Nombre parfait — Wikipédia

En arithmétique, un nombre parfait est un entier naturel égal à la moitié de la somme de ses diviseurs ou encore à la somme de ses diviseurs stricts. Plus formellement, un nombre parfait n est un entier tel que σ(n) = 2n où σ(n) est la somme des diviseurs positifs de n. Ainsi 6 est un nombre parfait car ses diviseurs entiers sont 1, 2, 3 et 6, et il vérifie bien 2 × 6 = 12 = 1 + 2 + 3 + 6, ou encore 6 = 1 + 2 + 3.

Voir la suite A000396 de l'OEIS.

Nombres parfaits pairs[modifier | modifier le code]

Premières découvertes[modifier | modifier le code]

Dans le Livre IX de ses Éléments, Euclide, au III^e siècle av. J.-C., a démontré que si M = 2^p − 1 est premier, alors M(M + 1)/2 = 2^p–1(2^p – 1) est parfait.

Par ailleurs, Leonhard Euler, au XVIII^e siècle, a démontré que tout nombre parfait pair est de la forme proposée par Euclide. La recherche de nombres parfaits pairs est donc liée à celle des nombres de Mersenne premiers (nombres premiers de la forme M_p = 2^p − 1, l'entier p étant alors nécessairement premier). La « perfection » d'un tel nombre s'écrit :

2^{p-1}(2^{p}-1)=2^{p-1}M_{p}=1+2+4+\cdots +2^{p-1}+M_{p}+2M_{p}+4M_{p}+\cdots +2^{p-2}M_{p}.

Démonstration du théorème d'Euclide-Euler

On veut montrer l'équivalence :

A = 2 p -1 (2 p - 1)

(avec

2 p - 1

premier) ⇔

A

est un nombre parfait pair.

Sens direct

Soit $A = 2 p -1 (2 p - 1)$ , où $2 p - 1$ est premier.

\sigma (A)=\sigma (2^{p-1}(2^{p}-1))=\sigma (2^{p-1})\sigma (2^{p}-1).

Les diviseurs de $2 p -1$ sont $1, 2, 4, 8, ..., 2 p -1$ . Leur somme est celle des termes d'une suite géométrique, qui vaut donc $2 p - 1$ .

Or ce nombre est premier. Ses seuls diviseurs sont $1$ et lui-même et leur somme vaut $2 p$ .

En combinant ces résultats :

{\begin{aligned}\sigma (2^{p-1}(2^{p}-1))&=\sigma (2^{p-1})\sigma (2^{p}-1)\\&=(2^{p}-1)(2^{p})\\&=2(2^{p-1})(2^{p}-1)\\&=2A.\end{aligned}}

Par conséquent $A = 2 p -1 (2 p - 1)$ est parfait.

Sens réciproque

Supposons que $A$ soit un nombre parfait pair. $A = 2 p -1 x$ , où $x$ est un entier impair.

Comme $A$ est parfait, la somme de ses diviseurs vaut deux fois sa valeur :

\sigma (A)=2A=2^{p}x=\sigma (2^{p-1}x)=\sigma (2^{p-1})\sigma (x)=(2^{p}-1)\sigma (x)

.

Ainsi $2^{p}x=(2^{p}-1)\sigma (x)$ .

De cette égalité, le facteur impair $2 p - 1$ du côté droit doit diviser $x$ , le seul facteur impair du côté gauche (lemme de Gauss). Ainsi il existe un entier $y < x$ , tel que $x = y (2 p - 1)$ . On divise les deux côtés de l'égalité par le facteur commun (non nul) $2 p - 1$ :

2^{p}y=\sigma (x)

.

Or $2^{p}y=\sigma (x)\geq x+y\ =2^{p}y$ (on connait au moins deux diviseurs distincts de $x$ : $x$ et $y$ . Il pourrait y en avoir d'autres. D'où $\sigma (x)\geq x+y$ ).

Comme il y a égalité, $\sigma (x)=x+y$ . Les seuls diviseurs de $x$ sont donc $x$ et $y$ , ce qui prouve que $x$ est premier, et donc $y = 1$ et $x = 1(2 p - 1) = 2 p - 1$ .

Ainsi $A = 2 p -1 (2 p - 1)$ avec $2 p - 1$ premier. Ce qui était recherché.

Exemples[modifier | modifier le code]

Les quatre premiers nombres parfaits sont connus depuis l'Antiquité :

6 = 2¹(2² – 1) = (1 + 2) + 3 ;
28 = 2²(2³ – 1) = (1 + 2 + 4) + (7 + 14) ;
496 = 2⁴(2⁵ – 1) = (1 + 2 + 4 + 8 + 16) + (31 + 62 + 124 + 248) ;
8 128 = 2⁶(2⁷ – 1) = (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64) + (127 + 254 + 508 + 1 016 + 2 032 + 4 064).

Depuis, le total est passé à 51 nombres parfaits (puisqu'on ne connaît que 51 nombres de Mersenne premiers, le dernier découvert en décembre 2018) sans même que l'on sache, à partir du 47^e, s'il n'y a pas des « trous » (des nombres parfaits intermédiaires non encore découverts)^[1]^,^[2].

Les sept premiers nombres parfaits pairs sont donnés dans le tableau suivant^[3] :

p	Nombre de Mersenne premier M_p	Nombre parfait 2^p–1M_p
2	3	6
3	7	28
5	31	496
7	127	8 128
13	8 191	33 550 336
17	131 071	8 589 869 056
19	524 287	137 438 691 328

Propriétés[modifier | modifier le code]

Tout nombre parfait pair se termine par un 6 ou un 8, mais pas forcément en alternance.

En 2000, Douglas Iannucci a démontré que tous les nombres pairs parfaits sont des nombres de Kaprekar en base deux^[4].

Les nombres parfaits pairs étant de la forme 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1), ce sont des nombres triangulaires (et même hexagonaux) et, en tant que tels, la somme des entiers naturels jusqu'à un certain rang (impair), en l'occurrence 2ⁿ − 1. De plus, tous les nombres parfaits pairs, excepté le premier, sont la somme des 2^(n−1)/2 premiers cubes impairs. Par exemple :

28 = 1³ + 3³ ;

496 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³ ;

8128 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³ + 9³ + 11³ + 13³ + 15³.

La somme des inverses des diviseurs d'un nombre parfait pair est égale à 2.

Démonstration

Pour 2^p–1(2^p – 1), cette somme est égale à $\left(\sum _{k=0}^{p-1}{\frac {1}{2^{k}}}\right)\left(1+{\frac {1}{2^{p}-1}}\right)={\frac {1-{\frac {1}{2^{p}}}}{1-{\frac {1}{2}}}}\left(1+{\frac {1}{2^{p}-1}}\right)=2$ .

Nombre parfait impair[modifier | modifier le code]

Aujourd'hui, les mathématiciens ignorent si des nombres parfaits impairs existent. Différents travaux ont été entrepris mais aucun ne permet d'affirmer ou d'infirmer leur existence. En 1496, Jacques Lefèvre a affirmé que tout nombre parfait est de la forme décrite par Euclide^[5], ce qui impliquerait bien sûr qu'aucun nombre parfait impair n'existe. En 2003, Carl Pomerance a présenté une méthode heuristique qui suggère qu'aucun nombre parfait impair n'existe^[6].

Un nombre parfait impair N doit remplir les conditions suivantes^[a]:

N est supérieur à^[7] 10^{1 500}.
N est de la forme $N=q^{\alpha }p_{1}^{2e_{1}}\ldots p_{k}^{2e_{k}}$ où :
- q, p₁, … , p_k sont des nombres premiers distincts (Euler) ;
- q ≡ α ≡ 1 (modulo 4) (Euler) ;
- le plus petit facteur premier de N est inférieur à^[8] (2k + 8) / 3 ;
- la relation e₁ ≡ e₂ ≡ … ≡ e_k ≡ 1 (modulo 3) n'est pas satisfaite^[9] ;
- q^α > 10⁶² ou p_j^2e_j > 10⁶² pour au moins un^[7] j ;
- N est inférieur à^[10] 2^{4^k}.
Si e_i ≤ 2 pour tout i :
- le plus petit diviseur premier de N est au moins^[11] 739 ;
- α ≡ 1 (modulo 12) ou α ≡ 9 (modulo 12)^[9].
N est de la forme 12m + 1 ou 324m + 81 ou 468m + 117^[12].
Le plus grand diviseur premier de N est supérieur à^[13] 10⁸.
Le second plus grand diviseur premier de N est supérieur à^[14] 10⁴ et le troisième à^[15] 100.
N se décompose en au moins 101 facteurs premiers^[7] dont au moins 10 facteurs premiers distincts^[16]. Si 3 n'est pas un diviseur de N, alors N comporte au moins 12 diviseurs premiers distincts^[17].

John Voight a trouvé un nombre impair $N = n \cdot p$ où $n$ et $p$ sont premiers entre eux, $p$ premier et $\sigma (n)(p-1)=2N$ , alors qu'il faudrait $\sigma (n)(p+1)=2N$ pour que $N$ soit parfait impair ( $n=3^{4}7^{2}11^{2}19^{2}$ et $p=127$ ) ^[18]^,^[19]. Il considère alors $-N=n(-p)$ comme nombre parfait impair négatif.

Propriétés mineures[modifier | modifier le code]

Comme on l'a vu précédemment les nombres parfaits pairs ont une forme bien précise et les nombres parfaits impairs sont rares si tant est qu'ils existent. Il existe un certain nombre de propriétés simples à démontrer sur les nombres parfaits :

Un nombre parfait n'est pas divisible par 105^[20]^,^[b].
Le seul nombre parfait pair de la forme $x 3 + 1$ est 28^[21].
Un nombre de Fermat ne peut être parfait^[22].
La somme des inverses des diviseurs d'un nombre parfait vaut 2 :
- pour 6, $1/6 + 1/3 + 1/2+ 1/1 = 2$ ;
- pour 28, $1/28 + 1/14 + 1/7 + 1/4 + 1/2 + 1/1 = 2$ .
Le nombre de diviseurs d'un nombre parfait N (pair ou impair) est pair, puisque N ne peut être un carré parfait^[1].
- De ces deux résultats on déduit que tout nombre parfait est un nombre à moyenne harmonique entière.
En base 10, tous les nombres parfaits pairs se terminent par 6 ou 28 ; en base 9, à la seule exception de 6, ils se terminent tous par 1^[23]^,^[24].
Le seul nombre parfait sans facteur carré est 6.

Notions apparentées[modifier | modifier le code]

Si la somme des diviseurs stricts est plus petite que le nombre, ce nombre est dit déficient. Dans le cas où la somme est plus grande, le nombre est dit abondant. Ces termes sont issus de la numérologie grecque. Un couple de nombres dont chacun est la somme des diviseurs stricts de l'autre est dit amical, les cycles plus étendus sont dits sociables. Un entier positif tel que chaque entier inférieur est la somme de diviseurs distincts du premier nombre est dit pratique.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Nombre presque parfait
Nombre de Descartes (faux nombre parfait impair)

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Perfect number » (voir la liste des auteurs).

Notes[modifier | modifier le code]

↑ Dans ce qui suit, $k$ désigne le nombre de facteurs premiers distincts de N moins un (soient q et p₁ à p_k).
↑ Ce résultat ancien est beaucoup moins précis que ceux connus actuellement (voir supra).

Références[modifier | modifier le code]

↑ ^{a et b} (en) Mersenne primes and perfect numbers sur le site Prime Pages.
↑ (en) GIMPS Milestones sur le site Great Internet Mersenne Prime Search.
↑ La ligne p = 11 est absente car M₁₁ n'est pas premier. Pour toute la liste connue, voir « Nombre de Mersenne premier ».
↑ (en) Douglas E. Iannucci, « The Kaprekar Numbers », Journal of Integer Sequences, vol. 3, 2000, Article 00.1.2.
↑ (en) Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers (en) [détail des éditions], vol. I, p. 6.
↑ (en) Oddperfect.org.
↑ ^{a b et c} (en) Pascal Ochem et Michaël Rao, « Odd perfect numbers are greater than 10¹⁵⁰⁰ », Math. Comp., vol. 81, n^o 279,‎ 2012, p. 1869-1877 (DOI 10.1090/S0025-5718-2012-02563-4, lire en ligne).
↑ (de) Otto Grün, « Über ungerade vollkommene Zahlen », Mathematische Zeitschrift, vol. 55, n^o 3,‎ 1952, p. 353-354 (DOI 10.1007/BF01181133).
↑ ^{a et b} (en) Wayne L. McDaniel, « The non-existence of odd perfect numbers of a certain form », Archiv der Mathematik (Basel), vol. 21,‎ 1970, p. 52-53 (DOI 10.1007/BF01220877).
↑ (en) Pace P. Nielsen, « An upper bound for odd perfect numbers », Integers, vol. 3,‎ 2003, A14 (lire en ligne).
↑ (en) Graeme L. Cohen, « On the largest component of an odd perfect number », J. Australian Mathematical Society, vol. 42, n^o 2,‎ 1987, p. 280-286 (lire en ligne).
↑ (en) Tim S. Roberts, « On the Form of an Odd Perfect Number », Australian Mathematical Gazette, vol. 35, n^o 4,‎ 2008, p. 244 (lire en ligne).
↑ (en) Takeshi Goto et Yasuo Ohno, « Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 108 », Math. Comp.,‎ 2008 (lire en ligne).
↑ (en) D. E. Iannucci, « The second largest prime divisor of an odd perfect number exceeds ten thousand », Math. Comp., vol. 68, n^o 228,‎ 1999, p. 1749-1760 (lire en ligne)
↑ (en) D. E. Iannucci, « The third largest prime divisor of an odd perfect number exceeds one hundred », Math. Comp., vol. 69, n^o 230,‎ 2000, p. 867-879 (lire en ligne).
↑ (en) Pace P. Nielsen, « Odd perfect numbers, Diophantine equations, and upper bounds », Math. Comp., vol. 84,‎ 2015, p. 2549-2567 (DOI 10.1090/S0025-5718-2015-02941-X, lire en ligne).
↑ (en) Pace P. Nielsen, « Odd perfect numbers have at least nine different prime factors », Math. Comp., vol. 76, n^o 260,‎ 2007, p. 2109-2126 (DOI 10.1090/S0025-5718-07-01990-4, lire en ligne), arXiv:math.NT/0602485.
↑ (en) « Mathematicians Open a New Front on an Ancient Number Problem », sur Quanta magazine, 2020
↑ Andersen, Nickolas; Durham, Spencer ; Griffin, Michael J. ; Hales, Jonathan ; Jenkins, Paul ; Keck, Ryan ; Ko, Hankun ; Molnar, Grant; Moss, Eric ; Nielsen, Pace P. ; Niendorf, Kyle ; Tombs, Vandy; Warnick, Merrill ; Wu, Dongsheng, « Odd, spoof perfect factorizations », J. Number Theory, n^o 234,‎ 2020, p. 31-47 (arXiv 2006.10697) arXiv version
↑ (de) Ullrich Kühnel, « Verschärfung der notwendigen Bedingungen für die Existenz von ungeraden vollkommenen Zahlen », Mathematische Zeitschrift, vol. 52,‎ 1949, p. 201-211 (lire en ligne).
↑ (en) A. Makowski, « Remark on Perfect Numbers », Elemente der Mathematik, vol. 17, n^o 109,‎ 1962.
↑ (en) Florian Luca, « The anti-social Fermat number », Amer. Math. Monthly, vol. 107,‎ 2000, p. 171-173.
↑ H. Novarese. Note sur les nombres parfaits, Texeira J. VIII (1886), 11-16.
↑ (en) Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers (en) [détail des éditions], vol. I, p. 25.

Liens externes[modifier | modifier le code]

(es) Sobre el patrón de los números primos
(en) Known Perfect Numbers

Arithmétique et théorie des nombres

[7] Dans ce qui suit, $k$ désigne le nombre de facteurs premiers distincts de N moins un (soient q et p₁ à p_k).

[22] Ce résultat ancien est beaucoup moins précis que ceux connus actuellement (voir supra).

[Caldwell-1] {a et b} (en) Mersenne primes and perfect numbers sur le site Prime Pages.

[GIMPS-2] (en) GIMPS Milestones sur le site Great Internet Mersenne Prime Search.

[3] La ligne p = 11 est absente car M₁₁ n'est pas premier. Pour toute la liste connue, voir « Nombre de Mersenne premier ».

[4] (en) Douglas E. Iannucci, « The Kaprekar Numbers », Journal of Integer Sequences, vol. 3, 2000, Article 00.1.2.

[5] (en) Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers (en) [détail des éditions], vol. I, p. 6.

[oddperfect-6] (en) Oddperfect.org.

[oddperfect2-8] {a b et c} (en) Pascal Ochem et Michaël Rao, « Odd perfect numbers are greater than 10¹⁵⁰⁰ », Math. Comp., vol. 81, n^o 279,‎ 2012, p. 1869-1877 (DOI 10.1090/S0025-5718-2012-02563-4, lire en ligne).

[9] (de) Otto Grün, « Über ungerade vollkommene Zahlen », Mathematische Zeitschrift, vol. 55, n^o 3,‎ 1952, p. 353-354 (DOI 10.1007/BF01181133).

[McDaniel1970-10] {a et b} (en) Wayne L. McDaniel, « The non-existence of odd perfect numbers of a certain form », Archiv der Mathematik (Basel), vol. 21,‎ 1970, p. 52-53 (DOI 10.1007/BF01220877).

[11] (en) Pace P. Nielsen, « An upper bound for odd perfect numbers », Integers, vol. 3,‎ 2003, A14 (lire en ligne).

[12] (en) Graeme L. Cohen, « On the largest component of an odd perfect number », J. Australian Mathematical Society, vol. 42, n^o 2,‎ 1987, p. 280-286 (lire en ligne).

[Roberts2008-13] (en) Tim S. Roberts, « On the Form of an Odd Perfect Number », Australian Mathematical Gazette, vol. 35, n^o 4,‎ 2008, p. 244 (lire en ligne).

[14] (en) Takeshi Goto et Yasuo Ohno, « Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 108 », Math. Comp.,‎ 2008 (lire en ligne).

[15] (en) D. E. Iannucci, « The second largest prime divisor of an odd perfect number exceeds ten thousand », Math. Comp., vol. 68, n^o 228,‎ 1999, p. 1749-1760 (lire en ligne)

[16] (en) D. E. Iannucci, « The third largest prime divisor of an odd perfect number exceeds one hundred », Math. Comp., vol. 69, n^o 230,‎ 2000, p. 867-879 (lire en ligne).

[17] (en) Pace P. Nielsen, « Odd perfect numbers, Diophantine equations, and upper bounds », Math. Comp., vol. 84,‎ 2015, p. 2549-2567 (DOI 10.1090/S0025-5718-2015-02941-X, lire en ligne).

[18] (en) Pace P. Nielsen, « Odd perfect numbers have at least nine different prime factors », Math. Comp., vol. 76, n^o 260,‎ 2007, p. 2109-2126 (DOI 10.1090/S0025-5718-07-01990-4, lire en ligne), arXiv:math.NT/0602485.

[Quanta-19] (en) « Mathematicians Open a New Front on an Ancient Number Problem », sur Quanta magazine, 2020

[BYU-20] Andersen, Nickolas; Durham, Spencer ; Griffin, Michael J. ; Hales, Jonathan ; Jenkins, Paul ; Keck, Ryan ; Ko, Hankun ; Molnar, Grant; Moss, Eric ; Nielsen, Pace P. ; Niendorf, Kyle ; Tombs, Vandy; Warnick, Merrill ; Wu, Dongsheng, « Odd, spoof perfect factorizations », J. Number Theory, n^o 234,‎ 2020, p. 31-47 (arXiv 2006.10697) arXiv version

[21] (de) Ullrich Kühnel, « Verschärfung der notwendigen Bedingungen für die Existenz von ungeraden vollkommenen Zahlen », Mathematische Zeitschrift, vol. 52,‎ 1949, p. 201-211 (lire en ligne).

[23] (en) A. Makowski, « Remark on Perfect Numbers », Elemente der Mathematik, vol. 17, n^o 109,‎ 1962.

[24] (en) Florian Luca, « The anti-social Fermat number », Amer. Math. Monthly, vol. 107,‎ 2000, p. 171-173.

[25] H. Novarese. Note sur les nombres parfaits, Texeira J. VIII (1886), 11-16.

[26] (en) Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers (en) [détail des éditions], vol. I, p. 25.

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v · m Notion de nombre
Ensembles usuels	Entier naturel ( $\scriptstyle \mathbb {N}$ ) Entier relatif ( $\scriptstyle \mathbb {Z}$ ) Nombre décimal ( $\scriptstyle \mathbb {D}$ ) Nombre rationnel ( $\scriptstyle \mathbb {Q}$ ) Nombre réel ( $\scriptstyle \mathbb {R}$ ) Nombre complexe ( $\scriptstyle \mathbb {C}$ )
Extensions	Quaternion ( $\scriptstyle \mathbb {H}$ ) Octonion ( $\scriptstyle \mathbb {O}$ ) Sédénion ( $\scriptstyle \mathbb {S}$ ) Nombre complexe déployé Tessarine Nombre bicomplexe ( $\scriptstyle \mathbb {C} _{2}$ ) Nombre multicomplexe ( $\scriptstyle \mathbb {C} _{n}$ $\scriptstyle {\mathcal {M}}\mathbb {C} _{n}$ ) Biquaternion Coquaternion Quaternion hyperbolique Octonion déployé Nombre hypercomplexe Nombre p-adique ( $\scriptstyle \mathbb {Q} _{p}$ ) Nombre hyperréel Nombre superréel Nombre dual Droite réelle achevée Nombre cardinal Nombre ordinal Nombre surréel Nombre pseudo-réel
Propriétés particulières	Parité Nombre premier Nombre composé Nombre figuré Nombre parfait Nombre positif Nombre négatif Fraction dyadique Nombre irrationnel Nombre algébrique Nombre transcendant Nombre imaginaire pur Nombre de Liouville Période Nombre normal Nombre univers Nombre constructible Nombre réel calculable Nombre transfini Infiniment petit
Exemples	Pi ( $π$ ) Racine carrée de deux ( $\scriptstyle {\sqrt {2}}$ ) Nombre d’or (φ) Zéro (0) Unité imaginaire ( $i$ ) Constante de Neper ( $e$ ) Aleph-zéro (ℵ₀) Table de constantes mathématiques
Articles liés	Chiffre Numération Fraction Opération Calcul Algèbre Arithmétique Suite d'entiers Infini ( $\infty$ ) Chiffre significatif

v · m Ensembles d'entiers sur la base de leur divisibilité
Formes de factorisation	Nombre premier Nombre composé Nombre puissant Entier sans facteur carré
Sommes de diviseurs	Nombre parfait Nombre presque parfait Nombre quasi parfait Nombre parfait multiple Nombre hémiparfait Nombre hyperparfait Nombre superparfait Nombre unitairement parfait Nombre semi-parfait Nombre semi-parfait primitif Nombre pratique Nombre abondant Nombre hautement abondant Nombre superabondant Nombre colossalement abondant Nombre déficient Nombre étrange Nombre intouchable
Nombreux diviseurs	Nombre hautement composé Nombre hautement composé supérieur
Autre	Nombres amicaux Nombre sociable Nombre solitaire Nombre sublime Nombre à moyenne harmonique entière Nombre frugal Nombre équidigital Nombre extravagant