Nombre multicomplexe (Fleury) — Wikipédia

Cette page contient des caractères spéciaux ou non latins. S’ils s’affichent mal (▯, ?, etc.), consultez la page d’aide Unicode.

Pour les articles homonymes, voir Nombre multicomplexe.

Pour l’article homonyme, voir Nombre multicomplexe (Segre).

En mathématiques, les nombres multicomplexes de symbole ${\displaystyle {\mathcal {M}}\mathbb {C} _{n}}$ (n ∈ ℕ^*) constituent une famille d’algèbres hypercomplexes associatives et commutatives de dimension n sur ℝ. Ils ont été introduits par Norbert Fleury en 1993.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit un élément e^{[note 1]} tel que eⁿ = −1 et tel que (1,e,e²,…,eⁿ⁻¹) soit une famille libre : 𝓜ℂ_n est alors défini comme l’algèbre réelle générée par cette famille^{[note 2],[1],[2]}.

Propriétés algébriques[modifier | modifier le code]

• Chaque algèbre 𝓜ℂ_n est un cas particulier d’algèbre de Clifford généralisée (en)^[3].
• Comme eⁿ+1 = 0, chaque algèbre 𝓜ℂ_n est canoniquement isomorphe à l’algèbre quotient (en) ℝ[X]/Xⁿ+1.
• Tout nombre multicomplexe de pseudo-norme non nulle peut s’écrire sous forme polaire : ${\displaystyle \textstyle x=\rho \exp(\sum _{i=1}^{n-1}\phi _{i}e^{i})}$^[4].

Sommes directes et produits tensoriels[modifier | modifier le code]

• Chaque algèbre 𝓜ℂ_n est isomorphe à une somme directe^{[note 3]} impliquant ℝ et ℂ^[5] :
  • si n est pair :

    ${\displaystyle {\mathcal {M}}\mathbb {C} _{n}\cong \underbrace {\mathbb {C} \oplus \mathbb {C} \oplus \cdots \oplus \mathbb {C} } _{{\frac {n}{2}}{\text{ facteurs}}}=\bigoplus ^{\frac {n}{2}}\mathbb {C} =\mathbb {C} ^{\frac {n}{2}}\ ;}$

  • si n est impair :

    ${\displaystyle {\mathcal {M}}\mathbb {C} _{n}\cong \mathbb {R} \oplus \underbrace {\mathbb {C} \oplus \mathbb {C} \oplus \cdots \oplus \mathbb {C} } _{{\frac {n-1}{2}}{\text{ facteurs}}}=\mathbb {R} \oplus \bigoplus ^{\frac {n-1}{2}}\mathbb {C} =\mathbb {R} \times \mathbb {C} ^{\frac {n-1}{2}}=\mathbb {R} \oplus {\mathcal {M}}\mathbb {C} _{n-1}\ ;}$

  • ce que l’on peut écrire de manière compacte : 𝓜ℂ_n ≅ ℝ^{n mod 2} × ℂ^⌊n/2⌋.
• Il s’ensuit immédiatement que :
  • si m et n ne sont pas simultanément impairs, 𝓜ℂ_m ⊕ 𝓜ℂ_n ≅ 𝓜ℂ_m+n ;
  • si m et n sont simultanément impairs, 𝓜ℂ_m ⊕ 𝓜ℂ_n ≅ 𝓜ℂ_m+n−2 ⊕ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {C} \!\!\!\!\diagdown }$^{[note 5]}.
• En utilisant les propriétés précédentes, la distributivité du produit tensoriel d'algèbres ⊗_ℝ par rapport à la somme directe ⊕ et l’isomorphisme^{[note 6]} 𝓜ℂ₄ ≅ ℂ ⊗_ℝ ℂ, on démontre alors aisément que 𝓜ℂ_m ⊗_ℝ 𝓜ℂ_n ≅ 𝓜ℂ_mn.

Isomorphisme avec les nombres multicomplexes de Segre[modifier | modifier le code]

• 𝓜ℂ_2ⁿ ≅ ℂ_n.

Sous-algèbres[modifier | modifier le code]

• 𝓜ℂ_n−1 ⊂ 𝓜ℂ_n.
• ℝ^⌈n/2⌉ ⊂ 𝓜ℂ_n.
• D’où ${\displaystyle \textstyle \mathbb {C} \!\!\!\!\diagdown }$^{⌊(n+1)/4⌋} ⊂ 𝓜ℂ_n.
• ℂ^⌊n/2⌋ ⊂ 𝓜ℂ_n.

Cas particulier : 𝓜ℂ₃[modifier | modifier le code]

Au XIX^e siècle, après que l’idée de représenter les nombres complexes sous la forme géométrique d’un plan 2D a été avancée, les mathématiciens ont cherché à étendre la notion de complexe à l’espace 3D, mais sans succès. C’est finalement en abandonnant l’égalité du nombre de dimensions entre l’algèbre hypercomplexe cherchée et l’espace géométrique que les quaternions, de dimension 4, et leurs liens avec les rotations dans l’espace ont été découverts. Malgré le succès des quaternions, les recherches d’une algèbre hypercomplexe de dimension 3 exhibant des propriétés similaires aux opérations géométriques dans l’espace ont continué, plusieurs auteurs arrivant finalement et indépendamment à l’algèbre 𝓜ℂ₃^[6] ou l’un de ses isomorphes triviaux^{[7],[note 7]}.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

• (en) Norbert Fleury, Michel Rausch de Traubenberg et Robert Masgutovich Yamaleev, « Commutative Extended Complex Numbers and Connected Trigonometry », Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 180, n^o 2,‎ décembre 1993, p. 431–457 (ISSN 0022-247X, DOI 10.1006/jmaa.1993.1410, lire en ligne [PDF], consulté le 9 mars 2016)
• (en) Norbert Fleury, Michel Rausch de Traubenberg et Robert Masgutovich Yamaleev, « Extended Complex Number Analysis and Conformal-like Transformations », Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 191, n^o 1,‎ 1^er avril 1995, p. 118–136 (ISSN 0022-247X, DOI 10.1006/jmaa.1995.1123, lire en ligne [PDF], consulté le 9 mars 2016)
• Michel Rausch de Traubenberg, Algèbres de Clifford, Supersymétrie et Symétries ℤ_n, Applications en Théorie des Champs (habilitation à diriger des recherches), Strasbourg, Université Louis Pasteur, 23 octobre 1997 (arXiv hep-th/9802141), chap. 1.2 (« Extension des nombres complexes »), p. 20–29
• (en) Silviu Olariu, Complex Numbers in Three Dimensions, 4 août 2000 (arXiv math/0008120)^{[note 8]}
• (en) Shlomo Jacobi, On a novel 3D hypercomplex number system, 7 septembre 2015 (arXiv 1509.01459)

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

v · m Notion de nombre
Ensembles usuels	Entier naturel (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {N} }$) Entier relatif (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} }$) Nombre décimal (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {D} }$) Nombre rationnel (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} }$) Nombre réel (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$) Nombre complexe (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} }$)
Extensions	Quaternion (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {H} }$) Octonion (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {O} }$) Sédénion (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {S} }$) Nombre complexe déployé Tessarine Nombre bicomplexe (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} _{2}}$) Nombre multicomplexe (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} _{n}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {M}}\mathbb {C} _{n}}$) Biquaternion Coquaternion Quaternion hyperbolique Octonion déployé Nombre hypercomplexe Nombre p-adique (${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} _{p}}$) Nombre hyperréel Nombre superréel Nombre dual Droite réelle achevée Nombre cardinal Nombre ordinal Nombre surréel Nombre pseudo-réel
Propriétés particulières	Parité Nombre premier Nombre composé Nombre figuré Nombre parfait Nombre positif Nombre négatif Fraction dyadique Nombre irrationnel Nombre algébrique Nombre transcendant Nombre imaginaire pur Nombre de Liouville Période Nombre normal Nombre univers Nombre constructible Nombre réel calculable Nombre transfini Infiniment petit
Exemples	Pi (π) Racine carrée de deux (${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$) Nombre d’or (φ) Zéro (0) Unité imaginaire (i) Constante de Neper (e) Aleph-zéro (ℵ0) Table de constantes mathématiques
Articles liés	Chiffre Numération Fraction Opération Calcul Algèbre Arithmétique Suite d'entiers Infini (∞) Chiffre significatif

v · m Nombres hypercomplexes
Associatifs, commutatifs	1D Nombre réel ℝ 2D Nombre complexe ℂ Nombre complexe déployé ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} \!\!\!\!\diagdown }$ Nombre dual 𝔻 4D Tessarine 𝓣 (≅ Nombre bicomplexe ℂ2) n D Nombre multicomplexe 𝓜ℂn 2n D Nombre multicomplexe ℂn
Associatifs, non commutatifs	4D Quaternion ℍ Coquaternion ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {H} \!\!\!\!\diagdown }$ 8D Biquaternion 𝔹 Biquaternion de Clifford ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {B} \!\!\!\!\diagdown }$ Quaternion dual (en) 𝔻ℍ 2n D Construction de Cayley–Dickson Algèbre de Clifford classification représentation
Non associatifs, non commutatifs	4D Quaternion hyperbolique 𝕄 8D Octonion 𝕆 Octonion déployé ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {O} \!\!\!\!\diagdown }$ 16D Sédénion 𝕊
Sur ℤ	2D Entier de Gauss ℤ[i] Entier d'Eisenstein ℤ[j] 4D Quaternions de Hurwitz ${\displaystyle \scriptstyle {\widetilde {\mathbb {H} }}(\mathbb {Z} )}$
Note : les dimensions sont données sur ℝ (ou ℤ).

• Arithmétique et théorie des nombres