En mathématiques , la fonction "somme des puissances k -ièmes des diviseurs ", notée σ k {\displaystyle \sigma _{k}} , est la fonction multiplicative qui à tout entier n > 0 associe la somme des puissances k {\displaystyle k} -ièmes des diviseurs positifs de n , où k {\displaystyle k} est un nombre complexe quelconque [ 1] :
σ k ( n ) = ∑ d | n d k . {\displaystyle \sigma _{k}(n)=\sum _{d|n}d^{k}.} La fonction σ k {\displaystyle \sigma _{k}} est multiplicative , c'est-à-dire que, pour tous entiers m et n premiers entre eux , σ k ( m n ) = σ k ( m ) σ k ( n ) {\displaystyle \sigma _{k}(mn)=\sigma _{k}(m)\sigma _{k}(n)} . En effet, σ k {\displaystyle \sigma _{k}} est le produit de convolution de deux fonctions multiplicatives : la fonction puissance k {\displaystyle k} -ième et la fonction constante 1. Si p est un nombre premier alors σ k ( p q ) {\displaystyle \sigma _{k}(p^{q})} est une somme partielle de série géométrique : ∀ q ∈ N , σ k ( p q ) = 1 + p k + p 2 k + … + p q k = { p ( q + 1 ) k − 1 p k − 1 si p k ≠ 1 , q + 1 si p k = 1. {\displaystyle \forall q\in \mathbb {N} ,\quad \sigma _{k}(p^{q})=1+p^{k}+p^{2k}+\ldots +p^{qk}={\begin{cases}{\frac {p^{(q+1)k}-1}{p^{k}-1}}&{\text{si }}p^{k}\neq 1,\\q+1&{\text{si }}p^{k}=1.\end{cases}}} (La condition pk = 1 équivaut à k ∈ i(2π/logp )ℤ , ce qui est vrai pour tous les p si k est nul et pour au plus un sinon .) En particulier, σ k {\displaystyle \sigma _{k}} n'est pas complètement multiplicative . L'utilisation des deux propriétés précédentes permet de déterminer σk (n ) connaissant la décomposition en facteurs premiers de n : s i n = ∏ i = 1 r p i q i a l o r s σ k ( n ) = ∏ i = 1 r ∑ j = 0 q i p i j k . {\displaystyle {\rm {si}}\quad n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{q_{i}}\quad {\rm {alors}}\quad \sigma _{k}(n)=\prod _{i=1}^{r}\sum _{j=0}^{q_{i}}p_{i}^{jk}.} On peut aussi calculer σk (pq ) par les polynômes de Tchebychev : soient Uq le polynôme de Tchebychev de seconde espèce de degré q , et Xq sa renormalisation, définie par Xq (T ) = Uq (T /2) . Alors[ 2] : σ k ( p q ) p k q / 2 = X q ( σ k ( p ) p k / 2 ) . {\displaystyle {\frac {\sigma _{k}(p^{q})}{p^{kq/2}}}=X_{q}\left({\frac {\sigma _{k}(p)}{p^{k/2}}}\right).} Notons a= p k /2 . Il s'agit de prouver que
1 + a 2 + a 4 + . . . + a 2 k = a q X q ( a + a − 1 ) {\displaystyle 1+a^{2}+a^{4}+...+a^{2k}=a^{q}X_{q}(a+a^{-1})}
ou, plus généralement, qu'on a l'égalité de polynômes :
1 + T 2 + T 4 + . . . + T 2 q = T q X k ( T + T − 1 ) . {\displaystyle 1+T^{2}+T^{4}+...+T^{2q}=T^{q}X_{k}(T+T^{-1}).} Il suffit pour cela de la vérifier sur une infinité de valeurs . Or pour tout réel θ non multiple de π , en posant t = eiθ , on a
X q ( t + t − 1 ) = X q ( 2 cos θ ) = U q ( cos θ ) = sin ( ( q + 1 ) θ ) sin θ = t q + 1 − t − ( q + 1 ) t − t − 1 {\displaystyle X_{q}(t+t^{-1})=X_{q}(2\cos \theta )=U_{q}(\cos \theta )={\frac {\sin((q+1)\theta )}{\sin \theta }}={\frac {t^{q+1}-t^{-(q+1)}}{t-t^{-1}}}}
donc
t q X q ( t + t − 1 ) = t q + 1 t t q + 1 − t − ( q + 1 ) t − t − 1 = t 2 ( q + 1 ) − 1 t 2 − 1 = 1 + t 2 + t 4 + . . . + t 2 q , {\displaystyle t^{q}X_{q}(t+t^{-1})={\frac {t^{q+1}}{t}}{\frac {t^{q+1}-t^{-(q+1)}}{t-t^{-1}}}={\frac {t^{2(q+1)}-1}{t^{2}-1}}=1+t^{2}+t^{4}+...+t^{2q},}
ce qui conclut.
Par multiplicativité, on déduit du point précédent[ 2] :[ 1] σ k ( m ) σ k ( n ) = ∑ d ∣ ( m , n ) d k σ k ( m n d 2 ) {\displaystyle \sigma _{k}(m)\sigma _{k}(n)=\sum _{d\mid (m,n)}d^{k}\sigma _{k}\left({\frac {mn}{d^{2}}}\right)} (où (m , n ) désigne le pgcd de m et n ) puis, par inversion de Möbius : σ k ( m n ) = ∑ d ∣ ( m , n ) μ ( d ) d k σ k ( m d ) σ k ( n d ) {\displaystyle \sigma _{k}(mn)=\sum _{d\mid (m,n)}\mu (d)d^{k}\sigma _{k}\left({\frac {m}{d}}\right)\sigma _{k}\left({\frac {n}{d}}\right)} . On a l'identité permettant d'évaluer l'ordre moyen de σ k {\displaystyle \sigma _{k}} : ∑ i = 1 n σ k ( i ) = ∑ d = 1 n ∑ m = 1 ⌊ n d ⌋ m k = aussi ∑ m = 1 n ⌊ n m ⌋ m k {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sigma _{k}(i)=\sum _{d=1}^{n}\sum _{m=1}^{\left\lfloor {\frac {n}{d}}\right\rfloor }m^{k}\,{\overset {\text{aussi}}{=}}\,\sum _{m=1}^{n}\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor m^{k}} [ 1] Démonstration
∑ i = 1 n σ k ( i ) = ∑ i = 1 n ∑ m | i m k = ∑ m , d 1 ⩽ m d ⩽ n m k = ∑ d = 1 n ∑ m = 1 ⌊ n d ⌋ m k = aussi ∑ m = 1 n ⌊ n m ⌋ m k {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sigma _{k}(i)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{m|i}m^{k}=\sum _{\begin{matrix}m,d\\1\leqslant md\leqslant n\end{matrix}}m^{k}=\sum _{d=1}^{n}\sum _{m=1}^{\left\lfloor {\frac {n}{d}}\right\rfloor }m^{k}\,{\overset {\text{aussi}}{=}}\,\sum _{m=1}^{n}\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor m^{k}}
La série de Dirichlet associée à σ k {\displaystyle \sigma _{k}} s'exprime à l'aide de la fonction ζ de Riemann : ∑ n = 1 ∞ σ k ( n ) n s = ζ ( s ) ζ ( s − k ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{k}(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\zeta (s-k)} et l'on a la relation : ∑ n = 1 ∞ σ k ( n ) σ l ( n ) n s = ζ ( s ) ζ ( s − k ) ζ ( s − l ) ζ ( s − k − l ) ζ ( 2 s − k − l ) . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{k}(n)\sigma _{l}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-k)\zeta (s-l)\zeta (s-k-l)}{\zeta (2s-k-l)}}.} La fonction[ 3] σ 0 {\displaystyle \sigma _{0}} (« nombre de diviseurs » ), également notée[ 4] d , est aussi appelée fonction tau [ 5] , [ 1] (de l'allemand Teiler : diviseur) et notée τ . Elle compte le nombre de diviseurs positifs de n :
d ( n ) = τ ( n ) = ∑ d | n 1 = Card { 1 ⩽ d ⩽ n : d | n } = ∏ i = 1 r ( k i + 1 ) . {\displaystyle d(n)=\tau (n)=\sum _{d|n}1=\operatorname {Card} \{1\leqslant d\leqslant n:d|n\}=\prod _{i=1}^{r}(k_{i}+1).} La suite ( σ 0 ( n ) ) {\displaystyle (\sigma _{0}(n))} est répertoriée comme suite A000005 de l'OEIS .
La fonction sigma σ 1 {\displaystyle \sigma _{1}} est parfois notée σ . On a
σ ( n ) = ∑ d | n d = ∏ i = 1 r ∑ j = 0 q i p i j = ∏ i = 1 r p i q i + 1 − 1 p i − 1 . {\displaystyle \sigma (n)=\sum _{d|n}d=\prod _{i=1}^{r}\sum _{j=0}^{q_{i}}p_{i}^{j}=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{q_{i}+1}-1}{p_{i}-1}}.} Par exemple, si n = pq pour deux nombres premiers distincts p et q , alors
σ ( n ) = ( p + 1 ) ( q + 1 ) = n + 1 + ( p + q ) et φ ( n ) = ( p − 1 ) ( q − 1 ) = n + 1 − ( p + q ) {\displaystyle \sigma (n)=(p+1)(q+1)=n+1+(p+q){\text{ et }}\varphi (n)=(p-1)(q-1)=n+1-(p+q)} où φ est l'indicatrice d'Euler .
La somme des diviseurs stricts de n est s ( n ) = ∑ d | n , d ≠ n d = σ ( n ) − n . {\displaystyle s(n)=\sum _{d|n,d\neq n}d=\sigma (n)-n.} L'entier n est dit parfait si s (n ) = n , déficient si s (n ) < n et abondant si s (n ) > n .
La suite ( σ 1 ( n ) ) {\displaystyle (\sigma _{1}(n))} est répertoriée comme suite A000203 de l'OEIS .
La suite ( σ 2 ( n ) ) {\displaystyle (\sigma _{2}(n))} est répertoriée comme suite A001157 de l'OEIS .
La suite ( σ 3 ( n ) ) {\displaystyle (\sigma _{3}(n))} est répertoriée comme suite A001158 de l'OEIS .
↑ a b c et d Gérald Tenenbaum , Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres , Belin, page 26. ↑ a et b Emmanuel Royer. Un cours « Africain » sur les formes modulaires . ↑ « d(n) (also called tau(n) or sigma_0(n)), the number of divisors of n » , suite A000005 de l'OEIS . ↑ G. H. Hardy et E. M. Wright , Introduction à la théorie des nombres ; William John Ellison et Michel Mendès France , Les Nombres premiers , 1975 [détail de l’édition ] . ↑ Edmund Landau Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Teubner, Berlin 1909. J. Liouville , « Généralisation d'une formule concernant la somme des puissances des diviseurs d'un nombre », J. Math. Pures Appl. , 2e série, vol. 3, 1858 , p. 63-68 (lire en ligne )
(en) Eric W. Weisstein , « Divisor Function », sur MathWorld