Sinus hyperbolique réciproque — Wikipédia
Le sinus hyperbolique réciproque est, en mathématiques, une fonction hyperbolique.
Définition[modifier | modifier le code]
La fonction sinus hyperbolique réciproque, ou argument sinus hyperbolique[1], notée arsinh[2] (ou argsh),
est définie à l'aide du sinus hyperbolique par :
- .
Propriétés[modifier | modifier le code]
Cette fonction est bijective et son image est . Elle est continue, impaire, strictement croissante, convexe sur et concave sur .
Sa valeur en 0 est 0 et sa limite en +∞ est +∞.
Elle est dérivable sur et sa dérivée est donnée par :
- .
Par conséquent :
- la fonction arsinh s'exprime à l'aide du logarithme népérien par :
- [3].
Sinus hyperbolique réciproque complexe[modifier | modifier le code]
Voir à Détermination_d'une_fonction_multivaluée#Argument_sinus_hyperbolique_complexe.
Lien externe[modifier | modifier le code]
(en) Eric W. Weisstein, « Inverse Hyperbolic Sine », sur MathWorld
Notes et références[modifier | modifier le code]
- Daniel Guinin et Bernard Joppin, Analyse MPSI, Bréal, (lire en ligne), p. 26.
- Notation recommandée par la norme ISO/CEI 80000-2.
- Pour une preuve plus directe, voir par exemple .