凹凸性 (幾何) - 维基百科，自由的百科全书

在几何学中，一个幾何圖形可分为凸或凹的。例如多邊形和多面體。其中，凸的多邊形稱為凸多邊形、凹的多邊形則可稱為凹多邊形或非凸多邊形，多面體與多胞體亦然。然而在三維或更高維度的空間中，不是凸的幾何圖形不一定會是凹幾何圖形，亦可能是星形幾何圖形，因此在三維或更高維度的空間中較常分為凸與非凸。

凸幾何圖形[编辑]

凸幾何圖形是指内部为凸集的幾何圖形^[1]，二維空間中的凸幾何圖形稱為凸多邊形、三維空間則稱凸多面體。若一多胞形的内部为凸集，則稱凸多胞形。

二維空間中的凸幾何圖形稱為凸多邊形，简单多边形的下列性质与其凸性等价：

• 每个内角小于180度。
• 任何两个顶点间的线段位于多边形的内部或边界上。

凸幾何圖形的凸包與其邊界相同。

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  凸多边形示例：正五边形
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  凸多面體示例：正十二面體

凹幾何圖形[编辑]

凹幾何圖形是指内部不是凸集的幾何圖形，在二維空間中，不是凸集的簡單多邊形，稱為凹多边形（Concave polygon）^[2]或凹角^[3]。

凹多邊形至少存在一個內角大於180度。

在三維空間中，不是凸的幾何圖形不一定會是凹幾何圖形，亦可能是星形多面體，因此在三維空間中較常分為凸與非凸。

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  凹多边形示例
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  凹多面體示例：凹鷂形柱
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  環形多面體

嚴格凸與非嚴格凸[编辑]

如果一个简单多边形的每个内角严格小于180度，是严格凸的；如果每个非相邻顶点间的线段除端点外严格位于多边形的内部，也是严格凸的。

所有非退化三角形都是严格凸的。

星形幾何圖形[编辑]

星形幾何圖形是非凸幾何圖形的一個特例，其並未有一個明確的定義。在二維空間中，稱為星形多邊形，數學家Branko Grünbaum指出了兩種由克普勒提出的定義：一種是具有自相交稜的正星形多邊形，且自相交的稜不產生新的頂點，另一種是邊可遞的簡單凹多邊形^[4]。

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  星形多边形示例：五角星
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  星形多面體示例：大十二面體

參見[编辑]

• 凹多邊形
• 凸多邊形

参考文献[编辑]

外部链接[编辑]

• 埃里克·韦斯坦因. Convex polygon. MathWorld. 
• 埃里克·韦斯坦因. Concave polygon. MathWorld. 

查 论 编 幾何形狀 分類 依對稱程度 正（Regular） 擬正（Quasiregular） 半正（英语：Semiregular_polytope）（Semiregular） 不完全正（Demiregular） 均勻（英语：Uniform_polytope）（Uniform） 不規則（Irregular） 依對稱性 正（標記可遞） 等維面（維面可遞） 等面（面可遞） 等邊（邊可遞） 等角（點可遞） 等面等角（面可遞且點可遞） 依凹凸性 凸（章節） 非凸（章節） 凹（章節） 星形（章節） 環狀（英语：Toroidal_polyhedron） 扭歪 元素特性 簡單 複雜 抽象（英语：abstract polytope） 所屬空間 實數${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 複數${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ 四元數（英语：Quaternionic polytope）${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}}$ 八元數${\displaystyle \mathbb {O} ^{n}}$ 維度 多胞形（總稱） 空多胞形（負維） 頂點（零維） 直线（一維） 多边形（二維） 多面形（三維退化） 多面体（三維） 多胞體 四維多胞體 五維多胞體 密鋪 鑲嵌 堆砌 註：一般而言上面的分類皆可嵌套，例如「正星形多面體」（正+星形+多面體） 性質 面积 体积 表面積 內角 虧格 組成 極小面 頂點 邊 面 胞 ... 維峰 維脊 維面 體（極大面） 相關主題：形狀