Довірчий інтервал — Вікіпедія

Довірчий інтервал (англ. confidence interval, CI) — у математичній статистиці є типом інтервальної оцінки^[en], яку обчислюють за даними спостереження, і яка покриває невідомий статистичний параметр із заданою надійністю. Це інтервал, у межах якого з заданою довірчою імовірністю можна чекати значення оцінюваної (шуканої) випадкової величини. Застосовують для повнішої оцінки точності порівняно з точковою оцінкою. Метод довірчих інтервалів розробив американський статистик Єжи Нейман, виходячи з ідей англійського статистика Рональда Фішера.

Наприклад, можна сказати: результати опитування показали, що кандидат набере на виборах 40 % голосів. Проте математично правильніше сказати: з імовірністю 90 % кількість голосів набраних кандидатом згідно з опитуваннями лежить в інтервалі 40±3 %. Тут довірчим інтервалом є ±3 %.

Визначення[ред. | ред. код]

Довірчим інтервалом параметра $\theta$ розподілу випадкової величини $X$ з рівнем довіри p^{[примітка 1]}, для вибірки $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ , називається інтервал з межами $l(x_{1},\ldots ,x_{n})$ та $u(x_{1},\ldots ,x_{n})$ , які є реалізаціями випадкових величин $L(X_{1},\ldots ,X_{n})$ та $U(X_{1},\ldots ,X_{n})$ , таких, що $\mathbb {P} (L\leqslant \theta \leqslant U)=p$ .

Граничні точки довірчого інтервалу $l$ та $u$ називаються довірчими межами.

Тлумачення довірчого інтервалу, засноване на інтуїції, буде таким: якщо рівень довіри p великий (скажімо, 0,95 або 0,99), то довірчий інтервал майже напевно містить істинне значення $\theta$ . Ще одне тлумачення поняття довірчого інтервалу: його можна розглядати як інтервал значень параметра, що є сумісними з даними дослідів і не суперечать їм.

Точніше, хоч також не зовсім формально, тлумачення довірчого інтервалу з рівнем довіри, наприклад, 95 %: якщо провести дуже велику кількість незалежних експериментів з аналогічною побудовою довірчого інтервалу, то в 95 % експериментів довірчий інтервал буде містити оцінюваний параметр $\theta$ (тобто буде виконуватися $L\leqslant \theta \leqslant U$ ), а в решті 5 % експериментів довірчий інтервал не міститиме $\theta$ .

Основні положення[ред. | ред. код]

Для повного уявлення про точність вимірювань та надійність оцінки випадкових відхилень результатів вимірювань, особливо при обмеженій кількості значень вимірюваної величини, необхідно задатися довірчими межами, довірчим інтервалом та довірчою ймовірністю. Нехай $\left({{x}_{1}},...,{{x}_{n}}\right)\equiv ~x~$ — n незалежних спостережень над випадковою величиною з законом розподілу F(z/a), що залежить від параметра a, значення якого невідомо. Довірчі межі випадкових похибок — це верхня та нижня межі інтервалу, в які похибки потрапляють із заданою ймовірністю Р. Величина Р називається довірчою ймовірністю. Для визначення довірчих меж похибок необхідно знати густину розподілу похибок та ймовірність потрапляння похибок у довірчі межі. Якщо не ввести обмеження, то задача матиме множину розв'язків.

Визначення 1. Функція спостережень a₁(x₁,…,x_n) (зауважимо, що це випадкова величина) називається нижньою довірчою границею для параметра a з рівнем довіри РД (звичайно близьким до 1), якщо при будь-якому значенні виконується P

$P\{{{a}_{1}}\left({{x}_{1}},...,{{x}_{n}}\right)\leq a\}\geq {{P}_{}}$ .

Визначення 2. Функція спостережень a₂(x₁,…,x_n) (випадкова величина) називається верхньою довірчою границею для параметра a з рівнем довіри РД, якщо при будь-якому значенні

$P\{{{a}_{1}}\left({{x}_{1}},...,{{x}_{n}}\right)\geq a\}\geq {{P}_{}}$ .

Визначення 3. Інтервал з випадковими кінцями (випадковий інтервал)

I(x) = (a₁(x), a₂(x)), обумовлений двома функціями спостережень, називається довірчим інтервалом для параметра a з рівнем довіри РД, якщо при будь-якому значенні a $P\left\{I\left(x\right)\in a\right\}\equiv P\{~{{a}_{1}}\left({{x}_{1}},...,{{x}_{n}}\right)\leq a\leq ~{{a}_{2}}\left({{x}_{1}},...,{{x}_{n}}\right)\}\geq {{P}_{}}$ , тобто імовірність (що залежить від a) накрити випадковим інтервалом I(x) справжнє значення a — більше або дорівнює РД.

Побудова довірчих границь і інтервалів[ред. | ред. код]

Для побудови довірчого інтервалу (чи границі) необхідно знати закон розподілу статистики $\xi =\xi \left({{x}_{1}},...,{{x}_{n}}\right)$ , по якій оцінюється невідомий параметр (такою статистикою може бути оцінка $\xi ={\hat {a}}\left({{x}_{1}},...,{{x}_{n}}\right)$ ). Один зі способів побудови полягає в наступному. Припустимо, що деяка випадкова величина $\varphi =\varphi (\xi ,a)$ , що залежить від статистики $\xi$ і невідомого параметра a така, що:

закон розподілу відомий і не залежить від a;
$\varphi (\xi ,a)$ є неперервною та монотонною по.

Виберемо діапазон для $\varphi$ інтервал $({{f}_{1}},{{f}_{2}})$ так, щоб влучення в нього було практично імовірно: $P\{f_{1}\leq \varphi (\xi ,a)\leq f_{2}\}\geq P$ для чого досить як $f_{1},f_{2}$ взяти квантилі розподілу $\varphi$ рівня (1- РД)/2 і (1+ РД)/2 відповідно. Перейдемо в до іншого запису випадкової події. Розв'язуючи нерівності щодо параметра a, одержимо (думаючи, що $\varphi$ монотонно зростає по a): ${P}\{{g}(\xi ,f_{1})\leq {a}\leq {g}(\xi ,f_{2})\}\geq {P}$ . Це співвідношення вірне при будь-якім значенні параметра a, і тому, відповідно до визначення, випадковий інтервал $(g(\xi ,{{f}_{1}}),g(\xi ,{{f}_{2}}))$ є довірчим для a з рівнем довіри РД. Якщо $\varphi$ спадає по a, інтервалом є $(g(\xi ,{{f}_{2}}),g(\xi ,{{f}_{1}}))$ . Для побудови однобічної границі для a виберемо значення $f_{1},f_{2}$ так, щоб $~~~~~~{P}\{\varphi (\xi ,a)\geq {{f}_{1}}\}\geq {{P}_{}},~~~~~{{f}_{1}}=Q\left(1-{{P}_{}}\right)$ чи ${P}\{\varphi (\xi ,a)\leq {{f}_{2}}\}\geq {{P}_{~}}{{,}_{~~~~}}~{{f}_{2}}=Q\left({{P}_{}}\right)$ де $Q(P)$ — квантиль рівня $P$ . Після розв'язання нерівності одержимо однобічні довірчі границі для a.

Рисунок — Довірчі межі та довірчі ймовірності.

Для звичайних технічних вимірювань, коли не вимагається високий ступінь надійності та точності, довірча ймовірність береться у межах 0,9—0,95. Виходячи з нормального закону розподілу, можна розраховувати ймовірність виникнення випадкових похибок з різними значеннями.

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

↑ величину, що доповнює довірчу ймовірність до одиниці, зазвичай позначають α

Література[ред. | ред. код]

Сеньо П. С. (2007). Теорія ймовірностей та математична статистика (вид. 2-ге, перероб. і доп.). Київ: Знання. с. 446.

Це незавершена стаття зі статистики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.

[1] величину, що доповнює довірчу ймовірність до одиниці, зазвичай позначають α

[примітка 1]