Nombre figuré — Wikipédia

En arithmétique, un nombre figuré est un nombre entier qui peut être représenté par un ensemble de points disposés de façon plus ou moins régulière et formant une figure géométrique. Il répond donc à une classe particulière de problèmes de dénombrement.

Les nombres figurés sont d'origine très ancienne. On attribue généralement à Pythagore les premières études de nombres figurés^[1],[2] (nombres carrés). Diophante a résolu plusieurs problèmes les concernant. Pascal a écrit un traité sur le sujet.

Exemple de nombres figurés[modifier | modifier le code]

Les nombres figurés les plus simples sont

• Les nombres carrés

1	4	9

• Les nombres triangulaires

1	3	6

• Les nombres hexagonaux centrés

1	7	19

Ils correspondent par exemple à la répartition des cônes de couleur au centre de la rétine, ou à celle des alvéoles d'abeilles.

• Les nombres cubiques :

1, 8, 27, 64

qui dessinent un cube dans l'espace.

Pistes d'exploration[modifier | modifier le code]

Le premier contact que tout être pensant entretient avec le nombre passe par le nombre figuré. C'est un langage universel non lié à l'écriture et aux systèmes de numération. Le nombre figuré permet de prouver que certains animaux (le poulpe par exemple) ont une conscience du nombre.^{[réf. nécessaire]} En pédagogie, le passage par le nombre figuré permet de visualiser des propriétés comme la commutativité ou l'associativité des lois d'addition et de multiplication – lois qui sont dictées en construisant des rangées ou des tables de points. La relation 2 + 3 = 3 + 2 = 5, par exemple, qui traduit le fait que 2 et 3 sont permutables pour l'addition, peut être représentée par

+ = + =

Et la relation 2 × 3 = 3 × 2 = 6 (qui traduit le fait que 2 et 3 sont permutables pour la multiplication) peut être représentée par

2 × 3	3 × 2	6

On voit qu'on peut passer d'un rectangle à l'autre par rotation de 90° donc sans changer le nombre d'éléments. D'autre part, la somme est la simple juxtaposition des lignes des rectangles.

L'étude des nombres figurés consiste en général à trouver une relation entre le nombre lui-même et son rang dans la série. Par exemple, le nombre triangulaire de rang n est n(n + 1)/2. Le nombre cubique de rang n est n³. Les concepts des nombres figurés font intervenir implicitement le concept « moderne » de récurrence.

Une deuxième voie de recherche est de déterminer les propriétés des nombres figurant dans une même série. Par exemple, il est facile de montrer qu'il n'y a aucun nombre premier parmi les nombres triangulaires (sauf 3), carrés ou rectangles.

Une autre voie de recherche est d'utiliser les nombres figurés dans des résolutions d'équations dans ℕ comme l'extraction de racine carrée et de racine cubique.

Classification[modifier | modifier le code]

On range les nombres figurés suivant la dimension de la figure représentée. En dimension supérieure ou égale à 4, les nombres figurés ne sont plus représentables par des figures correspondant au monde tangible mais sont considérés comme des vues de l'esprit. La figure est alors un polytope et le nombre est alors appelé un nombre polytopique.

En dimension 1[modifier | modifier le code]

Les nombres linéaires sont les entiers classiques.

En dimension 2[modifier | modifier le code]

• Les nombres polygonaux (triangulaires, carrés, pentagonaux, hexagonaux, heptagonaux, octogonaux ou gnomoniques).
• Les nombres polygonaux centrés (triangulaires, carrés, pentagonaux, hexagonaux, heptagonaux, octogonaux).

En dimension 3[modifier | modifier le code]

• Les nombres pyramidaux (triangulaires, carrés, pentagonaux, hexagonaux)
• Les nombres polyédriques (tétraédriques, cubiques, octaédriques, dodécaédriques, icosaédriques)
• Les nombres polyédriques centrés (tétraédriques, cubiques, octaédriques, dodécaédriques, icosaédriques)

En dimension 4[modifier | modifier le code]

• Les nombres pentatopiques ou pentachoriques, ou hypertétraédriques
• Les nombres pentatopiques centrés ou pentachoriques centrés, ou hypertétraèdriques centrés

• Les nombres hypercubiques, hyperoctaédriques, hyperdodécaédriques, hypericosaédriques

Nombres polytopiques généralisant les nombres triangulaires et tétraédriques[modifier | modifier le code]

On peut définir des nombres figurés comptant des points répartis dans un simplexe, polytope généralisant le triangle et le tétraèdre. Le n-ième nombre k-simplicial ou hypertétraédrique de dimension k ^[3],[4] est le nombre de points d'un k-simplexe dont les arêtes comportent n points. C'est donc la somme des nombres (k – 1)-simpliciaux d'indices 1 à n, ce qui permet, grâce à la formule d'itération de Pascal, de le calculer par récurrence :

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad S_{k}(n)=C_{n+k-1}^{k}={{n(n+1)\cdots (n+k-1)} \over {k!}}={\frac {n^{\overline {k}}}{k!}}}$

où ${\displaystyle k!}$ est la factorielle de ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle C_{n}^{k}={n \choose k}}$ est un coefficient binomial, et ${\displaystyle n^{\overline {k}}}$ une factorielle croissante.

Les nombres k-simpliciaux constituent donc la (${\displaystyle k}$ + 1)-ième colonne du triangle de Pascal. Par exemple, pour les dimensions de 1 à 6, ce sont :

• ${\displaystyle S_{1}(n)=n}$ (nombres linéaires)
• ${\displaystyle S_{2}(n)={\frac {n(n+1)}{2}}}$ , nombres triangulaires, suite A000217 de l'OEIS
• ${\displaystyle S_{3}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}}$ , nombres tétraédriques, suite A000292 de l'OEIS
• ${\displaystyle S_{4}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}}}$ , nombres pentatopiques, suite A000332 de l'OEIS
• ${\displaystyle S_{5}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{120}}}$, suite A000389 de l'OEIS
• ${\displaystyle S_{6}(n)={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}{720}}}$, suite A000579 de l'OEIS

Notes et références[modifier | modifier le code]

dont une source était (en) Midhat J. Gazalé, Gnomon, From Pharaohs to Fractals, PUP, 1999 (lire en ligne).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

• Théorème de Pick

Lien externe[modifier | modifier le code]

Une classification des nombres figurés, sur recreomath.qc.ca

v · m Notion de nombre
Ensembles usuels	Entier naturel (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {N} }$) Entier relatif (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} }$) Nombre décimal (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {D} }$) Nombre rationnel (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} }$) Nombre réel (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$) Nombre complexe (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} }$)
Extensions	Quaternion (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {H} }$) Octonion (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {O} }$) Sédénion (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {S} }$) Nombre complexe déployé Tessarine Nombre bicomplexe (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} _{2}}$) Nombre multicomplexe (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} _{n}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {M}}\mathbb {C} _{n}}$) Biquaternion Coquaternion Quaternion hyperbolique Octonion déployé Nombre hypercomplexe Nombre p-adique (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} _{p}}$) Nombre hyperréel Nombre superréel Nombre dual Droite réelle achevée Nombre cardinal Nombre ordinal Nombre surréel Nombre pseudo-réel
Propriétés particulières	Parité Nombre premier Nombre composé Nombre figuré Nombre parfait Nombre positif Nombre négatif Fraction dyadique Nombre irrationnel Nombre algébrique Nombre transcendant Nombre imaginaire pur Nombre de Liouville Période Nombre normal Nombre univers Nombre constructible Nombre réel calculable Nombre transfini Infiniment petit
Exemples	Pi (π) Racine carrée de deux (${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$) Nombre d’or (φ) Zéro (0) Unité imaginaire (i) Constante de Neper (e) Aleph-zéro (ℵ0) Table de constantes mathématiques
Articles liés	Chiffre Numération Fraction Opération Calcul Algèbre Arithmétique Suite d'entiers Infini (∞) Chiffre significatif

v · m Nombres figurés
Bidimensionnel	Polygonal non centré Triangulaire Carré Triangulaire carré Trapézoïdal Pentagonal Hexagonal Heptagonal Octogonal Ennéagonal Décagonal Dodécagonal Polygonal centré Triangulaire centré Carré centré Pentagonal centré Hexagonal centré Heptagonal centré Octogonal centré Ennéagonal centré Décagonal centré Etoilé
Tridimensionnel	Polyédrique non centré Tétraédrique Cubique Octaédrique Dodécaédrique Icosaédrique Octaédrique tronqué Polyédrique centré Tétraédrique centré Cubique centré Octaédrique centré Dodécaédrique centré Icosaédrique centré Pyramidal Tétraédrique Carré Pentagonal Hexagonal Heptagonal
Quadridimensionnel	Polytopique non centré Pentatopique (hypertétraèdrique) Hypercubique Polytopique centré Pentatopique centré

• Arithmétique et théorie des nombres