此條目需要精通或熟悉相关主题的编者 参与及协助编辑。 (2015年12月14日 ) 請邀請 適合的人士改善本条目 。更多的細節與詳情請參见討論頁 。
模擬的大顆粒塵埃粒子碰撞到更小的粒子,而其以不同的速度在不同方向移動的布朗運動 。 粒子的立體空間進行布朗運動的示意圖。 布朗运动 (英語:Brownian motion )是微小粒子或者颗粒在流体 中做的无规则运动。布朗运动过程是一种正态分布 的独立增量 连续随机过程 。它是随机分析 中基本概念之一。其基本性质为:布朗运动W(t)是期望为0、方差 为t(时间)的正态随机变量。对于任意的r小于等于s,W(t)-W(s)独立于的W(r),且是期望为0、方差 为t-s的正态随机变量。可以证明布朗运动是马尔可夫过程 、鞅过程 和伊藤过程 。
它是在西元1827年[1] 英國植物學家罗伯特·布朗 利用一般的顯微鏡 觀察懸浮於水中由花粉 所迸裂出之微粒時,發現微粒會呈現不規則狀的運動,因而稱它布朗運動。布朗運動也能測量原子 的大小,因為就是由水 中的水分子對微粒的碰撞產生的,而不規則的碰撞越明顯,就是原子愈小,因此根據布朗運動,定義原子的直徑為10-8 厘米。
自1860年以來,許多科學家 都在研究此種現象,後來發現布朗運動有下列的主要特性:[2]
粒子的運動由平移 及轉移 所構成,顯得非常沒規則而且其軌跡幾乎是處處沒有切線。 粒子之移動顯然互不相關,甚至於當粒子互相接近至比其直徑小的距離時也是如此。 粒子越小或液體粘性越低或溫度越高時,粒子的運動越活潑。 粒子的成分及密度對其運動沒有影響。 粒子的運動永不停止。 愛因斯坦的理論 [ 编辑 ] 在1905年,爱因斯坦 提出了相关理论。他的理論有兩個部分:第一部分定義布朗粒子擴散方程式,其中的擴散係數與布朗粒子平均平方位移相關,而第二部分連結擴散係數與可測量的物理量。以此方式,愛因斯坦的理論可決定原子的大小,一莫耳 有多少原子,或氣體的克分子量。根據阿伏伽德罗定律 ,所有理想氣體在標準溫度和壓力下體積為22.414升,其中包含的原子的數目被稱為「阿伏伽德罗常数 」。由氣體的莫耳質量除以阿伏伽德罗常数等同原子量。
爱因斯坦论证的第一部分是,确定布朗粒子在一定的时间内运动的距离。[3] [來源請求] 经典力学无法确定这个距离,因为布朗粒子将会受到大量的撞击,每秒大约发生 1014 次撞击。[4] 因此,爱因斯坦将之简化,即讨论一个布朗粒子团的运动[來源請求] 。
他把粒子在一个的空间中,把布朗粒子在一维方向上的运动增量 (x) 视作一个随机值( Δ {\displaystyle \Delta } 或者 x, 并对其坐标进行变换,让原点成为粒子运动的初始位置)并给出概率密度函数 φ ( Δ ) {\displaystyle \varphi (\Delta )} 。另外,他假设粒子的数量有限,并扩大了密度(单位体积内粒子数量),展开成泰勒级数 。
ρ ( x , t ) + τ ∂ ρ ( x ) ∂ t + ⋯ = ρ ( x , t + τ ) = ∫ − ∞ + ∞ ρ ( x + Δ , t ) ⋅ φ ( Δ ) d Δ = ρ ( x , t ) ⋅ ∫ − ∞ + ∞ φ ( Δ ) d Δ + ∂ ρ ∂ x ⋅ ∫ − ∞ + ∞ Δ ⋅ φ ( Δ ) d Δ + ∂ 2 ρ ∂ x 2 ⋅ ∫ − ∞ + ∞ Δ 2 2 ⋅ φ ( Δ ) d Δ + ⋯ = ρ ( x , t ) ⋅ 1 + 0 + ∂ 2 ρ ∂ x 2 ⋅ ∫ − ∞ + ∞ Δ 2 2 ⋅ φ ( Δ ) d Δ + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}\rho (x,t)+\tau {\frac {\partial \rho (x)}{\partial t}}+\cdots =\rho (x,t+\tau )={}&\int _{-\infty }^{+\infty }\rho (x+\Delta ,t)\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta \\={}&\rho (x,t)\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }\varphi (\Delta )\,d\Delta +{\frac {\partial \rho }{\partial x}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }\Delta \cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta \\&{}+{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2}}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta +\cdots \\={}&\rho (x,t)\cdot 1+0+{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2}}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta +\cdots \end{aligned}}} 第一行中的第二个等式是被 φ {\displaystyle \varphi } 这个函数定义的。第一项中的积分等于一个由概率定义函数,第二项和其他偶数项(即第一项和其他奇数项)由于空间对称性而消失。化简可以得到以下关系关系:
∂ ρ ∂ t = ∂ 2 ρ ∂ x 2 ⋅ ∫ − ∞ + ∞ Δ 2 2 τ ⋅ φ ( Δ ) d Δ + (更 高 阶 的 项 ) {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2\,\tau }}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta +{\text{(更 高 阶 的 项 )}}} 拉普拉斯算子之前的系数,是下一刻的随机位移量 Δ {\displaystyle \Delta } ,让 D 为质量扩散系数:
D = ∫ − ∞ + ∞ Δ 2 2 τ ⋅ φ ( Δ ) d Δ {\displaystyle D=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2\,\tau }}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta } 那么在 t 时刻 x 处的布朗粒子密度 ρ 满足扩散方程:
∂ ρ ∂ t = D ⋅ ∂ 2 ρ ∂ x 2 , {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=D\cdot {\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}},} 假設在初始時刻t = 0時,所有的粒子從原點開始運動,擴散方程的解
ρ ( x , t ) = ρ 0 4 π D t e − x 2 4 D t . {\displaystyle \rho (x,t)={\frac {\rho _{0}}{\sqrt {4\pi Dt}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4Dt}}}.} 数学模型 [ 编辑 ] 满足下列条件的鞅 我们称之为布朗运动
这个鞅是关于时间连续的。 他的平方减去时间项也是一个鞅。 ( M t ) {\displaystyle (M_{t})} 是一个布朗运动当且仅当 ( M t ) {\displaystyle (M_{t})} 为鞅,且 ( M t 2 − t ) {\displaystyle (M_{t}^{2}-t)} 也为鞅.
其他定义 [ 编辑 ] 3000步的2维布朗运动的模拟。 1000步的3维布朗运动模拟。 一维的定义
一维布朗运动 ( B t ) t ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}} 是关于时间t 的一个随机过程,他满足 :
(独立增量)设时间t 和s 满足t > s ,增量 B t − B s {\displaystyle \scriptstyle B_{t}-B_{s}} 独立于时间s 前的过程 ( B u ) 0 ≤ u ≤ s {\displaystyle \scriptstyle (B_{u})_{0\leq u\leq s}} 。 (稳定增量和正态性)设时间t 和s 满足t > s ,增量 B t − B s {\displaystyle \scriptstyle B_{t}-B_{s}} 服从均值为0方差为t −s 的正态分布。 ( B t ) t ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}} 几乎处处连续, 也就是说在任何可能性下, 函数 t ↦ B t ( ω ) {\displaystyle \scriptstyle t\mapsto B_{t}(\omega )} 是连续的. 通常假设 B 0 = 0 {\displaystyle \scriptstyle B_{0}=0} 。这种布朗运动我们称它为标准的。 等价定义
一维布朗运动 ( B t ) t ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}} 是关于时间t 的一个随机过程,他满足 :
( B t ) t ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}} 是一个高斯过程 ,也就是说对于所有的时间列: t 1 ≤ t 2 ≤ . . . ≤ t n {\displaystyle \scriptstyle t_{1}\leq t_{2}\leq ...\leq t_{n}} ,随机向量: ( B t 1 , B t 2 , . . . , B t n ) {\displaystyle \scriptstyle (B_{t_{1}},B_{t_{2}},...,B_{t_{n}})} 服从高维高斯分布(正态分布)。 ( B t ) t ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}} 几乎处处连续。 对于所有s 和t ,均值 E [ B t ] = 0 {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {E} [B_{t}]=0} ,协方差 E [ B s B t ] = m i n ( s , t ) {\displaystyle \scriptstyle E[B_{s}B_{t}]=min(s,t)} . 高维定义
( B t ) t ≥ 0 := ( B t 1 , B t 2 , . . . , B t d ) t ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}:=\left(B_{t}^{1},B_{t}^{2},...,B_{t}^{d}\right)_{t\geq 0}} 是d 维布朗运动,只需满足 B 1 , B 2 , . . . , B d {\displaystyle \scriptstyle B^{1},B^{2},...,B^{d}} 为独立的布朗运动。
换句话说,d 维布朗运动 取值于 R d {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{d}} ,而它在 R , R 2 , . . . , R d − 1 {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{2},...,\mathbb {R} ^{d-1}} 空间上的投影均为布朗运动。
Wiener测度的定义
设 C ( R + , R ) {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )} 为从 R + {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{+}} 到 R {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} } 的连续函数空间, ( Ω , T , P ) {\displaystyle \scriptstyle (\Omega ,{\mathcal {T}},\mathbb {P} )} 为概率空间。布朗运动为映射
B : Ω ⟶ C ( R + , R ) {\displaystyle B:\Omega \longrightarrow C(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )} ω ↦ ( t ↦ B t ( ω ) ) {\displaystyle \omega \mapsto \left(t\mapsto B_{t}(\omega )\right)} . Wiener测度 (或称为布朗运动的分布)设为 W ( d ω ) {\displaystyle \scriptstyle W(d\omega )} ,是映射B 关于 P ( d ω ) {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {P} (d\omega )} 的图测度。
换句话说, W 是 C ( R + , R ) {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )} 上的一个概率测度,满足对于任何 A ⊂ C ( R + , R ) {\displaystyle \scriptstyle A\subset {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )} ,有
W ( A ) = P ( ( B t ) t ≥ 0 ∈ A ) {\displaystyle W(A)=\mathbb {P} ((B_{t})_{t\geq 0}\in A)} 。 备忘
布朗运动是一种增量服从正态分布的萊維過程 。 这个定义可以帮助我们证明布朗运动的很多特性,比如几乎处处连续,轨迹几乎处处不可微等等。 我们可以利用二次变差的期望为时间来等价定义布朗运动。这个定义由Levy定理演化而来, 即: 轨迹连续且二次变差为 t {\displaystyle t} 的随机过程为布朗运动。 布朗运动的轨道几乎处处不可微:对于任何 ω ∈ Ω {\displaystyle \scriptstyle \omega \in \Omega } ,轨道 t ↦ B t ( ω ) {\displaystyle \scriptstyle t\mapsto B_{t}(\omega )} 为一个连续但是零可微的函数。 协方差 E [ B s B t ] = m i n ( s , t ) {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {E} [B_{s}B_{t}]=min(s,t)} 。 布朗运动具有强马氏性 : 对于停时 T ,取条件 [ T < ∞ ] {\displaystyle \scriptstyle [T<\infty ]} ,过程 ( B t T ) t ≥ 0 := ( B T + t − B T ) t ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle (B_{t}^{T})_{t\geq 0}:=(B_{T+t}-B_{T})_{t\geq 0}} 为一个独立于 ( B s ) 0 ≤ s < T {\displaystyle \scriptstyle (B_{s})_{0\leq s<T}} 的布朗运动。 它的Fourier变换 或特征函数 为 E [ e i u B t ] = e − t u 2 2 {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {E} \left[e^{iuB_{t}}\right]=e^{-{\frac {tu^{2}}{2}}}} 。可见,布朗运动是一个无偏,无跳跃,二项系数为1/2的Levy过程。 布朗运动关于时间是齐次的: 对于s > 0, ( B t + s − B s ) t ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle (B_{t+s}-B_{s})_{t\geq 0}} 是一个独立于 ( B u ) 0 ≤ u ≤ s {\displaystyle \scriptstyle (B_{u})_{0\leq u\leq s}} 的布朗运动。 -B 是一个布朗运动。 (稳定性) 对于c > 0, ( c B t c 2 ) t ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \left(cB_{\frac {t}{c^{2}}}\right)_{t\geq 0}} 是布朗运动。 (时间可逆性) ( t B 1 t ) t > 0 {\displaystyle \scriptstyle \left(tB_{\frac {1}{t}}\right)_{t>0}} 在t =0之外是布朗运动。 (常返性 )只有1维和2维布朗运动是常返的: 如果 d ∈ { 1 , 2 } {\displaystyle \scriptstyle d\in \{1,2\}} ,集合 { t ≥ 0 , B t = x } {\displaystyle \scriptstyle \{t\geq 0,B_{t}=x\}} 不是有界的,对于任何 x ∈ R d {\displaystyle \scriptstyle x\in \mathbb {R} ^{d}} , 如果 d ≥ 3 , lim t → ∞ | | B t | | = + ∞ {\displaystyle \scriptstyle d\geq 3,\,\,\,\lim _{t\rightarrow \infty }||B_{t}||=+\infty } (几乎处处)。 P [ sup 0 ≤ s ≤ t B s ≥ a ] = 2 P [ B t ≥ a ] = P [ | B t | ≥ a ] . {\displaystyle \mathbb {P} [\sup _{0\leq s\leq t}B_{s}\geq a]=2\mathbb {P} [B_{t}\geq a]=\mathbb {P} [|B_{t}|\geq a].} 布朗运动的数学构造 [ 编辑 ] 利用Kolmogorov一致性定理 [ 编辑 ] 设 ( f t ) t ∈ R + {\displaystyle (f_{t})_{t\in {\mathbb {R} }_{+}}} 为 L 2 ( R + ) {\displaystyle L^{2}({\mathbb {R} }_{+})} 空间中一列实值函数。设:
∀ ( u , v ) ∈ R + , s ( u , v ) = ⟨ f u , f v ⟩ L 2 ( R + ) = ∫ R + f u ( x ) f v ( x ) d x {\displaystyle \forall (u,v)\in {\mathbb {R} }_{+}{\text{, }}s(u,v)={\langle f_{u},f_{v}\rangle }_{L^{2}({\mathbb {R} }_{+})}=\int _{\mathbb {R} _{+}}f_{u}(x)f_{v}(x)dx} 这列函数满足:
∀ k ∈ N ∗ {\displaystyle \forall k\in \mathbb {N} ^{*}} ,任意的 t 1 , . . . , t k ∈ R + {\displaystyle t_{1},...,t_{k}\in \mathbb {R} _{+}} ,矩阵 ( s ( t i , t j ) ) 1 ≤ i , j ≤ k {\displaystyle \left(s(t_{i},t_{j})\right)_{1\leq i,j\leq k}} 为对称半正定的。
利用Kolmogorov一致性定理,我们可以构造高斯过程 { Y t } t ∈ R + {\displaystyle \{Y_{t}\}_{t\in \mathbb {R} _{+}}} ,它的均值 m {\displaystyle m} 任意, 协方差为上面定义的 s {\displaystyle s} 。
当 ( f t ) t ∈ R + = ( c .1 1 [ 0 , t ] ) t ∈ R + {\displaystyle (f_{t})_{t\in {\mathbb {R} }_{+}}=\left({\sqrt {c}}.1\!\!1_{[0,t]}\right)_{t\in \mathbb {R} _{+}}} , c > 0 {\displaystyle c>0} 为不依赖于t的常数, 1 1 [ 0 , t ] {\displaystyle 1\!\!1_{[0,t]}} 为 [ 0 , t ] {\displaystyle [0,t]} 上的示性函数。则:
s ( u , v ) = c ∫ R 1 1 [ 0 , u ] ( s ) 1 1 [ 0 , v ] ( s ) d s = c.min ( u , v ) {\displaystyle s(u,v)=c\int \limits _{\mathbb {R} }1\!\!1_{[0,u]}(s)1\!\!1_{[0,v]}(s)ds={\text{c.min}}(u,v)} 在这个情况下,矩阵 ( s ( t i , t j ) ) 1 ≤ i , j ≤ k {\displaystyle \left(s(t_{i},t_{j})\right)_{1\leq i,j\leq k}} 是对称且正定的。
我们称一个高斯过程为 布朗运动 当且仅当均值为0,协方差为s。 c = V a r ( B 1 ) {\displaystyle c=Var(B_{1})} ,当 c = 1 {\displaystyle c=1} 时, 称之为 标准的布朗运动 .
利用随机过程 [ 编辑 ] Donsker定理 (1951)证明了逐渐归一化的随机游走弱收敛于布朗运动。
( 1 σ n ( ∑ k = 1 [ n t ] U k + ( n t − [ n t ] ) U [ n t ] + 1 ) ) 0 ≤ t ≤ 1 ⟹ n → ∞ ( B t ) 0 ≤ t ≤ 1 {\displaystyle \left({\frac {1}{\sigma {\sqrt {n}}}}\left(\sum _{k=1}^{[nt]}U_{k}+(nt-[nt])U_{[nt]+1}\right)\right)_{0\leq t\leq 1}{\underset {n\rightarrow \infty }{\Longrightarrow }}(B_{t})_{0\leq t\leq 1}} 其中(U n , n ≥ 1) 独立同分布, 均值为0,方差为σ 的随机变量序列。
利用傅立叶级数 [ 编辑 ] 设2列独立的正态 N ( 0 , 1 ) {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}(0,1)} 随机变量序列 ( N k , k ∈ N ) {\displaystyle \scriptstyle (N_{k},k\in \mathbb {N} )} 和 ( N k ′ , k ∈ N ) {\displaystyle \scriptstyle (N'_{k},k\in \mathbb {N} )} 。定义 ( B t ) t ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}} :
B t := t N 0 + ∑ k = 1 + ∞ 2 2 π k ( N k cos ( 2 π k t − 1 ) + N k ′ sin ( 2 π k t ) ) {\displaystyle B_{t}:=tN_{0}+\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {\sqrt {2}}{2\pi k}}\left(N_{k}\cos(2\pi kt-1)+N_{k}'\sin(2\pi kt)\right)} 为布朗运动。
對於布朗運動之誤解 [ 编辑 ] 值得注意的是,布朗运动指的是花粉迸出的微粒的随机运动,而不是分子的随机运动。但是通过布朗运动的现象可以间接证明分子的无规则运动。 [來源請求]
一般而言,花粉 之直徑分布於30~50μm 、最小亦有10μm之譜,相較之下,水分子直徑約0.3nm (非球形,故依部位而有些許差異。),略為花粉的十萬分之一。因此,花粉難以產生不規則振動,事實上花粉幾乎不受布朗運動之影響。在罗伯特·布朗 的手稿中,「tiny particles from the pollen grains of flowers」意味著「自花粉粒中迸出之微粒子」,而非指花粉本身。然而在翻譯為諸國語言時,時常受到誤解,以為是「水中的花粉受布朗運動而呈現不規則運動」。積非成是之下,在大眾一般觀念中,此誤會已然根深蒂固。 [來源請求]
花粉具備足夠大小,幾乎無法觀測到布朗運動。 在日本 ,以鶴田憲次 『物理学叢話』為濫觴,岩波書店 『岩波理科辞典』[5] 、花輪重雄 『物理学読本』、湯川秀樹 『素粒子』、坂田昌一 『物理学原論(上)』、平凡社 『理科辞典』、福岡伸一 著『生物與無生物之間』,甚至日本的理科課本等等,皆呈現錯誤之敘述。 [來源請求]
直到1973年横浜市立大学 名誉教授 植物学 者岩波洋造 在著書『植物之SEX‐不為人知的性之世界』中,點出此誤謬之前,鮮少有人注意。国立教育研究所 物理 研究室長板倉聖宣 在參與製作岩波電影『迴動粒子』(1970年)時,實際攝影漂浮在水中之花粉,卻發現花粉完全沒有布朗運動。遂於1975年3月,以「外行人與專家之間」為題,解說有關布朗運動之誤會。 [來源請求]
^ 部分紀錄為1828年。 ^ 李育嘉. 漫談布朗運動 . [2012-12-14 ] . (原始内容存档 于2019-07-18). ^ BROWNIAN MOTION. : 5. ^ Feynman, R. The Brownian Movement . The Feynman Lectures of Physics, Volume I. 1964: 41-1 [2018-02-05 ] . (原始内容存档 于2021-02-14). ^ 該辭典已於1987年所發行之第四版中修正。 外部連結 [ 编辑 ]