Степеневий ряд — Вікіпедія

У математиці степеневим рядом (однієї змінної) називається нескінченний ряд виду:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)^{1}+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\cdots }$ де a_n — коефіцієнти n - го доданку, c — деяка константа, а x — змінна визначена в деякій області, що містить c. На практиці часто c рівне нулю і степеневі ряди мають простіший вид:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\ldots .}$

Степеневі ряди широко використовуються у дійсному і комплексному аналізі, як ряди Тейлора функцій, а також в комбінаториці, теорії ймовірностей та ін.

Операції зі степеневими рядами[ред. | ред. код]

Додавання і віднімання[ред. | ред. код]

Для степеневих рядів f і g навколо точки c, можна визначити їх суму і різницю. Якщо:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}}$

${\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}$

тоді

${\displaystyle f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\pm b_{n})(x-c)^{n}.}$

Множення і ділення[ред. | ред. код]

Для множення і ділення одержуються формули:

${\displaystyle f(x)g(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)}$

${\displaystyle =\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}}$

${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-c)^{n}.}$

Послідовність ${\displaystyle m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}$ називається конволюцією послідовностей ${\displaystyle a_{n}}$ і ${\displaystyle b_{n}}$.

Для ділення виконується:

${\displaystyle {f(x) \over g(x)}={\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n} \over \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}}$

${\displaystyle f(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}\right)}$

і значення знаходяться з формул конволюції.

Збіжність степеневих рядів[ред. | ред. код]

Степеневий ряд називається збіжним в точці x₀, якщо збіжним є відповідний числовий ряд ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x_{0}^{n}=a_{0}+a_{1}x_{0}+a_{2}x_{0}^{2}+a_{3}x_{0}^{3}+\ldots .}$. Степеневий ряд є збіжним в деякій області, якщо він є збіжним в кожній точці цієї області.

Ознаки збіжності[ред. | ред. код]

Для степеневих рядів є декілька теорем, що описують умови і характер їх збіжності.

• Перша теорема Абеля: Нехай ряд ${\displaystyle \Sigma \,a_{n}x^{n}}$ є збіжним в точці ${\displaystyle {x_{0}}}$. Тоді цей ряд є абсолютно збіжним в кругу ${\displaystyle {|x|<|x_{0}|}}$ рівномірно по ${\displaystyle {x}}$ на будь-якій компактній підмножині цього круга.

Навпаки, якщо степеневий ряд є розбіжним при ${\displaystyle {x=x_{0}}}$, він є розбіжним при всіх ${\displaystyle {x}}$, таких що ${\displaystyle {|x|>|x_{0}|}}$. З першої теореми Абеля також випливає, що існує такий радіус круга ${\displaystyle {R}}$ (можливо, нульовий або нескінченний), що при ${\displaystyle {|x|<R}}$ ряд є абсолютно збіжним (і збіжність є рівномірною по ${\displaystyle x}$ на компактних підмножинах круга ${\displaystyle {|x|<R}}$), а при ${\displaystyle {|x|>R}}$ ряд є розбіжним. Це значення ${\displaystyle R}$ називається радіусом збіжності ряду, а круг ${\displaystyle {|x|<R}}$ — кругом збіжності.

• Формула Коші — Адамара: Значення радіусу збіжності степеневого ряду може бути обчислено за формулою:

${\displaystyle {1 \over R}={\varlimsup \limits _{n\rightarrow +\infty }}\,|a_{n}|^{1/n}}$

Нехай ${\displaystyle F(x)}$ і ${\displaystyle G(x)}$ — два степеневі ряди з радіусами збіжності ${\displaystyle {R_{F}}}$ і ${\displaystyle {R_{G}}}$. Тоді

${\displaystyle R_{F+G}\geq \min\{R_{F},\,R_{G}\}}$

${\displaystyle R_{F\cdot G}\geq \min\{R_{F},R_{G}\}}$

${\displaystyle R_{F'}\,=\,R_{F}}$

Якщо у ряду ${\displaystyle G(x)}$ вільний член нульовий, тоді

${\displaystyle R_{F\circ G}\geq {R_{F} \over {R_{F}+1}}R_{G}}$

Питання про збіжність ряду в точках межі ${\displaystyle {|x|=R}}$ круга збіжності потребує додаткового аналізу:

Ознака Д’Аламбера: Якщо при ${\displaystyle n>N}$ і ${\displaystyle \alpha >1}$ виконано нерівність

${\displaystyle \left|{a_{n} \over a_{n+1}}\right|\geq R\left(1+{\alpha \over n}\right)}$

тоді степеневий ряд ${\displaystyle \Sigma \,a_{n}x^{n}}$ є абсолютно збіжним в усіх точках кола ${\displaystyle {|x|=R}}$ і збіжність є рівномірною по ${\displaystyle x}$.

• Ознака Діріхле: Якщо всі коефіцієнти степеневого ряду ${\displaystyle \Sigma \,a_{n}x^{n}}$ додатні і послідовність ${\displaystyle a_{n}}$ монотонно збігається до нуля, тоді цей ряд є збіжним в усіх точках кола ${\displaystyle {|x|=1}}$, окрім, можливо, точки ${\displaystyle {x=1}}$.
• Друга теорема Абеля:Нехай степеневий ряд є збіжним в точці ${\displaystyle {x=x_{0}}}$. Тоді він є рівномірно збіжним по ${\displaystyle {x}}$ на відрізку, що сполучає точки 0 і ${\displaystyle {x_{0}}}$.

Похідна і інтеграл[ред. | ред. код]

Якщо деяка функція рівна сумі степеневого ряду в деякій області то її похідну і інтеграл можна визначити почленно продиференціювавши і проінтегрувавши доданки степеневого ряду:

${\displaystyle f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n\left(x-c\right)^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}\left(n+1\right)\left(x-c\right)^{n}}$

${\displaystyle \int f(x)\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}\left(x-c\right)^{n+1}}{n+1}}+k=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}\left(x-c\right)^{n}}{n}}+k.}$

Радіуси збіжності обох цих рядів дорівнюють радіусу початкового ряду.

Степеневі ряди багатьох змінних[ред. | ред. код]

Степеневий ряд від n змінних — ряд виду:

${\displaystyle F(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=\sum \limits _{k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}=0}^{+\infty }a_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}}X_{1}^{k_{1}}X_{2}^{k_{2}}\ldots X_{n}^{k_{n}}}$

або, в мультиіндексних позначеннях

${\displaystyle F(X)=\sum \limits _{\alpha }a_{\alpha }X^{\alpha },}$

де ${\displaystyle X}$ — це вектор ${\displaystyle X=(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})}$, ${\displaystyle \alpha }$ — мультиіндекс ${\displaystyle \alpha =(k_{1},k_{2},\dots k_{n})}$, ${\displaystyle X^{\alpha }}$ — одночлен ${\displaystyle X^{\alpha }=X_{1}^{k_{1}}X_{2}^{k_{2}}\ldots X_{n}^{k_{n}}}$.

Див. також[ред. | ред. код]

• Ряд (математика)
• Формальний степеневий ряд
• Ряд Тейлора
• Теорема Абеля
• Ряд Пюїзо

Література[ред. | ред. код]

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)
• Грищенко А.О., Нагнибіда М.І., Настасів П.П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: Вища школа, 1994. — 375 ст.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969.
• Zill Dennis G., Shanahan Patrick D., A first course in complex analysis with applications, Jones and Bartlett Publishers, Inc., ISBN 0763714372

Посилання[ред. | ред. код]

• Степеневі ряди. Теорема Абеля. Радіус збіжності.Область збіжності степеневого ряду // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 520. — 594 с.