зразків у сигналі (наприклад, зразки в межах скінченного часового вікна, або підвибірка^[яка?] одного з сигналів). За великої кількості зразків це усереднення збігається до істинної взаємної кореляції.

Унормовування[ред. | ред. код]

Поширеною практикою в деяких дисциплінах (наприклад, у статистиці та аналізі часових рядів) є унормовувати взаємно кореляційну функцію, щоб отримувати залежний від часу коефіцієнт кореляції Пірсона. Проте в деяких інших дисциплінах (наприклад, в інженерії) унормовування зазвичай пропускають, а терміни «взаємна кореляція» та «взаємна коваріація» використовують як взаємозамінні.

Визначення нормованої взаємної кореляції стохастичного процесу:

${\displaystyle \rho _{XX}(t_{1},t_{2})={\frac {\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})}{\sigma _{X}(t_{1})\sigma _{X}(t_{2})}}={\frac {\operatorname {E} \left[\left(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}}\right){\overline {\left(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}}\right)}}\right]}{\sigma _{X}(t_{1})\sigma _{X}(t_{2})}}}$.

Якщо функція ${\displaystyle \rho _{XX}}$ однозначно визначена, її значення мусять лежати в діапазоні ${\displaystyle [-1,1]}$, причому 1 вказує на ідеальну кореляцію, а −1 — на ідеальну антикореляцію^[en].

Для спільно стаціонарних у широкому сенсі стохастичних процесів визначення таке:

${\displaystyle \rho _{XY}(\tau )={\frac {\operatorname {K} _{XY}(\tau )}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}={\frac {\operatorname {E} \left[\left(X_{t}-\mu _{X}\right){\overline {\left(Y_{t+\tau }-\mu _{Y}\right)}}\right]}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}}$.

Унормовування важливе як тому, що інтерпретація автокореляції як кореляції забезпечує безмасштабну міру сили статистичної залежності, так і тому, що унормовування впливає на статистичні властивості оцінюваних автокореляцій.

Властивості[ред. | ред. код]

Властивість симетрії[ред. | ред. код]

Для спільно стаціонарних у широкому сенсі стохастичних процесів взаємно кореляційна функція має таку властивість симетрії:^[11]:с.173

${\displaystyle \operatorname {R} _{XY}(t_{1},t_{2})={\overline {\operatorname {R} _{YX}(t_{2},t_{1})}}}$

Відповідно, для спільно СШС стохастичних процесів:

${\displaystyle \operatorname {R} _{XY}(\tau )={\overline {\operatorname {R} _{YX}(-\tau )}}}$

Аналіз часової затримки[ред. | ред. код]

Взаємні кореляції корисні для визначання часової затримки між двома сигналами, наприклад, для визначання часових затримок поширення акустичних сигналів системою спрямованих мікрофонів.^{[12][13][прояснити: ком.]}  Після обчислення взаємної кореляції між двома сигналами максимум (або мінімум, якщо сигнали корельовані негативно) взаємно кореляційної функції вказує момент часу, коли сигнали узгоджені найкраще; тобто затримка часу між цими двома сигналами визначається аргументом максимуму, або arg max, взаємної кореляції, як у

${\displaystyle \tau _{\mathrm {delay} }={\underset {t\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}((f\star g)(t))}$

Термінологія в обробці зображень[ред. | ред. код]

Центрована нормована взаємна кореляція (ЦНВК)[ред. | ред. код]

Для застосувань в обробці зображень, у яких яскравість зображення та шаблону може змінюватися залежно від умов освітлення та експозиції, зображення можуть спочатку унормовувати. Зазвичай це роблять на кожному кроці шляхом віднімання середнього значення та ділення на стандартне відхилення. Тобто, взаємна кореляція шаблону ${\displaystyle t(x,y)}$ з підзображенням ${\displaystyle f(x,y)}$ — це

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{x,y}{\frac {1}{\sigma _{f}\sigma _{t}}}\left(f(x,y)-\mu _{f}\right)\left(t(x,y)-\mu _{t}\right)}$

де ${\displaystyle n}$ — число пікселів у ${\displaystyle t(x,y)}$ та ${\displaystyle f(x,y)}$, ${\displaystyle \mu _{f}}$ — усереднення ${\displaystyle f}$, а ${\displaystyle \sigma _{f}}$ — стандартне відхилення ${\displaystyle f}$.

З погляду функціонального аналізу це можливо розглядати як добуток двох унормованих векторів. Тобто, якщо

${\displaystyle F(x,y)=f(x,y)-\mu _{f}}$

та

${\displaystyle T(x,y)=t(x,y)-\mu _{t}}$

то наведена вище сума дорівнює

${\displaystyle \left\langle {\frac {F}{\|F\|}},{\frac {T}{\|T\|}}\right\rangle }$

де ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ — скалярний добуток, а ${\displaystyle \|\cdot \|}$ — норма L². З Коші — Буняковського тоді випливає, що ЦНВК (англ. zero-normalized cross-correlation, ZNCC) має діапазон ${\displaystyle [-1,1]}$.

Таким чином, якщо ${\displaystyle f}$ та ${\displaystyle t}$ є дійснозначними матрицями, то їх нормована взаємна кореляція дорівнює косинусу кута між одиничними векторами ${\displaystyle F}$ та ${\displaystyle T}$, будучи відтак ${\displaystyle 1}$ тоді й лише тоді, коли ${\displaystyle F}$ дорівнює ${\displaystyle T}$, помноженому на додатний скаляр.

Нормована кореляція — це один із методів, які використовують для зіставляння з шаблоном^[en], процесу, який використовують для пошуку зразків або об'єктів у зображенні. Вона також є двовимірною версією коефіцієнту кореляції моменту добутку Пірсона.

Нормована взаємна кореляція (НВК)[ред. | ред. код]

НВК (англ. normalized cross-correlation, NCC) подібна до ЦНВК, з тією лише відмінністю, що не віднімається локальне середнє значення освітленостей:

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{x,y}{\frac {1}{\sigma _{f}\sigma _{t}}}f(x,y)t(x,y)}$

Нелінійні системи[ред. | ред. код]

При використанні взаємної кореляції для нелінійних систем необхідно бути обережними. За певних обставин, які залежать від властивостей вхідних даних, взаємна кореляція між входом і виходом системи з нелінійною динамікою може бути повністю сліпою до певних нелінійних ефектів.^[14] Ця проблема виникає через те, що деякі квадрати моментів можуть дорівнювати нулеві, й це може помилково підказувати, що між двома сигналами існує невелика «кореляція» (у сенсі статистичної залежності), хоча насправді ці два сигнали сильно пов'язані нелінійною динамікою.

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

• Tahmasebi, Pejman; Hezarkhani, Ardeshir; Sahimi, Muhammad (2012). Multiple-point geostatistical modeling based on the cross-correlation functions. Computational Geosciences. 16 (3): 779—797. doi:10.1007/s10596-012-9287-1. (англ.)

Посилання[ред. | ред. код]

• Взаємна кореляція від Mathworld [Архівовано 30 серпня 2020 у Wayback Machine.] (англ.)
• http://scribblethink.org/Work/nvisionInterface/nip.html [Архівовано 22 квітня 2022 у Wayback Machine.] (англ.)
• http://www.staff.ncl.ac.uk/oliver.hinton/eee305/Chapter6.pdf [Архівовано 1 серпня 2020 у Wayback Machine.](англ.)

п о р Статистика Нарис Індекс[en]   Описова статистика Неперервні дані Центр Середнє арифметичне геометричне гармонійне середні зважені Медіана Мода Розкид Дисперсія Стандартне відхилення Коефіцієнт варіації Перцентиль Розмах Міжквартильний розмах Форма Центральна гранична теорема Момент Асиметрія Ексцес L-момент Чисельні дані Індекс дисперсії Підсумкові таблиці Згруповані дані Частотний розподіл Таблиця спряженості Залежність Коефіцієнт кореляції Пірсона Кореляція рангу ρ Спірмена τ Кендала Часткова кореляція Точкова діаграма Графіки Стовпчикова діаграма Подвійний графік Коробковий графік Контрольна карта Корелограма Віялова діаграма Лісова діаграма Гістограма Секторна діаграма Графік Q-Q Графік біжучої послідовності Точкова діаграма Діаграма «стовбур — листя» Пелюсткова діаграма Скрипкова діаграма   Збирання даних Планування дослідження Генеральна сукупність Статистика Розмір ефекту[en] Статистична потужність Оптимальний план Вибірка Визначення розмірів вибірки Реплікація[en] Пропущені дані[en] Методологія дослідження Відбір вибірки стратифікований кластерний Стандартне відхилення середнього арифметичного Опитування Анкетування Активні експерименти Науковий контроль Рандомізований експеримент Контрольоване дослідження Випадкове призначування[en] Групування Взаємодія (статистика) Повний факторний експеримент Адаптивне планування Адаптивне клінічне випробування[en] Збільшувально-зменшувальні плани[en] Стохастичне наближення[en] Пасивні дослідження Поперечне дослідження Когортне дослідження Природний експеримент Квазі-експеримент   Статистичне висновування Теорія статистики Генеральна сукупність Статистика Розподіл імовірності Вибірковий розподіл порядкова статистика Емпіричний розподіл оцінка густини Статистична модель визначення моделі[en] простір Lp Параметр зсуву масштабу форми Параметричне сімейство[en] правдоподібність (монотонна)[en] зсувно-масштабне сімейство[en] експоненційне сімейство[en] Повнота[en] Достатність Статистичний функціонал[en] натяжка U[en] V[en] Оптимальне рішення функція втрат Ефективність[en] Статистична відстань[en] розходження[en] Асимптотика[en] Робастність Частотницьке висновування Точкова оцінка Оцінні рівняння[en] максимальна правдоподібність метод моментів M-оцінювач[en] мінімальна відстань[en] Незміщені оцінки усереднено-незміщена мінімально-дисперсійна[en] Рао — Блеквелізування теорема Леманна — Шеффе[en] Медіана Замінна[en] Інтервальне оцінювання[en] Довірчий інтервал Центральна величина[en] Інтервал правдоподібності Прогнозний інтервал[en] Толерантний інтервал[en] Перевибірка[en] натяжка складаний ніж Перевірка гіпотез 1- та 2-бічна[en] Потужність рівномірно найпотужніший критерій[en] Критерій перестановок критерій рандомізації[en] Множинні порівняння Параметричні критерії[en] Відношення правдоподібностей Множники Лагранжа[en] Вальд[en] Спеціальні критерії Z-критерій (нормальний) t-критерій Стьюдента F-критерій Допасованість Хі-квадрат G-критерій[en] Колмогорова-Смирнова Андерсона–Дарлінга Ліллієфорса[en] Харке–Бера[en] Нормальність (Шапіро–Вілка)[en] Перевірка відношенням правдоподібностей Обирання моделі Перехресне затверджування ІКА БІК Ранжувальні статистики Знаків[en] вибіркова медіана[en] Знаковий ранг (Уілкоксона)[en] оцінювач Ходжеса–Лемана[en] Рангова сума (Манна–Уітні) Непараметричний[en] дисперсійний аналіз 1-бічний (Краскела–Уоліса)[en] 2-бічний (Фрідмана) впорядкована альтернатива (Джонкгіра–Терпстра)[en] Баєсове висновування Баєсова ймовірність апріорна апостеріорна Імовірний інтервал Коефіцієнт Баєса Баєсова оцінка Оцінка апостеріорного максимуму   Кореляційний та регресійний аналіз Кореляція Коефіцієнт кореляції Пірсона Часткова кореляція Змішувальна змінна Коефіцієнт детермінації Регресійний аналіз Похибки та залишки Регресійне затверджування[en] Моделі змішаних впливів Система одночасних рівнянь[en] Сплайни багатовимірної адаптивної регресії (MARS)[en] Лінійна регресія Проста лінійна регресія Звичайний метод найменших квадратів[en] Загальна лінійна модель Баєсова лінійна регресія Нестандартні передбачувачі Нелінійна регресія[en] Непараметрична[en] Напівпараметрична[en] Ізотонічна[en] Робастна[en] Гетероскедастичність Гомоскедастичність Узагальнена лінійна модель[en] Експоненційні сімейства[en] Логістична (Бернуллі) / Біноміальна регресія[en] / Регресія Пуассона Розбиття дисперсії[en] Дисперсійний аналіз (ANOVA) Коваріаційний аналіз Багатовимірний дисперсійний аналіз (MANOVA)[en] Ступені вільності   Категорійний / багатовимірний аналіз / аналіз часових рядів / виживаності Категорійний Каппа Коена[en] Таблиця спряженості Графова модель Логарифмічна модель Критерій МакНімара[en] Багатовимірний Регресія Багатовимірний дисперсійний аналіз (MANOVA)[en] Головні компоненти Канонічна кореляція Дискримінантний аналіз Кластерний аналіз Класифікація Модель структурних рівнянь[en] факторний аналіз Багатовимірні розподіли еліптичні розподіли нормальний Часові ряди Загальне Розклад Тенденції Стаціонарність Сезонне пристосування[en] Експоненційне згладжування Коінтеграція[en] Структурний розрив[en] Причинність за Грейнджером[en] Спеціальні критерії Дікі–Фуллера Йохансена[en] Q-статистика (Льюнга-Бокса) Дарбіна–Уотсона Бройша–Годфрі[en] Часова область Автокореляція (ACF) Частинна автокореляція (PACF)[en] Взаємна кореляція (XCF) Авторегресійне ковзне середнє (ARMA) Метод Бокса–Дженкінса (ARIMA)[en] Авторегресивна умовна гетероскедастичність (ARCH) Векторна авторегресія (VAR) Частотна область Оцінка[en] спектральної густини Аналіз Фур'є Вейвлет Уіттлівська правдоподібність[en] Виживаність Функція виживаності[en] Оцінювач Каплана–Меєра (границі добутку)[en] Модель пропорційних ризиків[en] Модель прискореного часу до відмови[en] Момент першого влучання[en] Інтенсивність відмов Оцінювач Нельсона–Аалена[en] Критерій Логарифмічний ранговий критерій[en]   Застосування Біологічна статистика Біоінформатика Клінічні випробування / дослідження[en] Епідеміологія Медична статистика Інженерна статистика Хемометрія Інженерія методів[en] Імовірнісне проєктування[en] Керування процесами / якістю Теорія надійності Ідентифікація систем[en] Соціальна статистика[en] Актуарна математика Перепис населення Правова статистика Демографічна статистика Економетрія Юриметрія[en] Національне рахівництво Офіційна статистика[en] Психометрія Просторова статистика Картографія Екологічна статистика[en] Геоінформаційні системи Геостатистика Кригінг Категорія   Портал «Математика» Вікісховище