Test de Fisher d'égalité de deux variances — Wikipédia

Pour la loi de probabilité, voir Loi de Fisher.

Test de Fisher d'égalité de deux variances

Type	Test statistique
Nom court	(en) F Test
Nommé en référence à	Ronald Aylmer Fisher

modifier - modifier le code - modifier Wikidata

En statistique, le test F d'égalité de deux variances, est un test d'hypothèse qui permet de tester l'hypothèse nulle que deux lois normales ont la même variance. Il fait partie du grand ensemble de tests appelé "test F".

Le test[modifier | modifier le code]

Soient deux variables aléatoires indépendantes ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(m_{1},\sigma _{1}^{2}),Y\sim {\mathcal {N}}(m_{2},\sigma _{2}^{2})}$ et deux échantillons ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n_{1}}}$, ${\displaystyle Y_{1},\dots ,Y_{n_{2}}}$.

Si les moyennes sont inconnues[modifier | modifier le code]

On veut tester ${\displaystyle H_{0}:\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2},H_{1}:\sigma _{1}^{2}\neq \sigma _{2}^{2}}$ , si les moyennes ${\displaystyle m_{1}}$et ${\displaystyle m_{2}}$sont inconnues on les estime par ${\displaystyle {\overline {X_{n_{1}}}}}$ et ${\displaystyle {\overline {Y_{n_{2}}}}}$ :

La statistique de test est

${\displaystyle Z={\frac {S_{n_{1}}^{2}}{S_{n_{2}}^{2}}}\sim F(n_{1}-1,n_{2}-1),}$

avec

${\displaystyle S_{n_{1}}^{2}={\frac {1}{n_{1}-1}}\sum _{i=1}^{n_{1}}\left(X_{i}-{{\bar {X}}_{n_{1}}}\right)^{2}}$ et ${\displaystyle S_{n_{2}}^{2}={\frac {1}{n_{2}-1}}\sum _{i=1}^{n_{2}}\left(Y_{i}-{{\bar {Y}}_{n_{2}}}\right)^{2}.}$

On rejette (au niveau ${\displaystyle \alpha }$) l'hypothèse nulle si la réalisation de la statistique de test ${\displaystyle Z}$ est soit plus grande que le quantile d'ordre ${\displaystyle 1-{\frac {\alpha }{2}}}$ soit plus petite que le quantile ${\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}$ de la loi de Fisher correspondante.

Si les moyennes sont connues[modifier | modifier le code]

On veut tester ${\displaystyle H_{0}:\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2},H_{1}:\sigma _{1}^{2}\neq \sigma _{2}^{2}}$ , si les moyennes ${\displaystyle m_{1}}$et ${\displaystyle m_{2}}$sont connues. La statistique de test est alors

${\displaystyle {\tilde {Z}}={\frac {{\tilde {S}}_{n_{1}}^{2}}{{\tilde {S}}_{n_{2}}^{2}}}\sim F(n_{1},n_{2}),}$

avec

${\displaystyle {\tilde {S}}_{n_{1}}^{2}={\frac {1}{n_{1}}}\sum _{i=1}^{n_{1}}\left(X_{i}-{m_{1}}\right)^{2}}$ et ${\displaystyle {\tilde {S}}_{n_{2}}^{2}={\frac {1}{n_{2}}}\sum _{i=1}^{n_{2}}\left(Y_{i}-{m_{2}}\right)^{2}.}$

On rejette (au niveau ${\displaystyle \alpha }$) l'hypothèse nulle si la réalisation de la statistique de test ${\displaystyle {\tilde {Z}}}$ est soit plus grande que le quantile d'ordre ${\displaystyle 1-{\frac {\alpha }{2}}}$ soit plus petite que le quantile ${\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}$ de la loi de Fisher correspondante.

Remarque[modifier | modifier le code]

Initialement, à l'époque où on utilisait des tables des quantiles, le test était souvent présenté en calculant le rapport de la variance la plus grande sur la variance la plus faible, ce qui permettait de ne comparer la valeur de la statistique de test qu'au quantile ${\displaystyle 1-{\frac {\alpha }{2}}}$. Dorénavant, puisqu'on n'utilise plus de tables de quantiles mais des logiciels statistiques, cette présentation a perdu de son intérêt.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Ce test est particulièrement sensible à la non normalité^[1],[2]. Donc, il existe des alternatives comme le test de Bartlett ou le test de Levene.

Applications[modifier | modifier le code]

Le test de Chow est une application du test de Fisher pour tester l'égalité des coefficients sur deux populations différentes.

Ce test est utilisé en biologie dans la recherche de QTL.

Implémentation[modifier | modifier le code]

• var.testavec R et la librairie "stats"^[3]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

• Ronald Aylmer Fisher
• Loi de Fisher
• Test exact de Fisher
• Test de Bartlett

Notes et références[modifier | modifier le code]

• [1] Université Paris Descartes, section Tests sur des échantillons gaussiens

v · m Tests statistiques
Tests de comparaison d'une seule variable	Pour un échantillon Test Z Test t pour un échantillon Test des signes Test des rangs signés de Wilcoxon Estimateur de Hodges-Lehmann Pour deux échantillons Test F Test de Student Test t de Welch Test U de Mann-Whitney Test du χ² d'homogénéité Test de McNemar Test de la médiane Pour 3 échantillons ou plus Analyse de la variance (ANOVA) Test de Kruskal-Wallis ANOVA de Friedman Test de Bartlett Test de Levene Test de Brown-Forsythe
Tests de comparaison de deux variables	Deux variables quantitatives : Tests de corrélation Corrélation de Pearson Corrélation de Spearman Corrélation de Kendall Deux variables qualitatives Test exact de Fisher Test du χ² d'indépendance Test Gamma Plus de deux variables Concordance de Kendall Analyse de variance multivariée Test Q de Cochran
Tests d'adéquation à une loi	Test de Kolmogorov-Smirnov Test du χ² d'adéquation Test de Jarque-Bera Test de Lilliefors Test d'Anderson-Darling Test de D'Agostino Test de Cramer-Von Mises
Tests d'appartenance à une famille de lois	Test de Shapiro-Wilk
Autres tests	Test du rapport de vraisemblance
Tests non-paramétriques Tests paramétriques Table d'utilisation des tests statistiques

v · m Index du projet probabilités et statistiques

Théorie des probabilités Bases théoriques Principes généraux Axiomes des probabilités Espace probabilisable Probabilité Événement Tribu Indépendance Variable aléatoire Espérance Variables iid Convergence de lois Théorème central limite Loi des grands nombres Théorème de Borel-Cantelli Calcul stochastique Marche aléatoire Chaîne de Markov Processus stochastique Processus de Markov Martingale Mouvement brownien Équation différentielle stochastique Lois de probabilité Lois continues Loi exponentielle Loi normale Loi uniforme Loi de Student Loi de Fisher Loi du χ² Lois discrètes Loi de Bernoulli Loi binomiale Loi de Poisson Loi géométrique Loi hypergéométrique Mélange entre statistiques et probabilités Intervalle de confiance Interprétations de la probabilité Bayésianisme Théorie des statistiques Statistiques descriptives Bases théoriques Une statistique Caractère Échantillon Erreur type Intervalle de confiance Fonction de répartition empirique Théorème de Glivenko-Cantelli Inférence bayésienne Régression linéaire Méthode des moindres carrés Analyse des données Corrélation Tableaux Tableau de contingence Tableau disjonctif complet Table de Burt Visualisation de données Histogramme Diagramme à barres Graphique en aires Diagramme circulaire Treemap Boîte à moustaches Nuage de points Graphique à bulles Diagramme en cascade Graphique en entonnoir Diagramme de Kiviat Corrélogramme Graphique en forêt Diagramme branche-et-feuille Heat map Sparkline Paramètres de position Moyenne arithmétique Mode Médiane Quantile Quartile Décile Centile Paramètres de dispersion Étendue Écart moyen Variance Écart type Déviation absolue moyenne Écart interquartile Coefficient de variation Paramètres de forme Coefficient d'asymétrie Coefficient d'aplatissement Statistiques inductives Bases théoriques Hypothèse nulle Estimateur Signification statistique Sensibilité et spécificité Courbe ROC Nombre de sujets nécessaires Valeur p Contraste (statistiques) Statistique de test Taille d'effet Puissance statistique Tests paramétriques Test d'hypothèse Test de Bartlett Test de normalité Test de Fisher d'égalité de deux variances Test d'Hausman Test d'Anderson-Darling Test de Banerji Test de Durbin-Watson Test de Goldfeld et Quandt Test de Jarque-Bera Test de Mood Test de Lilliefors Test de Wald Test T pour des échantillons indépendants Test T pour des échantillons appariés Test de corrélation de Pearson Tests non-paramétriques Test U de Mann-Whitney Test de Kruskal-Wallis Test exact de Fisher Test de Kolmogorov-Smirnov Test de Shapiro-Wilk Test de Chow Test de McNemar Test de Spearman Tau de Kendall Test Gamma Test des suites de Wald-Wolfowitz Test de la médiane Test des signes ANOVA de Friedman Concordance de Kendall Test Q de Cochran Test des rangs signés de Wilcoxon Test de Sargan Application Économétrie Mécanique statistique Jeu de hasard Biomathématique Biostatistique Mathématiques financières

• Portail des probabilités et de la statistique