45度的3個同界角 在幾何學 中,同界角 (英語:Coterminal angles )是指兩個有向角 (有標示起始邊與終邊的角)有著各自的角度量值(其量值可能相等),且共用同一對起始邊與終邊,即共享相同始邊和終邊的角度,但擁有不同的旋轉 量,就稱為同界角 [1] 。同界角擁有相同的三角函數 值,因此三角函數具有周期性 。每個角皆有無限多 個同界角 ,其量值可以為負 ,但必須是一個實數 。
正轉 和逆轉 都可以得到相同的角 ,但他們擁有不同的旋轉量,圖中為45度和─ 315度 每個同界角皆差360度 ,換句話說,每360度就會出現一個同界角[2] 。每個同界角兩邊的向量 內積 與外積 皆有相同的值。此外,任何角都可以找到最小正同界角 和最大負同界角 。
同界角可以如下定義:
若有兩個角有相同的始邊 與終邊,則兩個角互為同界角 若兩角相差360度的整數 倍則兩個角互為同界角 同界角存在關係式:
θ 1 − θ 2 = 360 ∘ k , k ∈ Z {\displaystyle \theta _{1}-\theta _{2}=360^{\circ }k,\,k\in \mathbb {Z} } 亦可寫為:
θ 1 − θ 2 = 2 k π , k ∈ Z {\displaystyle \theta _{1}-\theta _{2}=2k\pi ,\,k\in \mathbb {Z} } 或:
sin θ 1 − sin θ 2 = 0 {\displaystyle \sin \theta _{1}-\sin \theta _{2}=0} cos θ 1 − cos θ 2 = 0 {\displaystyle \cos \theta _{1}-\cos \theta _{2}=0} 與三角函數關係 [ 编辑 ] 從三角函數 的周期 可以發現,每間隔 2 π {\displaystyle 2\pi } 就會找到相同高度的點,該點即為同界角的三角函數值。 從反三角函數 圖形得知反餘弦 必得到最小正同界角 ,而反正弦 則有可能得到最小正同界角 或最大負同界角 從三角函數 的诱导公式 可以得知同界角的存在,下表指出,任何三角函數,只要位移為 2 π {\displaystyle 2\pi } ,就會得到相同的函數值,因此 θ {\displaystyle \theta } 與 θ + 2 π {\displaystyle \theta +2\pi } 互為同界角。
移位 π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} 移位 π {\displaystyle \pi } tan {\displaystyle \tan } 和 cot {\displaystyle \cot } 的周期 移位 2 π {\displaystyle 2\pi } sin {\displaystyle \sin } 、 cos {\displaystyle \cos } 、 csc {\displaystyle \csc } 和 sec {\displaystyle \sec } 的周期 sin ( θ + π 2 ) = + cos θ cos ( θ + π 2 ) = − sin θ tan ( θ + π 2 ) = − cot θ cot ( θ + π 2 ) = − tan θ sec ( θ + π 2 ) = − csc θ csc ( θ + π 2 ) = + sec θ {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\cos \theta \\\cos(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\sin \theta \\\tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\cot \theta \\\cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\tan \theta \\\sec(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\csc \theta \\\csc(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\sec \theta \end{aligned}}} sin ( θ + π ) = − sin θ cos ( θ + π ) = − cos θ tan ( θ + π ) = + tan θ cot ( θ + π ) = + cot θ sec ( θ + π ) = − sec θ csc ( θ + π ) = − csc θ {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +\pi )&=-\sin \theta \\\cos(\theta +\pi )&=-\cos \theta \\\tan(\theta +\pi )&=+\tan \theta \\\cot(\theta +\pi )&=+\cot \theta \\\sec(\theta +\pi )&=-\sec \theta \\\csc(\theta +\pi )&=-\csc \theta \end{aligned}}} sin ( θ + 2 π ) = + sin θ cos ( θ + 2 π ) = + cos θ tan ( θ + 2 π ) = + tan θ cot ( θ + 2 π ) = + cot θ sec ( θ + 2 π ) = + sec θ csc ( θ + 2 π ) = + csc θ {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +2\pi )&=+\sin \theta \\\cos(\theta +2\pi )&=+\cos \theta \\\tan(\theta +2\pi )&=+\tan \theta \\\cot(\theta +2\pi )&=+\cot \theta \\\sec(\theta +2\pi )&=+\sec \theta \\\csc(\theta +2\pi )&=+\csc \theta \end{aligned}}}
另外,從簡單的三角方程中,也可以找到同界角,例如:
考慮方程 cos ( θ ) = k , θ {\displaystyle \cos(\theta )=k\,,\,\theta } 有無限多組解,其中 arccos ( k ) {\displaystyle \arccos(k)} 為一個解且為最小正同界角 ,其餘解皆與 arccos ( k ) {\displaystyle \arccos(k)} 或是- arccos ( k ) {\displaystyle \arccos(k)} 互為同界角。 但是有例外,如正切 和餘切 ,由於其週期 不為360度,如正切函數的周期為180 度 (即 π {\displaystyle \pi } ),因此相同的函數值未必互為同界角。
最小正同界角與最大負同界角 [ 编辑 ] 角的量與最小正同界角(黃)與最大負同界角(藍)的關係 同界角通常有無窮多個,因此在計算一些角度或三角函數抑或是一些週期函數的解時,會取最接近零的同界角。這類同界角又可以再分成最小正同界角與最大負同界角。其中,最小正同界角恆為正, 通常解某些具週期性的方程的主值時,是使用最小正同界角。最小正同界角 在0到 2 π {\displaystyle 2\pi } (360度)之間的最小正同界角與原始角相同,當原始角為 2 π {\displaystyle 2\pi } (360度)或 2 π {\displaystyle 2\pi } (360度)的倍數時,最小正同界角為零;最大負同界角恆為負,在 − 2 π {\displaystyle -2\pi } (負360度)到0之間的最大負同界角與原始角相同。
參考文獻 [ 编辑 ] ^ Neal, Karla V.; R. David Gustafson, Jeffrey D. Hughes. Coterminal angles . Precalculus, 1st ed.. Cengage Learning. : 第412頁. ISBN 1133712673 . (原始内容存档 于2019-10-18). ^ Slavin, Steve; Ginny Crisonino. Circle . Wiley Self-Teaching Guides第 155 卷. John Wiley & Sons. 2004-10-28: 第90頁. ISBN 0471680192 . (原始内容存档 于2019-11-06).