Si ce bandeau n'est plus pertinent, retirez-le. Cliquez ici pour en savoir plus. En mathématiques , l’arc sinus d'un nombre réel compris (au sens large) entre –1 et 1 est l'unique mesure d'angle en radians dont le sinus vaut ce nombre, et comprise entre –π/2 et π/2 .
La fonction qui associe à tout nombre réel compris au sens large entre –1 et 1 la valeur de son arc sinus est notée arcsin (Arcsin[ 1] ou Asin en notation française, sin−1 , asin ou asn en notation anglo-saxonne). Il s'agit alors de la bijection réciproque de la restriction de la fonction trigonométrique sinus à l'intervalle [–π/2, π/2] . Elle fait partie des fonctions circulaires réciproques .
On a donc par définition :
{ θ = arcsin x x ∈ [ − 1 , 1 ] ⇔ { x = sin θ θ ∈ [ − π 2 , π 2 ] {\displaystyle \left\{{\begin{array}{c}\theta =\arcsin x\\x\in \lbrack -1,1]\end{array}}\right.\Leftrightarrow \left\{{\begin{array}{c}x=\sin \theta \\\theta \in \left[-{\dfrac {\pi }{2}},{\dfrac {\pi }{2}}\right]\end{array}}\right.}
Dans un repère cartésien orthonormé du plan, la courbe représentative de la fonction arc sinus est obtenue à partir de la courbe représentative de la restriction de la fonction sinus à l'intervalle [–π/2, π/2] par la réflexion d'axe la droite d'équation y = x .
Relations avec les fonctions circulaires directes [ modifier | modifier le code ] sin ( arcsin x ) = x {\displaystyle \sin(\arcsin x)=x} pour x ∈ [ − 1 , 1 ] {\displaystyle x\in \lbrack -1,1]} cos ( arcsin x ) = 1 − x 2 {\displaystyle \cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}} pour x ∈ [ − 1 , 1 ] {\displaystyle x\in \lbrack -1,1]} tan ( arcsin x ) = x 1 − x 2 {\displaystyle \tan(\arcsin x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}} pour x ∈ ] − 1 , 1 [ {\displaystyle x\in ]-1,1[} Par contre, arcsin ( sin x ) = x {\displaystyle \arcsin(\sin x)=x} seulement pour x ∈ [ − π 2 , π 2 ] {\displaystyle x\in \left[-{\dfrac {\pi }{2}},{\dfrac {\pi }{2}}\right]}
La formule générale est arcsin ( sin x ) = ( − 1 ) k ( x − k π ) {\displaystyle \arcsin(\sin x)=(-1)^{k}(x-k\pi )} où k {\displaystyle k} est la partie entière de x π + 1 2 {\displaystyle {\frac {x}{\pi }}+{\frac {1}{2}}} .
Comme dérivée d'une bijection réciproque , arcsin est dérivable sur ]–1, 1[ et vérifie arcsin ′ x = 1 1 − x 2 {\displaystyle \arcsin 'x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}} . Cette formule s'obtient grâce au théorème sur la dérivée d'une bijection réciproque et à la relation cos ( arcsin x ) = 1 − x 2 {\displaystyle \cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}} .
Si | x | ⩽ 1 {\displaystyle |x|\leqslant 1} ,
arcsin x = x + 1 2 ⋅ x 3 3 + 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ⋅ x 5 5 + 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ x 7 7 + … = ∑ n = 0 ∞ ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! ⋅ x 2 n + 1 2 n + 1 = ∑ n = 0 ∞ ( 2 n n ) x 2 n + 1 4 n ( 2 n + 1 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin x&=x+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\cdot {\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\cdot {\frac {x^{7}}{7}}+\dots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\cdot {\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\binom {2n}{n}}x^{2n+1}}{4^{n}(2n+1)}}.\end{aligned}}} (Voir aussi Fonction hypergéométrique#Cas particuliers .)
Démonstration
Le développement de la dérivée est :
arcsin ′ ( x ) = ( 1 − x 2 ) − 1 2 = 1 + ( − 1 2 ) ( − x 2 ) + ( − 1 2 ) ( − 3 2 ) 2 ( − x 2 ) 2 + ( − 1 2 ) ( − 3 2 ) ( − 5 2 ) 2 ⋅ 3 ( − x 2 ) 3 + ⋯ = 1 + 1 2 x 2 + 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 x 4 + 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 x 6 + … , {\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin '(x)&=(1-x^{2})^{-{\frac {1}{2}}}\\&=1+\left(-{\frac {1}{2}}\right)(-x^{2})+{\frac {\left(-{\frac {1}{2}}\right)\left(-{\frac {3}{2}}\right)}{2}}(-x^{2})^{2}+{\frac {\left(-{\frac {1}{2}}\right)\left(-{\frac {3}{2}}\right)\left(-{\frac {5}{2}}\right)}{2\cdot 3}}(-x^{2})^{3}+\cdots \\&=1+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}x^{4}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}x^{6}+\dots ,\end{aligned}}} d'où le résultat, en « intégrant » terme à terme .
Cette fonction peut s'écrire sous la forme d'une intégrale indéfinie :
arcsin x = ∫ 0 x 1 1 − t 2 d t {\displaystyle \arcsin x=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t} .
Les primitives de l'arc sinus s'obtiennent par intégration par parties :
∫ arcsin x d x = x arcsin x + 1 − x 2 + C {\displaystyle \int \arcsin x\,\mathrm {d} x=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C} .
arccos(x ) (bleu) et arcsin(x ) (rouge) Pour tout réel x entre –1 et 1 : arccos x + arcsin x = π 2 {\displaystyle \arccos x+\arcsin x={\frac {\pi }{2}}} .
De la relation valable pour tout z complexe : sin z = –i sinh(iz ) , on déduit
arcsin z = − i arsinh ( i z ) {\displaystyle \arcsin z=-{\rm {i}}\operatorname {arsinh} ({\rm {i}}z)} . D'où l'expression de la fonction arc sinus avec un logarithme complexe : arcsin z = − i ln ( i z + 1 − z 2 ) {\displaystyle \arcsin z=-{\rm {i}}\ln \left({\rm {i}}z+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)} , valable pour z ∈ C ∖ ] − ∞ , − 1 [ ∪ ] 1 , + ∞ [ {\displaystyle z\in {\mathbb {C}}\setminus ]-\infty ,-1[\cup ]1,+\infty [} .
Le développement en série
arcsin z = ∑ n = 0 ∞ ( 2 n n ) z 2 n + 1 4 n ( 2 n + 1 ) {\displaystyle \arcsin z=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}{\frac {z^{2n+1}}{4^{n}(2n+1)}}} est alors valable pour tout z dans le disque fermé de centre 0 et de rayon 1.
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Intégrale de Wallis (pour le développement de arcsin x 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {\arcsin x}{\sqrt {1-x^{2}}}}} )