Fonction zêta de Riemann — Wikipédia

En mathématiques, la fonction zêta de Riemann est une fonction analytique complexe qui est apparue essentiellement dans la théorie des nombres premiers. La position de ses zéros complexes est liée à la répartition des nombres premiers. Elle est aussi importante comme fonction modèle dans la théorie des séries de Dirichlet et se trouve au carrefour d'un grand nombre d'autres théories. Les questions qu'elle soulève sont loin d'être résolues et elle sert aussi de motivation et de fil conducteur à de nouvelles études, à l'instar du rôle joué par le grand théorème de Fermat.

Premiers travaux sur la fonction zêta par Euler et Riemann[modifier | modifier le code]

Prologue[modifier | modifier le code]

Le présent article commence par la définition de la fonction à partir de la série de Dirichlet puis cette définition est étendue au plan complexe privé de 1. On examine ensuite ce qui se passe en 1. La théorie de la fonction ζ de Riemann définit trois régions dans le plan complexe, la région de convergence Re(s) > 1, la bande critique 0 ≤ Re(s) ≤ 1, et la région Re(s) < 0. À partir de la relation fonctionnelle, le module de la fonction est estimé dans chacune de ces régions. Cela nécessite des formules permettant d'estimer la fonction ou d'autres fonctions qui lui sont liées. Puis on étudie les zéros. La relation fonctionnelle fournit les zéros réels et également l’ordre de ces zéros : ils sont simples. Dans la bande critique, il en existe une infinité. On estime donc ce nombre N(T) dans un rectangle de hauteur T. Le théorème de Hardy en place une infinité sur l'axe Re(s) = 1/2. On estime, avec beaucoup de difficulté, le nombre N₀(T) des zéros dont la partie imaginaire est comprise entre 0 et T et dont la partie réelle est 1/2. Pour étudier la répartition des zéros, différentes quantités les faisant intervenir sont estimées. Enfin, les conjectures classiques sont examinées : définitions, conséquences, critères équivalents.

Les recherches sur la fonction zêta constituent un domaine très technique. La plupart des preuves, nécessitant une formation spécialisée en théorie analytique des nombres, sont omises ici.

La théorie de la fonction ζ de Riemann est presque tout entière dominée par la question de la répartition de ses zéros. Comme l'explique la théorie générale des fonctions analytiques, toute fonction méromorphe s'écrit comme le produit de facteurs faisant apparaître les pôles et les zéros de cette fonction. L'hypothèse de Riemann selon laquelle tous les zéros non triviaux de la fonction ζ de Riemann sont de partie réelle égale à 1/2 renforce encore l'intérêt pour ces zéros. Aussi la théorie s'est-elle développée dans plusieurs directions : la première est celle de l'étude des zéros eux-mêmes. On a cherché à démontrer l'hypothèse de Riemann elle-même avant de se rendre compte des difficultés. L'objectif est alors devenu plus modeste : démontrer une partie de l'hypothèse de Riemann. D'un autre côté, la communauté mathématique croit en l'hypothèse de Riemann, aussi a-t-on cherché les conséquences de l'hypothèse de Riemann en prévision de sa démonstration. Cependant chaque nouvelle conséquence de l'hypothèse de Riemann est aussi une voie nouvelle pour l'infirmer.

Par exemple, on démontre que l'on a, sous l'hypothèse de Riemann, si C > e^2γ (où γ = 0,577… est la constante d'Euler-Mascheroni), pour t assez grand :

${\displaystyle |\zeta (1+\mathrm {i} t)|\leq C\ln \ln t.}$

Si l'on démontrait l'existence d'une suite (t_n) tendant vers l'infini telle que

${\displaystyle |\zeta (1+\mathrm {i} t_{n})|>C\ln \ln t_{n},}$

il en serait fini de l'hypothèse de Riemann.

Les conséquences de l'hypothèse de Riemann sont nombreuses. On a ainsi cherché à les démontrer indépendamment de cette hypothèse, ce qui s'avéra parfois possible. Et chacune de ces conséquences est devenue un objectif en soi. Devant la difficulté posée par la démonstration de l'hypothèse de Riemann, on a aussi énoncé des hypothèses plus faibles qu'on a également tenté de démontrer, sans beaucoup plus de succès.

Premières considérations sur la fonction[modifier | modifier le code]

Définition par la série de Riemann[modifier | modifier le code]

La fonction ζ de Riemann est une fonction analytique complexe méromorphe définie, pour tout nombre complexe s tel que Re(s) > 1, par la série de Riemann :

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots }$.

D'après la théorie des séries de Dirichlet^{[note 1]}, on déduit que la fonction ainsi définie est analytique sur son domaine de convergence. La série ne converge pas en s = 1 car on a

${\displaystyle \sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\geq \int _{1}^{m+1}{\frac {\mathrm {d} u}{u}}=\ln(m+1)}$

qui tend vers l'infini avec m (voir l'article détaillé « Série harmonique » pour d'autres démonstrations de ce résultat, et une estimation plus précise de la valeur des sommes partielles). La valeur s = 1 est donc une singularité de la fonction.

Valeurs de la fonction zêta pour s entier pair non nul[modifier | modifier le code]

Euler a calculé (dans le cadre de sa solution au problème de Bâle) la valeur de la fonction ζ pour les entiers strictement positifs pairs en utilisant l'expression de ${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}}$ sous forme de produit infini^{[note 2]} ; il en a déduit la formule :

${\displaystyle \zeta (2k)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2k}}}\ =\ {\frac {|B_{2k}|\ (2\pi )^{2k}}{2\,(2k)!}}}$

valable pour tout entier k > 0, où les B_2k sont les nombres de Bernoulli (${\displaystyle B_{0}=1,\quad B_{2}={\frac {1}{6}},\quad B_{4}=-{\frac {1}{30}},\quad B_{6}={\frac {1}{42}},\quad B_{8}=-{\frac {1}{30}},\quad \ldots }$).

Ces valeurs de ζ(2k) s'expriment donc à l'aide des puissances paires de π^[1] :

${\displaystyle \zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$^{[note 3]}${\displaystyle \quad ;\quad \zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}}\quad ;\quad \zeta (6)={\frac {\pi ^{6}}{945}}\quad ;\quad \zeta (8)={\frac {\pi ^{8}}{9450}}\quad ;\quad \dots }$

La formule ${\displaystyle \zeta (2k)=\ {\frac {(-1)^{k-1}B_{2k}\ (2\pi )^{2k}}{2\,(2k)!}}}$ s'étend à k = 0 avec ${\displaystyle \zeta (0)=-{\frac {1}{2}}}$ (voir infra).

On peut écrire le développement en série de Taylor : ${\displaystyle -{\frac {x}{2}}\;\operatorname {cotan} {\frac {x}{2}}=-1+\sum _{n=1}^{\infty }|B_{2n}|{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}=\sum _{n=0}^{\infty }2\zeta {(2n)}{\frac {x^{2n}}{(2\pi )^{2n}}},\,|x|<2\pi .}$

On en déduit que la série génératrice des ζ(2k) pour k ≥ 0 est donnée par :

${\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {N} }\zeta (2k)x^{2k}=-{\frac {\pi x}{2}}\cot(\pi x),\,|x|<1}$.

Par exemple, on a : ${\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {N} }{\frac {\zeta (2k)}{2^{2k}}}=0}$, d'où on déduit la somme des séries : ${\displaystyle \qquad \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{2^{2k}}}={\frac {1}{2}}\qquad }$ et ${\displaystyle \qquad \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{2^{2n}}}={\frac {1}{6}}}$.

Valeurs de la fonction zêta pour s entier impair[modifier | modifier le code]

Pour les entiers impairs, le calcul n'est pas si simple. Ramanujan a beaucoup travaillé sur ces séries et Apéry a démontré en 1978 que ζ(3), qui vaut environ 1,202 056 9, est irrationnel (voir les articles « Constante d'Apéry » et « Théorème d'Apéry »).

En 2000, Tanguy Rivoal a démontré^[2] qu'il existe une infinité de nombres irrationnels parmi les valeurs aux entiers impairs. En 2001, Wadim Zudilin (en) a démontré que l'un au moins des quatre nombres ζ(5), ζ(7), ζ(9) et ζ(11) est irrationnel^[3].

On conjecture que toutes les valeurs aux entiers impairs sont irrationnelles et même algébriquement indépendantes sur ℚ(π)^[4], en particulier transcendantes.

Valeurs numériques particulières utilisées en physique[modifier | modifier le code]

• ${\displaystyle \zeta \left({\frac {3}{2}}\right)\approx 2{,}612\;375}$.

Cette valeur est utilisée pour calculer la température critique d'un condensat de Bose-Einstein dans une boîte à frontière périodique, et pour l'onde de spin des systèmes magnétiques ;

• ${\displaystyle \zeta (2)=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}\approx 1{,}644\;934}$ ;
• ${\displaystyle \zeta (3)=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots \approx 1{,}202\;056\;903.}$

${\displaystyle \zeta (3)}$ est la constante d'Apéry. Elle intervient dans la formule de la luminance photonique de la loi de Planck.${\displaystyle {\tilde {L}}_{\Omega }^{\circ }(T)={\frac {4\zeta (3)\mathrm {k} ^{3}}{\mathrm {h} ^{3}c^{2}}}\,T^{3}=4{,}840\times 10^{14}\,T^{3}}$ Unité : photons⋅s^-1⋅m^-2⋅sr^-1 ;

• ${\displaystyle \zeta (4)=1+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}\approx 1{,}082\;3}$.

Cette constante apparaît quand on intègre la loi de Planck pour obtenir la loi de Stefan-Boltzmann (en dimension 3) en physique.

La constante de Stefan-Boltzman en dimension n est donnée par la formule^[5] :${\displaystyle \sigma _{n}=2n(n-1){\sqrt {4\pi }}^{\,n-2}\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)\zeta (n+1){\frac {\mathrm {k} ^{n+1}}{c^{n-1}\mathrm {h} ^{n}}}}$ où Γ est la fonction gamma, h est la constante de Planck, c la vitesse de la lumière dans le vide, et k la constante de Boltzmann.
En dimension 3 :${\displaystyle \sigma _{3}={\frac {2\pi ^{5}\mathrm {k} ^{4}}{15\mathrm {h} ^{3}c^{2}}}\approx 5{,}67\times 10^{-8}~\mathrm {W} \cdot \mathrm {m} ^{-2}\cdot \mathrm {K} ^{-4}.}$

Cette constante (appelée constante de Stefan-Boltzmann) est également utilisée dans le calcul de la limite basse température de la capacité thermique des solides dans le cadre du modèle de Debye.

Développements en série de Dirichlet en lien avec quelques fonctions arithmétiques[modifier | modifier le code]

À partir de la série de Dirichlet de ζ on démontre les formules suivantes^[6],[7], en faisant appel à la convolution de Dirichlet des fonctions arithmétiques qui vérifie :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {g(n)}{n^{s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f*g(n)}{n^{s}}}}$.

Si Re(s) > 1,

${\displaystyle \zeta ^{2}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\tau (n)}{n^{s}}}}$, où τ est la fonction nombre de diviseurs (également notée d) : ${\displaystyle \tau (n)=\sum _{d\mid n}1,}$ ${\displaystyle \zeta ^{2}(s)=1+{\dfrac {2}{2^{s}}}+{\dfrac {2}{3^{s}}}+{\dfrac {3}{4^{s}}}+{\dfrac {2}{5^{s}}}+{\dfrac {4}{6^{s}}}+{\dfrac {2}{7^{s}}}+\ldots ,}$

puisque ${\displaystyle \tau ={\mathbf {1} }*{\mathbf {1} }.}$

Si Re(s) > 2,

${\displaystyle \zeta (s)\zeta (s-1)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma (n)}{n^{s}}}}$, où σ est la fonction somme des diviseurs : ${\displaystyle \sigma (n)=\sum _{d\mid n}d}$,

puisque ${\displaystyle \sigma ={\rm {Id}}*{\mathbf {1} }.}$

Les deux dernières formules sont des cas particuliers de l'égalité valide pour Re(s) > max (1, Re(a) + 1) avec ${\displaystyle a\in \mathbf {C} }$

${\displaystyle \zeta (s)\zeta (s-a)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}}$, où σ_a est la fonction somme des puissances a-ièmes des diviseurs: ${\displaystyle \sigma _{a}(n)=\sum _{d\mid n}d^{a}}$,

puisque ${\displaystyle \sigma _{a}={\rm {Id}}^{a}*{\mathbf {1} }.}$

Si Re(s) > 1,

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=1-{\dfrac {1}{2^{s}}}-{\dfrac {1}{3^{s}}}-{\dfrac {1}{5^{s}}}+{\dfrac {1}{6^{s}}}-{\dfrac {1}{7^{s}}}+{\dfrac {1}{10^{s}}}-{\dfrac {1}{11^{s}}}+\ldots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$, où μ est la fonction de Möbius,

puisque ${\displaystyle \delta _{1}={\mathbf {1} }*\mu .}$

En 1899, La Vallée Poussin démontra qu'il existe une constante K telle que ${\displaystyle \left|\sum _{n=1}^{x}{\frac {\mu (n)}{n}}\right|<{\frac {K}{\ln x}}}$, de sorte que la série précédente converge également pour s = 1, vers 0 :

${\displaystyle 0=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}=1-{\dfrac {1}{2}}-{\dfrac {1}{3}}-{\dfrac {1}{5}}+{\dfrac {1}{6}}-{\dfrac {1}{7}}+{\dfrac {1}{10}}-{\dfrac {1}{11}}-{\dfrac {1}{13}}+{\dfrac {1}{14}}+{\dfrac {1}{15}}-{\dfrac {1}{17}}-{\dfrac {1}{19}}+{\dfrac {1}{21}}+{\dfrac {1}{22}}+\ldots }$

Ce résultat, conjecturé par Euler, avait déjà été démontré par von Mangoldt en 1897^[8]. Von Mangoldt utilise dans sa preuve le théorème des nombres premiers, démontré en 1896. Et ce dernier théorème est en fait équivalent à la convergence vers 0 de la série ci-dessus, comme l'a finalement établi Edmund Landau en 1911^[9],[10].

Si Re(s) > 2,

${\displaystyle {\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}}$, où φ est l'indicatrice d'Euler,

puisque l'indicatrice d'Euler φ vérifie l'égalité ${\displaystyle {\rm {Id}}*\mu =\varphi .}$

Cette formule est un cas particulier de l'égalité valide pour Re(s) > k + 1 avec ${\displaystyle k\in \mathbf {N^{*}} }$,

${\displaystyle {\frac {\zeta (s-k)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {J_{k}(n)}{n^{s}}}}$, où J_k est la fonction totient de Jordan,

puisque ${\displaystyle J_{k}=\mu *{\rm {Id}}^{k}}$

Si Re(s) > 1,

${\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}}$, où λ est la fonction de Liouville. ${\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=1-{\frac {1}{2^{s}}}-{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}-{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{6^{s}}}-{\frac {1}{7^{s}}}-{\frac {1}{8^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}+{\frac {1}{10^{s}}}-\ldots }$,

puisque la fonction de Liouville vérifie l'égalité ${\displaystyle {\mathbf {1} }_{Q}*\mu =\lambda ,}$ où ${\displaystyle {\mathbf {1} }_{Q}}$ est la fonction caractéristique (ou indicatrice) des carrés.

Si Re(s) > 1,

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(\mu (n))^{2}}{n^{s}}}}$, où μ est la fonction de Möbius,

puisque ${\displaystyle {\mathbf {1} }={\mathbf {1} }_{Q}*|\mu |.}$

Si Re(s) > 1,

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{2}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{\nu (n)}}{n^{s}}}}$, où ν(n) désigne le nombre de facteurs premiers distincts de n,

puisque ${\displaystyle \tau ={\mathbf {1} }_{Q}*2^{\nu }.}$

Si Re(s) > 1,

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{3}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\tau (n^{2})}{n^{s}}}}$, où τ est la fonction nombre de diviseurs (également notée d).

Si Re(s) > 2,

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (s-1)\zeta (s-2)}{\zeta (2s-2)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma (n^{2})}{n^{s}}}.}$

Cette formule est un cas particulier de l'égalité valide pour Re(s) > 1 + max (0, 2Re(a)) avec ${\displaystyle a\in \mathbf {C} }$,

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-2a)}{\zeta (2s-2a)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n^{2})}{n^{s}}},}$

puisque ${\displaystyle {\mathbf {1} }*{\rm {Id}}^{a}*{\rm {Id}}^{2a}=(\sigma _{a}\circ {\rm {Id}}^{2})*{\rm {Id}}_{Q}^{a}.}$ où ${\displaystyle {\rm {Id}}_{Q}^{a}={\mathbf {1} }_{Q}{\rm {Id}}^{a}}$

Si Re(s) > 1,

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{4}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(\tau (n))^{2}}{n^{s}}}.}$

Cette formule est un cas particulier de l'égalité valide pour Re(s) > 1 et ${\displaystyle \vartheta \in \mathbf {R} }$,

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)^{2}\zeta (s+\mathrm {i} \vartheta )\zeta (s-\mathrm {i} \vartheta )}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\sigma _{\mathrm {i} \vartheta }(n)|^{2}}{n^{s}}}.}$

Les deux dernières formules sont des cas particuliers de la formule de Ramanujan^[11] valable si Re(s) > 1 + max (0, Re(a), Re(b), Re(a + b)) avec ${\displaystyle a\in \mathbf {C} }$ et ${\displaystyle b\in \mathbf {C} }$,

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}},}$

ce qui se déduit de la relation ${\displaystyle {\mathbf {1} }*{\rm {Id}}^{a}*{\rm {Id}}^{b}*{\rm {Id}}^{a+b}=(\sigma _{a}\sigma _{b})*{\rm {Id}}_{Q}^{{\frac {a}{2}}+{\frac {b}{2}}}.}$

Produit eulérien[modifier | modifier le code]

Le lien entre la fonction ζ et les nombres premiers avait déjà été établi par Leonhard Euler avec la formule, valable pour Re(s) > 1 :

${\displaystyle \zeta (s)\ =\ \prod _{p\in {\mathcal {P}}}\ {\frac {1}{1-p^{-s}}}={\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\cdots }}}$

où le produit infini est étendu à l'ensemble ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {P}}}$ des nombres premiers. Cette relation est une conséquence de la formule pour les suites géométriques et du théorème fondamental de l'arithmétique. On appelle parfois cette formule produit eulérien.

Lien avec la répartition des nombres premiers[modifier | modifier le code]

Un autre lien existe avec cette fois la fonction de comptage π(x) des nombres premiers inférieurs ou égaux à x :

${\displaystyle \pi (x)=\sum _{p\in {\mathcal {P}},p\leq x}1.}$

On a en effet, pour Re(s) > 1 :

${\displaystyle \ln \zeta (s)=s\int _{2}^{\infty }{{\frac {\pi (u)}{u(u^{s}-1)}}\mathrm {d} u}.}$

En fait, la position des zéros de la fonction ζ de Riemann fournit la position des nombres premiers. On peut même trouver une formule exprimant chaque nombre premier en fonction des zéros de la fonction ζ de Riemann.

Expression intégrale[modifier | modifier le code]

On a la formule intégrale, classique depuis Euler, valide si Re(s) > 1 :

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{1}{\frac {(-\ln u)^{s-1}}{1-u}}\,\mathrm {d} u}$

où Γ désigne la fonction gamma, ce qui (par changement de variable) équivaut à :

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {t^{s-1}}{\mathrm {e} ^{t}-1}}\,\mathrm {d} t}$.

On peut voir cette formule comme un cas particulier d'une transformation générale aux séries de Dirichlet^[12]. Elle se traduit en disant que la fonction ${\displaystyle s\mapsto \zeta (s)\operatorname {\Gamma } (s)}$ est la transformation de Mellin^[13] de la fonction ${\displaystyle t\mapsto {\frac {1}{\mathrm {e} ^{t}-1}}}$.

Dérivées de la fonction zêta[modifier | modifier le code]

Une expression de la dérivée de la fonction ζ est donnée par la série de Dirichlet, convergente si Re(s) > 1 :

${\displaystyle \zeta '(s)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}\left(1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots \right)=-\left({\frac {\ln 2}{2^{s}}}+{\frac {\ln 3}{3^{s}}}+{\frac {\ln 4}{4^{s}}}+\cdots \right)=-\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{s}}}.}$

La dérivée d'ordre k est donnée par :

${\displaystyle \zeta ^{(k)}(s)=(-1)^{k}\,\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(\ln n)^{k}}{n^{s}}}.}$

Que devient la série de Riemann sur l'axe Re(s) = 1 ?[modifier | modifier le code]

La théorie des séries de Dirichlet montre que pour s = σ + it, la série de Riemann ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$ diverge grossièrement si σ ≤ 0, converge absolument si σ > 1 et diverge si t = 0 et σ ∈ ]0, 1].

Dans le cas restant (σ ∈ ]0, 1] mais t ≠ 0), pour montrer qu'elle diverge aussi et préciser comment, il suffit d'affiner un peu la comparaison série-intégrale :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s}}}-\int _{1}^{N+1}{\frac {{\rm {d}}u}{u^{s}}}=\sum _{n=1}^{N}\left({\frac {1}{n^{s}}}-\int _{n}^{n+1}{\frac {{\rm {d}}u}{u^{s}}}\right)}$

or

${\displaystyle \left|{\frac {1}{n^{s}}}-\int _{n}^{n+1}{\frac {{\rm {d}}u}{u^{s}}}\right|=\left|\int _{n}^{n+1}\int _{n}^{u}{\frac {s{\rm {d}}v}{v^{s+1}}}{\rm {d}}u\right|\leq {\frac {|s|}{n^{\sigma +1}}}}$

donc la série correspondante converge. Quant à l'intégrale ${\displaystyle \int _{1}^{N+1}{\frac {{\rm {d}}u}{u^{s}}}}$, elle est égale, à une constante près, à ${\displaystyle {\frac {(N+1)^{1-s}}{1-s}}}$, de module ${\displaystyle {\frac {(N+1)^{1-\sigma }}{\sqrt {(1-\sigma )^{2}+t^{2}}}}}$.

• si 0 < σ < 1, il en résulte que lorsque N tend vers l'infini, ce terme prend des oscillations de plus en plus importantes : la série diverge.
• si σ = 1 (et t ≠ 0), le module devient égal à 1 / | t |, mais l'argument (mod 2π) ne tend pas vers une constante : la série diverge mais ses oscillations restent bornées par 1 / | t |.

Extension à ℂ \ {1}[modifier | modifier le code]

La fonction ζ admet un prolongement analytique à tout le plan complexe, sauf 1. Il existe plusieurs démonstrations, faisant appel à différentes représentations de la fonction ζ.

Par la formule d'Euler-Maclaurin[modifier | modifier le code]

La formule d'Euler-Maclaurin^[14], appliquée à la fonction x ↦ x^–s sur l'intervalle [1, N], donne pour tout entier n différent de 0 :

${\displaystyle \sum _{r=1}^{N}r^{-s}={{1-N^{1-s}} \over {s-1}}+{{1+N^{-s}} \over 2}+\sum _{k=2}^{n}B_{k}{\frac {s(s+1)\dots (s+k-2)}{k!}}(1-N^{-s-k+1})-R_{n,N}(s),}$

où les coefficients B_k sont les nombres de Bernoulli (ils sont nuls si k est impair et différent de 1),

${\displaystyle R_{n,N}(s)={1 \over {n!}}s(s+1)\dots (s+n-1)\int _{1}^{N}B_{n}(x-[x])x^{-s-n}\mathrm {d} x,}$

où les B_n(x) sont les polynômes de Bernoulli et où [x] désigne la partie entière de x.

En faisant tendre N vers l'infini et en restant dans le demi-plan Re(s) > 1, on en déduit pour tout entier n = 1, 2, 3… que

${\displaystyle \zeta (s)={1 \over {s-1}}+{1 \over 2}+\sum _{k=2}^{n}B_{k}{\frac {s(s+1)\dots (s+k-2)}{k!}}-{\frac {s(s+1)\dots (s+n-1)}{n!}}\int _{1}^{\infty }B_{n}(x-[x])x^{-s-n}\mathrm {d} x.}$

Les fonctions x ↦ B_n(x – [x]) étant périodiques et polynomiales sur [0 ; 1[, elles restent bornées sur l'intervalle d'intégration, donc l'intégrale à droite converge si Re(s) > 1 – n. Donc le membre de droite définit, sur Re(s) > 1 – n, une fonction ζ_n, holomorphe en dehors de 1, qui prolonge ζ. L'unicité du prolongement analytique montre que les fonctions ζ_n et ζ_{n + 1} sont identiques sur Re(s) > 1 – n. Ces identités permettent donc de définir une unique fonction méromorphe sur tout le plan complexe (avec un seul pôle en 1), coïncidant avec la fonction ζ déjà définie pour Re(s) > 1 et qu'on appelle encore ζ.

Par une intégrale sur ℝ⁺[modifier | modifier le code]

On part de l'expression intégrale vue plus haut, pour tout complexe s tel que Re(s) > 1 :

${\displaystyle \Gamma (s)\zeta (s)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}}{{\rm {e}}^{t}-1}}\mathrm {d} t.}$

Le prolongement analytique est réalisé^{[note 4]} en écrivant

${\displaystyle \Gamma (s)\zeta (s)=\int _{0}^{1}{\frac {t^{s-1}}{\mathrm {e} ^{t}-1}}\mathrm {d} t+\int _{1}^{\infty }{\frac {t^{s-1}}{\mathrm {e} ^{t}-1}}\mathrm {d} t.}$

La seconde intégrale est une fonction holomorphe de s. On décompose en série de Taylor dans la première. Les B_n désignant les nombres de Bernoulli, comme on a, pour tout t tel que | t | < 2π

${\displaystyle {\frac {t}{{\rm {e}}^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}t^{n}}{n!}},}$

en remplaçant dans la première intégrale et en intégrant terme à terme, on trouve

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{(s-1)\Gamma (s)}}+{\frac {1}{\Gamma (s)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!(n+s-1)}}+{\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{1}^{\infty }{\frac {t^{s-1}}{\mathrm {e} ^{t}-1}}\mathrm {d} t.}$

La série est convergente et définit une fonction holomorphe partout sauf aux entiers négatifs ou nuls (car pour s différent de ces valeurs, le rayon de convergence de la série entière de coefficients B_n/n! n'est pas modifié lorsqu'on divise ces coefficients par les n + s – 1) et de même, au voisinage d'un entier négatif – k, elle est la somme d'une fonction holomorphe et du terme ${\displaystyle {\frac {B_{k+1}}{(k+1)!~(s+k)}}.}$

Quand s tend vers – k, Γ(s) ayant un pôle simple en s = – k , ζ(s) est par conséquent la somme d'une fonction qui tend vers 0 et du terme :

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (s)}}~{\frac {B_{k+1}}{(k+1)!~(s+k)}}~{\underset {\overset {s\to -k}{}}{\sim }}~{\frac {s+k}{{\text{Res}}(\Gamma ,-k)}}~{\frac {B_{k+1}}{(k+1)!~(s+k)}}=(-1)^{k}~k!~{\frac {B_{k+1}}{(k+1)!}}.}$

Ainsi, le prolongement méromorphe de ζ à tout le plan complexe n'a de pôle qu'au point 1, et l'on obtient au passage la formule d'Euler^{[note 5]} :

${\displaystyle \zeta (-k)=(-1)^{k}{\frac {B_{k+1}}{k+1}}}$.

Par une intégrale de contour[modifier | modifier le code]

La fonction ζ(s) se prolonge aussi analytiquement par l'intégrale

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \pi s}\Gamma (1-s)}{2\mathrm {i} \pi }}\oint _{C}{{\frac {u^{s-1}}{\mathrm {e} ^{u}-1}}\mathrm {d} u},}$

Γ étant la fonction gamma.

C désigne un lacet longeant l'axe réel et englobant 0 parcouru de -∞ à +∞ dans le sens trigonométrique.

Une fois cette formule démontrée initialement pour Re(s) > 1, l'expression à droite restant valable pour toute valeur bornée de s définit donc une fonction analytique. D'après le théorème du prolongement analytique, elle représente le prolongement (sauf en s = 1) de la fonction ζ.

Par la formule sommatoire d'Abel[modifier | modifier le code]

Utilisant la formule sommatoire d'Abel, on trouve pour Re(s) > 1,

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{{\frac {[u]}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u}.}$

La partie entière [u] se décompose en u – {u}, où {u} désigne la partie fractionnaire de u. On a alors :

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {s}{s-1}}-s\int _{1}^{\infty }{{\frac {\{u\}}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u}.}$

Comme {u} est toujours compris entre 0 et 1, l'intégrale est convergente pour Re(s) > 0. À partir du prolongement pour Re(s) > 0 et en appliquant la relation fonctionnelle (valide pour 0 < Re(s) < 1, voir plus loin), on obtient le prolongement pour Re(s) ≤ 0 (sauf en s = 0).

Par la fonction êta de Dirichlet[modifier | modifier le code]

On peut encore étendre la fonction ζ sur Re(s) > 0 à partir de la définition de la série alternée (appelée fonction êta de Dirichlet) :

${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{s}}}=1-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}-{\frac {1}{6^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}-{\frac {1}{8^{s}}}+\cdots }$.

Cette série est convergente pour s réel strictement positif, par application du critère des séries alternées ; il en est en fait de même pour Re(s) > 0, ce qui se démontre en utilisant le lemme d'Abel (on peut aussi montrer plus simplement la convergence absolue de la série ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)^{s}-(2n-1)^{s}}{(2n)^{s}(2n-1)^{s}}}}$).

${\displaystyle {\text{Si}}\quad {\text{Re}}(s)>1,\qquad \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\eta (s)+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n)^{s}}}=\eta (s)+{\frac {2}{2^{s}}}\zeta (s),\quad {\text{donc}}}$^{[note 6]} ${\displaystyle :(1-2^{1-s})\zeta (s)=\eta (s),\quad \mathrm {d'o{\grave {u}}} }$^[15] ${\displaystyle \zeta (s)={\frac {\eta (s)}{1-2^{1-s}}}.}$

Cela réalise ainsi le prolongement de la fonction ζ sur Re(s) > 0, sauf pour

${\displaystyle s=1+\mathrm {i} {\frac {2k\pi }{\ln(2)}}\qquad (k\in \mathbb {Z} )}$

qui sont les zéros de 1 – 2^{1 – s}.

À partir du prolongement pour Re(s) > 0 et en appliquant la relation fonctionnelle (voir plus loin), on obtient le prolongement partout sauf en ces points.

Pour ces points, on peut appliquer soit la série de Dirichlet de 1/ζ, qui converge sur Re(s) = 1, soit une autre relation du même genre^[16].

De ce que

${\displaystyle 0<{\frac {1}{3n-2}}+{\frac {1}{3n-1}}-{\frac {2}{3n}}={\frac {1}{3n^{2}}}+O\left({\frac {1}{n^{3}}}\right),}$

où O est la notation de Landau, on déduit que la série^[17]

${\displaystyle \zeta _{3}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\left({\frac {1}{(3n-2)^{s}}}+{\frac {1}{(3n-1)^{s}}}-{\frac {2}{(3n)^{s}}}\right)}=1+{\frac {1}{2^{s}}}-{\frac {2}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}-{\frac {2}{6^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{8^{s}}}-{\frac {2}{9^{s}}}+\cdots }$

est convergente pour Re(s) = 1^{[note 7]}. En procédant comme pour la fonction η, on montre que :

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {\zeta _{3}(s)}{1-{3^{1-s}}}}.}$

Il suffit donc de calculer la série seulement pour ces points car ln 3/ln 2 se trouvant irrationnel, le dénominateur 1 – 3^{1 – s} ne peut être nul en même temps que 1 – 2^{1 – s} (sauf pour s = 1).

La fonction êta vérifie également

${\displaystyle \eta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{\mathrm {e} ^{x}+1}}~\mathrm {d} x.}$

On déduit, pour Re(s) > 0, sous réserve de ce qui a été dit pour le prolongement par la fonction êta de Dirichlet pour les points s = 1 + 2ikπ/ln(2), l'expression intégrale :

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{(1-2^{1-s})\Gamma (s)}}\int _{0}^{1}{\frac {|\ln u|^{s-1}}{1+u}}\mathrm {d} u.}$

ou

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{(1-2^{1-s})\Gamma (s)}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {t^{s-1}}{1+\mathrm {e} ^{t}}}\,\mathrm {d} t.}$

Par la formule de Landau ou celle de Ramaswami[modifier | modifier le code]

Dans les formules précédentes, il est à remarquer que le prolongement ne s'obtient que dans une portion du plan et qu'il faut utiliser la relation fonctionnelle pour avoir un prolongement au plan tout entier. Les deux formules qui suivent n'ont pas ce défaut. Ces deux autres méthodes de prolongement de ζ, sans conteste les plus simples, sont fondées, chacune, sur une formule exprimant ζ(s) en fonction de ζ(s + 1), ζ(s + 2), …

On a ainsi la formule publiée par Edmund Landau :

${\displaystyle \zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}=1-s{\frac {\zeta (s+1)-1}{2!}}-s(s+1){\frac {\zeta (s+2)-1}{3!}}-s(s+1)(s+2){\frac {\zeta (s+3)-1}{4!}}-\ldots }$

 

${\displaystyle \zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}=1-\sum _{k=1}^{\infty }s^{\overline {k}}\,{\frac {\zeta (s+k)-1}{(k+1)!}}\!}$ ,

${\displaystyle s^{\overline {k}}}$ étant la factorielle croissante. La démonstration se fait en écrivant que ${\displaystyle s^{\overline {k}}\,{\frac {\zeta (s+k)-1}{(k+1)!}}={\frac {1}{1-s}}{1-s \choose k+1}\sum _{n=2}^{\infty }n^{1-s-(k+1)}}$ puis en inversant ${\displaystyle \sum _{k}}$ et ${\displaystyle \sum _{n}}$ et en utilisant la série binomiale ${\displaystyle (1+{\frac {1}{n}})^{1-s}=\sum _{k=0}^{\infty }{1-s \choose k}n^{-k}}$.

On a aussi la formule de Ramaswami^{[18],[note 8]} :

${\displaystyle \eta (s)=(1-2^{1-s})\zeta (s)={\frac {s}{1!}}{\frac {\zeta (s+1)}{2^{s+1}}}+{\frac {s(s+1)}{2!}}{\frac {\zeta (s+2)}{2^{s+2}}}+{\frac {s(s+1)(s+2)}{3!}}{\frac {\zeta (s+3)}{2^{s+3}}}+\ldots }$

 

${\displaystyle (1-2^{1-s})\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {s^{\overline {n}}}{n!}}{\frac {\zeta (s+n)}{2^{s+n}}}.}$

Le prolongement analytique s'effectue par bandes de largeur 1. La série de Dirichlet étant absolument convergente sur Re(s) > 1, la formule choisie prolonge sur Re(s) > 0. En appliquant à nouveau la formule, on prolonge à Re(s) > –1, et ainsi de suite.

Propriétés diverses de la fonction[modifier | modifier le code]

Comportement asymptotique[modifier | modifier le code]

Au voisinage de ${\displaystyle +\infty }$ (sur l'axe réel), on a

${\displaystyle \zeta (s)=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{s}}}+o({\frac {1}{n^{s}}})}$

(on obtient ce développement en comparant le reste de la série à l'intégrale ${\displaystyle \int _{n}^{\infty }{{\frac {1}{u^{s}}}\mathrm {d} u}}$ )

Développement de Laurent au voisinage de 1[modifier | modifier le code]

On a vu plus haut que :

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {s}{s-1}}-s\int _{1}^{\infty }{{\frac {\{u\}}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u}}$.

Comme {u} est toujours compris entre 0 et 1, l'intégrale est convergente et le terme est borné. Le premier terme vaut aussi ${\displaystyle {\frac {s}{s-1}}={\frac {1}{s-1}}+1}$, ce qui montre que la fonction ζ admet un pôle d'ordre 1 en 1 et de résidu 1. Cela constitue le théorème de Dirichlet. Le développement en série de Laurent de la fonction ζ(s) s'écrit donc

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)^{n}{\frac {\gamma _{n}}{n!}}(s-1)^{n}}}$.

Les coefficients ${\displaystyle \gamma _{n}}$, appelés constantes de Stieltjes ou nombres de Stieltjes, sont donnés par^[19] :

${\displaystyle \gamma _{n}=\lim _{N\to \infty }\left({\sum _{k=1}^{N}{{\frac {(\ln k)^{n}}{k}}-{\frac {(\ln N)^{n+1}}{n+1}}}}\right)}$.

En particulier, ${\displaystyle \gamma _{0}}$ est la constante d'Euler-Mascheroni : ${\displaystyle \gamma _{0}=\gamma =0{,}5772\ldots }$.

Matsuoka, en 1985^[20], a montré que :

${\displaystyle \forall n>4\quad |\gamma _{n}|\leq 10^{-4}(\ln n)^{n}}$.

On sait aussi qu'asymptotiquement, la moitié de ces nombres sont positifs.

L'équivalent ${\displaystyle \zeta (s)\sim _{1}{\frac {1}{s-1}}}$ montre que ζ est négative sur l'axe réel juste avant 1^{[note 9]} (elle est positive après 1 de manière élémentaire puisque tous les termes de la série de Dirichlet sont alors positifs).

Le développement de Laurent à l'ordre 0, ${\displaystyle \zeta (1+\varepsilon )={\frac {1}{\varepsilon }}+\gamma +o(1)}$, donne la « valeur principale de Cauchy de la fonction » en 1 :

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\zeta (1+\varepsilon )+\zeta (1-\varepsilon )}{2}}=\gamma }$.

Relation fonctionnelle[modifier | modifier le code]

La fonction ζ satisfait à l'équation fonctionnelle :

${\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s)}$

valable pour tout nombre complexe s différent de 0 et 1, démontrée par Riemann en 1859. Ici, Γ désigne la fonction gamma.

De la relation fonctionnelle, on déduit que, pour s différent de 0 et de 1 :

${\displaystyle \zeta (1-s)={2 \over (2\pi )^{s}}\,\cos \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\,\Gamma (s)\,\zeta (s).}$

La fonction ξ définie pour s différent de 0 et de 1 par

${\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)\zeta (s)\quad }$

vérifie

${\displaystyle \displaystyle \xi (s)=\xi (1-s).}$

On en déduit que la fonction

${\displaystyle \Xi (\sigma )=\xi \left({\frac {1}{2}}+\mathrm {i} \sigma \right)}$

est paire : Ξ(s) = Ξ(–s).

On retrouvera ces deux fonctions dans l'étude des zéros non triviaux de ζ.

Valeurs de la fonction zêta pour s entier négatif ou nul[modifier | modifier le code]

De la définition de la fonction zêta par une intégrale sur ℝ⁺, on a déduit^[22] que pour tout entier naturel n, ζ(–n) est le nombre rationnel suivant :

${\displaystyle \zeta (-n)=(-1)^{n}{\frac {B_{n+1}}{n+1}}}$

où B_{n + 1} est un nombre de Bernoulli.

Pour n = 0, on a :

${\displaystyle \zeta (0)=B_{1}=-{\frac {1}{2}}.}$

Si n est pair mais non nul, le nombre de Bernoulli B_{n + 1} est nul, d'où, avec n = 2k et k > 0 :

${\displaystyle \zeta (-2k)={\frac {B_{2k+1}}{2k+1}}=0.}$ ${\displaystyle \zeta (-2)=\zeta (-4)=\zeta (-6)=\zeta (-8)=\ldots =0.}$

Si n est impair, n = 2k – 1 avec k > 0 :

${\displaystyle \zeta (-(2k-1))=-{\frac {B_{2k}}{2k}}.}$

Par exemple :

${\displaystyle \zeta (-1)=-{\frac {B_{2}}{2}}=-{\frac {1}{12}},}$

C'est cette relation que Ramanujan écrivit en 1910 dans un article du Journal of the Indian Mathematical Society sous la forme^[23] :

« ${\displaystyle 1+2+3+4+5+\ldots =-{\frac {1}{12}}.}$ »

${\displaystyle \zeta (-3)=-{\frac {B_{4}}{4}}={\frac {1}{120}}\quad ;\quad \zeta (-5)=-{\frac {1}{252}}\quad ;\quad \zeta (-7)={\frac {1}{240}}\quad ;\quad \zeta (-9)=-{\frac {1}{132}}.}$

Définition de ln ζ et de sa dérivée[modifier | modifier le code]

La fonction ζ étant réelle sur l'axe réel et plus grande que 1, le logarithme de cette valeur existe et est réel. Il est donc naturel de choisir, parmi l'infinité des définitions possibles du logarithme d'une fonction analytique, celle qui prolonge le logarithme naturel sur la demi-droite ]1, +∞[. On prolonge donc par continuité les valeurs de ln ζ qui sont réelles sur ]1, +∞[.

Présentation élémentaire pour les nombres complexes du demi-plan Re(s) > 1[modifier | modifier le code]

On part de la formule du produit eulérien, dont on sait qu'il converge pour tout s dans Re(s) > 1. On peut se limiter à considérer dans un premier temps s = σ réel. On prend le logarithme du produit. Cela a un sens puisque ζ(σ) ne s'annule pas sur σ > 1. On a alors

${\displaystyle \ln \zeta (\sigma )=-\sum _{p\in {\mathcal {P}}}\ln \left(1-{\frac {1}{p^{\sigma }}}\right).}$

Il reste à développer le logarithme en série entière, ce qui est possible puisque p ≥ 2 et σ > 1. Cela justifie que l'on définisse, pour tout complexe s satisfaisant Re(s) > 1 la série :

${\displaystyle D(s)=\sum _{p\in {\mathcal {P}}}\sum _{\nu \geq 1}{\frac {1}{\nu p^{\nu s}}}.}$

Cette série, normalement convergente sur tout compact du demi-plan Re(s) > 1, définit une fonction holomorphe sur ce demi-plan.

Si s = σ > 1 est réel, alors ${\displaystyle \sum _{\nu \geq 1}{\frac {1}{\nu p^{\nu s}}}=-\ln \left(1-{\frac {1}{p^{\sigma }}}\right)}$ où ln est le logarithme réel habituel. On en déduit que e^D(σ) = ζ(σ). Les deux fonctions e^D et ζ sont holomorphes sur Re(s) > 1 et elles coïncident sur la demi-droite ]1, +∞[. Par le principe de prolongement holomorphe, on a donc

${\displaystyle \mathrm {e} ^{D(s)}=\zeta (s)\ }$

pour tout complexe s tel que Re(s) > 1. Par dérivation de l'égalité précédente, on obtient immédiatement ${\displaystyle D'(s)={\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}}$. En dérivant la série définissant D, on obtient :

${\displaystyle D'(s)=-\sum _{p\in {\mathcal {P}}}\sum _{\nu \geq 1}{\frac {\ln p}{p^{\nu s}}}}$

de sorte que l'on a, pour Re(s) > 1, l'égalité :