Teoria de conjuntos de Zermelo – Wikipédia, a enciclopédia livre

Em matemática, a Teoria de conjuntos de Zermelo, abreviada Z, é a apresentação axiomática da Teoria de conjuntos publicada pela primeira vez por Ernst Zermelo em 1908 no seu artigo Pesquisas sobre os fundamentos da teoria de conjuntos. I ^[1] e que formou a base da Teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, ZF, a teoria axiomática de conjuntos mais utilizada hoje, que resulta de acrescentar à Teoria de Zermelo os axiomas de substituição e fundação.

Axiomas da teoria de Zermelo[editar | editar código-fonte]

Axioma de extensão[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Axioma da extensão

Dois conjuntos são iguais (são o mesmo conjunto) se eles têm os mesmos elementos. Na linguagem da lógica atual:

${\displaystyle \forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow x=y].}$

Axioma do conjunto vazio[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Axioma do conjunto vazio

Existe um conjunto, o conjunto vazio ∅, que não contém nenhum elemento:

${\displaystyle \exists x\forall y\;(y\not \in x)}$

Axioma do conjunto unitário e do par[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Axioma do par

Para cada conjunto ${\displaystyle x}$ existe o conjunto unitário ${\displaystyle \{x\}}$. Para cada conjunto ${\displaystyle x}$ e para cada conjunto ${\displaystyle y}$ existe o par (não ordenado) ${\displaystyle \{x,y\}}$.

${\displaystyle \forall x\exists z(z=\{x\})}$

${\displaystyle \forall x\forall y\exists z(z=\{x,y\})}$

Na sua publicação de 1908, Zermelo enuncia o Axioma II com o nome "Axioma dos conjuntos elementares"^[2]. Esse axioma tem três partes, que correspondem ao conjunto vazio, conjunto unitário e conjunto de pares. Se interpretamos "dois objetos" do enunciado original de Zermelo do axioma de pares, como dois objetos diferentes, ficaria:

${\displaystyle \forall x\forall y\left(x\neq y\Rightarrow \exists z\left(z=\{x,y\}\right)\right)}$

Apesar desse último não ser logicamente equivalente (em primeira ordem) à forma usual anterior, os outros axiomas permitem afirmar a existência de ${\displaystyle \{x\}}$ e de ${\displaystyle \{y\}}$ usando ${\displaystyle \{x,y\}}$.

Axioma da separação[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Axioma da separação

Se a propriedade ${\displaystyle P(z)}$ está definida para todos os elementos de um conjunto ${\displaystyle x}$, então existe um subconjunto ${\displaystyle y}$ de ${\displaystyle x}$ que contém os elementos de ${\displaystyle x}$ que satisfazem a propriedade ${\displaystyle P}$. Em termos atuais, dada uma fórmula ${\displaystyle \phi (s_{0},\dots ,s_{n},z)}$ de primeira ordem da linguagem de ZF com a variável livre ${\displaystyle z}$ e os parâmetros ${\displaystyle s_{0},\dots ,s_{n}}$:

${\displaystyle \forall x\exists y\forall z\;(z\in y\Leftrightarrow z\in x\wedge \phi (s_{0},\dots ,s_{n},z))}$

Axioma do conjunto potência[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Axioma da potência

Para todo conjunto ${\displaystyle x}$ existe um conjunto ${\displaystyle y}$ que tem como elementos todos os subconjuntos de ${\displaystyle x}$.

${\displaystyle \forall x\exists y\forall z(z\subseteq x\rightarrow z\in y)}$

Um tal ${\displaystyle y}$ é denominado "conjunto potência de ${\displaystyle x}$" ou "conjunto das partes de ${\displaystyle x}$", usualmente denotado:

${\displaystyle y={\mathcal {P}}(x)}$

Axioma da união[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Axioma da união

Para todo conjunto ${\displaystyle x}$ existe um conjunto ${\displaystyle y}$ tal que todo elemento ${\displaystyle z}$ que pertence a um elemento de ${\displaystyle x}$ é um elemento de ${\displaystyle y}$.

${\displaystyle \forall x\,\exists y\,\forall z\,\forall h(h\in x\land z\in h\Rightarrow z\in y)}$

Esse ${\displaystyle y}$ cuja existência é afirmada pelo axioma é denominado "união de ${\displaystyle x}$":

${\displaystyle y=\bigcup (x)}$

Ou "união dos elementos de ${\displaystyle x}$":

${\displaystyle y=\bigcup _{h\in x}(h)}$

Axioma do infinito[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Axioma do infinito

Existe um conjunto ${\displaystyle y}$ que contém o conjunto vazio ${\displaystyle \varnothing }$, e para cada ${\displaystyle x\in y}$, o conjunto ${\displaystyle \{x\}}$ também pertence a ${\displaystyle y}$. Note que Zermelo usa ${\displaystyle \{x\}}$ como o sucessor de ${\displaystyle x}$ na sequência numérica (Zahlenreihe):

${\displaystyle 0,\{0\},\{\{0\}\},\{\{\{0\}\}\},\dots }$

A definição habitual, que provém de von Neumann, estabelece sucessor de maneira diferente como ${\displaystyle x\cup \{x\}}$.

O axioma do infinito tal como ele é enunciado por Zermelo, poderia ser interpretado modernamente como:

${\displaystyle \exists y\left((\varnothing \in y)\wedge \forall x(x\in y\Rightarrow \{x\}\in y)\right)}$

Axioma da escolha[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Axioma da escolha

Se ${\displaystyle x}$ é um conjunto de conjuntos não vazios e disjuntos dois a dois, então existe um conjunto de escolha ${\displaystyle e}$ contido na união de ${\displaystyle x}$, tal que para cada elemento ${\displaystyle y}$ de ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle e}$ tem um único elemento em comum com ${\displaystyle y}$. A ideia intuitiva é que o conjunto ${\displaystyle e}$ "escolhe" um elemento de cada ${\displaystyle y}$ em ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle \forall x\left(\forall y_{0},y_{1}\in x(y_{0}\cap y_{1}=\varnothing )\Rightarrow \exists e\forall y\in x\;\exists z\left(e\cap y=\{z\}\right)\right)}$

Contribuição de Zermelo[editar | editar código-fonte]

• Axioma de extensão. Foi idealizado por Bolzano^[3], mas como esse trabalho só foi publicado em 1975, possivelmente era desconhecido por Zermelo. Entretanto, Zermelo possivelmente conhecia o trabalho de Dedekind^[4] publicado em 1888, que contém um enunciado desse axioma^[5].

• Axioma da separação. É original de Zermelo^[6]. Skolem propõe, por volta de 1920, que no lugar da "propriedade definida" que aparece na formulação de Zermelo, seja usada uma fórmula da linguagem (de primeira ordem)^[7].

• Axioma do conjunto vazio. Zermelo utiliza a palavra "impróprio" (uneigentliche) para se referir ao conjunto vazio, pois não está claro se se ajusta à definição de Cantor de conjunto^[5]. Não usado por Cantor nem por Dedekind, possivelmente seja uma definição original de Zermelo.

• Axiomas do conjunto unitário, do par, da união e da potência. Cantor usa esses procedimentos de maneira não formalizada.

• Axioma do infinito. Cantor não dá uma definição formal dos números naturais, mas assume a existência do conjunto deles. Dessa maneira assume a existência de conjuntos infinitos. Além disso, Cantor afirma:

Que as multiplicidades "enumeráveis" são conjuntos acabados, parece-me um enunciado axiomático seguro.^[8]

Na apresentação de Dedekind de 1888 do Princípio de indução matemática^[9], ele concebe o conjunto dos números naturais como contendo e o sucessor de cada elemento desse conjunto. Entretanto, Dedekind define "infinito" de uma maneira diferente, hoje conhecida como infinito de Dedekind^[10].

• Axioma da escolha. Introduzido pelo próprio Zermelo em 1904^[11] para demonstrar que todo conjunto pode ser bem ordenado.

Independência e consistência relativa dos axiomas[editar | editar código-fonte]

O Axioma do conjunto vazio pode ser demonstrado a partir dos outros axiomas, basta usar o Axioma de separação com a fórmula ${\displaystyle z}$≠${\displaystyle z}$ que não é satisfeita por nenhum elemento.

Se o Axioma dos pares não pedir explicitamente que ${\displaystyle a}$≠${\displaystyle b}$ para a existência do par ${\displaystyle \{a,b\}}$, então a existência do conjunto unitário segue-se da existência de ${\displaystyle \{a,a\}=\{a\}}$. A independência do Axioma de pares (se os outros axiomas são consistentes) foi demonstrada por Boffa^[12], resultado interessante, pois esse axioma não é independente em Zermelo-Frankel.

Fraenkel introduziu o método dos modelos de permutação para demonstrar a independência relativa do Axioma da Escolha^[13].

A independência do Axioma de infinito é demonstrada de maneira similar a ZF, ${\displaystyle V_{\omega }}$ é um modelo da teoria de Zermelo sem o Axioma de infinito.

Os axiomas de união e partes são independentes, igual que em ZF. Diferentemente de ZF o axioma da união e consistente relativo aos demais axiomas, se eles foram consistentes. Assim, o axioma da união é uma extensão forte em ZF, mas uma extensão fraca na teoria de Zermelo. O Axioma de pares também é consistente relativo^[14].

Referências

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

• Maurice Boffa (1972). «L'axiome de la paire dans le système de Zermelo». Archive for Mathematical Logic (em francês). 15 (3−4): 97−98 

• Bernard Bolzano (1975). Einleitung zur Größenlehre und erste Begriffe der allgemeinen Größenlehre (em alemão). II A 7. Stuttgart: Frommann-Holzboog 

• Richard Dedekind (1932). «Was sind und was sollen die Zahlen?». Gesammelte mathematische Werke (em alemão). III. Braunschweig: Friedr. Vieweg & Sohn. p. 335−391 

• Carlos Gustavo González (1991). Modelos da Teoria de Conjuntos de Zermelo. Campinas: Dissertação de mestrado 

• Jean van Heijenoort (1967). From Frege to Gödel: a source book in mathematical logic, 1879−1931 (em inglês). Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press 

• Ernst Zermelo (1904). «Beweisß, da jede Menge wohlgeordnet werden kann». Mathematische Annalen (em alemão). 59 (4): 514−516  Reimpresso com tradução ao inglês em Zermelo 2010, pp. 114−119, e tradução ao inglês em van Heijenoort 1967, pp. 139−141.

• Ernst Zermelo (1908). «Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. I». Mathematische Annalen (em alemão). 65 (2): 261−281  Reimpresso com tradução ao inglês em Zermelo 2010, pp. 188−229, e tradução ao inglês em van Heijenoort 1967, pp. 199−215.

• Ernst Zermelo (2010). Collected Works — Gesammelte Werke (em alemão e inglês). I. Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-540-79383-0  !CS1 manut: Língua não reconhecida (link)