Représentation graphique de la fonction G de Barnes sur la droite réelle. En mathématiques , la fonction G de Barnes est une fonction qui prolonge la superfactorielle aux nombres complexes . Elle est reliée à la fonction gamma , à la fonction K , ainsi qu'à la constante de Glaisher-Kinkelin . Elle est nommée d'après le mathématicien Ernest William Barnes [ 1] .
Formellement, la fonction G de Barnes est définie par le produit de Weierstrass suivant:
G ( 1 + z ) = ( 2 π ) z / 2 exp ( − z + z 2 ( 1 + γ ) 2 ) ∏ k = 1 ∞ { ( 1 + z k ) k exp ( z 2 2 k − z ) } {\displaystyle G(1+z)=(2\pi )^{z/2}\exp \left(-{\frac {z+z^{2}(1+\gamma )}{2}}\right)\,\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{k}\exp \left({\frac {z^{2}}{2k}}-z\right)\right\}} où γ {\displaystyle \,\gamma } est la constante d'Euler–Mascheroni , exp la fonction exponentielle .
La fonction G de Barnes satisfait à l'équation fonctionnelle suivante
G ( z + 1 ) = Γ ( z ) G ( z ) {\displaystyle G(z+1)=\Gamma (z)\,G(z)} avec la condition G (1) = 1. Cette équation fonctionnelle est similaire à celle de la fonction gamma :
Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) . {\displaystyle \Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z).} L'équation précédente implique que G prend les valeurs suivantes sur les naturels :
G ( n ) = { 0 si n ∈ Z / N ∏ i = 0 n − 2 i ! si n = N ∗ {\displaystyle G(n)={\begin{cases}0&{\text{si }}n\in \mathbb {Z} /\mathbb {N} \\[2pt]\displaystyle \prod _{i=0}^{n-2}i!&{\text{si }}n=\mathbb {N} ^{*}\end{cases}}} (en particulier, G ( 0 ) = 0 , G ( 1 ) = 1 {\displaystyle \,G(0)=0,G(1)=1} ) et donc
G ( n ) = ( Γ ( n ) ) n − 1 K ( n ) {\displaystyle G(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{K(n)}}} où Γ ( x ) {\displaystyle \,\Gamma (x)} désigne la fonction gamma et K la fonction K . L'équation fonctionnelle décrit de manière unique G si l'on ajoute la condition de convexité : ( ∀ x ≥ 1 ) d 3 d x 3 log ( G ( x ) ) ≥ 0 {\displaystyle (\forall x\geq 1)\,{\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} x^{3}}}\log(G(x))\geq 0} .
La valeur en 1/2 de la fonction G vaut G ( 1 2 ) = 2 1 24 e 3 2 ζ ′ ( − 1 ) π − 1 4 . {\displaystyle G\left({\frac {1}{2}}\right)=2^{\frac {1}{24}}{\mathrm {e} }^{{\frac {3}{2}}\zeta '(-1)}\pi ^{-{\frac {1}{4}}}.} où ζ' désigne la dérivée de la fonction zeta de Riemann .
Les équations fonctionnelles sur la fonction G et gamma peuvent être utilisées pour obtenir la formule suivante (prouvée à l'origine par Hermann Kinkelin (en) ) :
log G ( 1 − z ) = log G ( 1 + z ) − z log 2 π + ∫ 0 z π x cot π x d x . {\displaystyle \log G(1-z)=\log G(1+z)-z\log 2\pi +\int _{0}^{z}\pi x\cot \pi x\,\mathrm {d} x.} L'intégrale log-tangente du membre de droite peut être évaluée en fonction de la fonction de Clausen (d'ordre 2), comme indiqué ci-dessous :
2 π log ( G ( 1 − z ) G ( 1 + z ) ) = 2 π z log ( sin π z π ) + Cl 2 ( 2 π z ) {\displaystyle 2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(1+z)}}\right)=2\pi z\log \left({\frac {\sin \pi z}{\pi }}\right)+\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)} La preuve repose sur une intégration par partie et la définition de la fonction de Clausen.
En utilisant l'équation G ( 1 + z ) = Γ ( z ) G ( z ) {\displaystyle \,G(1+z)=\Gamma (z)\,G(z)} et la formule de symétrie, on obtient la formule équivalente :
log ( G ( 1 − z ) G ( z ) ) = z log ( sin π z π ) + log Γ ( z ) + 1 2 π Cl 2 ( 2 π z ) {\displaystyle \log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}\right)=z\log \left({\frac {\sin \pi z}{\pi }}\right)+\log \Gamma (z)+{\frac {1}{2\pi }}\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)} Le changement de variable z en 1/2 − z donne la formule suivante (faisant intervenir les polynômes de Bernoulli ) :
log ( G ( 1 2 + z ) G ( 1 2 − z ) ) = {\displaystyle \log \left({\frac {G\left({\frac {1}{2}}+z\right)}{G\left({\frac {1}{2}}-z\right)}}\right)=} log Γ ( 1 2 − z ) + B 1 ( z ) log 2 π + 1 2 log 2 + π ∫ 0 z B 1 ( x ) tan π x d x {\displaystyle \log \Gamma \left({\frac {1}{2}}-z\right)+B_{1}(z)\log 2\pi +{\frac {1}{2}}\log 2+\pi \int _{0}^{z}B_{1}(x)\tan \pi x\,\mathrm {d} x} Par le théorème de Taylor , en considérant les dérivés logarithmiques de la fonction de Barnes, on peut obtenir le développement suivant:
log G ( 1 + z ) = z 2 log 2 π − ( z + ( 1 + γ ) z 2 2 ) + ∑ k = 2 ∞ ( − 1 ) k ζ ( k ) k + 1 z k + 1 . {\displaystyle \log G(1+z)={\frac {z}{2}}\log 2\pi -\left({\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right)+\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}.} qui est valide pour 0 < z < 1 {\displaystyle \,0<z<1} . Ici, ζ ( x ) {\displaystyle \,\zeta (x)} est la fonction zêta de Riemann :
ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s . {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.} Cela fournit l'égalité :
G ( 1 + z ) = exp [ z 2 log 2 π − ( z + ( 1 + γ ) z 2 2 ) + ∑ k = 2 ∞ ( − 1 ) k ζ ( k ) k + 1 z k + 1 ] = ( 2 π ) z / 2 exp [ − z + ( 1 + γ ) z 2 2 ] exp [ ∑ k = 2 ∞ ( − 1 ) k ζ ( k ) k + 1 z k + 1 ] . {\displaystyle {\begin{aligned}G(1+z)&=\exp \left[{\frac {z}{2}}\log 2\pi -\left({\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right)+\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right]\\&=(2\pi )^{z/2}\exp \left[-{\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right]\exp \left[\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right].\end{aligned}}} En comparant cette dernière égalité avec la forme produit de la fonction de Barnes, on obtient :
exp [ ∑ k = 2 ∞ ( − 1 ) k ζ ( k ) k + 1 z k + 1 ] = ∏ k = 1 ∞ { ( 1 + z k ) k exp ( z 2 2 k − z ) } {\displaystyle \exp \left[\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right]=\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{k}\exp \left({\frac {z^{2}}{2k}}-z\right)\right\}} De même que la fonction gamma, la fonction G a une formule multiplicative :
G ( n z ) = K ( n ) n n 2 z 2 / 2 − n z ( 2 π ) − n 2 − n 2 z ∏ i = 0 n − 1 ∏ j = 0 n − 1 G ( z + i + j n ) {\displaystyle G(nz)=K(n)n^{n^{2}z^{2}/2-nz}(2\pi )^{-{\frac {n^{2}-n}{2}}z}\prod _{i=0}^{n-1}\prod _{j=0}^{n-1}G\left(z+{\frac {i+j}{n}}\right)} où K ( n ) {\displaystyle K(n)} est donnée par :
K ( n ) = e − ( n 2 − 1 ) ζ ′ ( − 1 ) ⋅ n 5 12 ⋅ ( 2 π ) ( n − 1 ) / 2 = ( A e − 1 12 ) n 2 − 1 ⋅ n 5 12 ⋅ ( 2 π ) ( n − 1 ) / 2 . {\displaystyle K(n)=\mathrm {e} ^{-(n^{2}-1)\zeta ^{\prime }(-1)}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}\,=\,(A\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{12}}})^{n^{2}-1}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}.} et A {\displaystyle A} est la constante de Glaisher–Kinkelin .
Le logarithme de G (z + 1) a le développement asymptotique suivant, établi par Barnes :
log G ( z + 1 ) = z 2 2 log z − 3 z 2 4 + z 2 log 2 π − 1 12 log z + ( 1 12 − log A ) + ∑ k = 1 N B 2 k + 2 4 k ( k + 1 ) z 2 k + O ( 1 z 2 N + 2 ) . {\displaystyle \log G(z+1)={\frac {z^{2}}{2}}\log z-{\frac {3z^{2}}{4}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi -{\frac {1}{12}}\log z+\left({\frac {1}{12}}-\log A\right)+\sum _{k=1}^{N}{\frac {B_{2k+2}}{4k\left(k+1\right)z^{2k}}}~+~O\left({\frac {1}{z^{2N+2}}}\right).} où B k {\displaystyle B_{k}} désignent les nombres de Bernoulli . Ce développement est valide pour z {\displaystyle z} dans n'importe quel ouvert ne contentant pas l'axe réel négatif axis avec | z | {\displaystyle |z|} assez grand.
La fonction Loggamma est reliée à la fonction G par l'équation :
∫ 0 z log Γ ( x ) d x = z ( 1 − z ) 2 + z 2 log 2 π + z log Γ ( z ) − log G ( 1 + z ) {\displaystyle \int _{0}^{z}\log \Gamma (x)\,dx={\frac {z(1-z)}{2}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi +z\log \Gamma (z)-\log G(1+z)} La preuve consiste d'abord à étudier la différence logarithmique de la fonction gamma et de la fonction G de Barnes :
z log Γ ( z ) − log G ( 1 + z ) {\displaystyle z\log \Gamma (z)-\log G(1+z)} en considérant la définition de la fonction Gamma comme produit de Weierstrass:
1 Γ ( z ) = z e γ z ∏ k = 1 ∞ { ( 1 + z k ) e − z / k } {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=z\mathrm {e} ^{\gamma z}\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)\mathrm {e} ^{-z/k}\right\}} et γ {\displaystyle \,\gamma } est la constante d'Euler–Mascheroni .
On obtient donc
z log Γ ( z ) − log G ( 1 + z ) = − z log ( 1 Γ ( z ) ) − log G ( 1 + z ) = − z [ log z + γ z + ∑ k = 1 ∞ { log ( 1 + z k ) − z k } ] − [ z 2 log 2 π − z 2 − z 2 2 − z 2 γ 2 + ∑ k = 1 ∞ { k log ( 1 + z k ) + z 2 2 k − z } ] {\displaystyle {\begin{aligned}z\log \Gamma (z)-\log G(1+z)&=-z\log \left({\frac {1}{\Gamma (z)}}\right)-\log G(1+z)\\[5pt]&={}{-z}\left[\log z+\gamma z+\sum _{k=1}^{\infty }\left\lbrace \log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)-{\frac {z}{k}}\right\rbrace \right]\\[5pt]&\qquad -\left[{\frac {z}{2}}\log 2\pi -{\frac {z}{2}}-{\frac {z^{2}}{2}}-{\frac {z^{2}\gamma }{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }\left\lbrace k\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)+{\frac {z^{2}}{2k}}-z\right\rbrace \right]\end{aligned}}} Soit
∑ k = 1 ∞ { ( k + z ) log ( 1 + z k ) − z 2 2 k − z } = − z log z − z 2 log 2 π + z 2 + z 2 2 − z 2 γ 2 − z log Γ ( z ) + log G ( 1 + z ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left\lbrace (k+z)\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)-{\frac {z^{2}}{2k}}-z\right\rbrace ={-z}\log z-{\frac {z}{2}}\log 2\pi +{\frac {z}{2}}+{\frac {z^{2}}{2}}-{\frac {z^{2}\gamma }{2}}-z\log \Gamma (z)+\log G(1+z)} D'autre part, on prend le logarithme du produit de Weierstrass de la fonction gamma et on intègre sur l'intervalle [ 0 , z ] {\displaystyle \,[0,\,z]} :
∫ 0 z log Γ ( x ) d x = − ∫ 0 z log ( 1 Γ ( x ) ) d x = − ( z log z − z ) − z 2 γ 2 − ∑ k = 1 ∞ { ( k + z ) log ( 1 + z k ) − z 2 2 k − z } {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{z}\log \Gamma (x)\,\mathrm {d} x=-\int _{0}^{z}\log \left({\frac {1}{\Gamma (x)}}\right)\,\mathrm {d} x={-(z\log z-z)}-{\frac {z^{2}\gamma }{2}}-\sum _{k=1}^{\infty }\left\lbrace (k+z)\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)-{\frac {z^{2}}{2k}}-z\right\rbrace \end{aligned}}} Les deux égalités obtenues amènent :
∫ 0 z log Γ ( x ) d x = z ( 1 − z ) 2 + z 2 log 2 π + z log Γ ( z ) − log G ( 1 + z ) {\displaystyle \int _{0}^{z}\log \Gamma (x)\,\mathrm {d} x={\frac {z(1-z)}{2}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi +z\log \Gamma (z)-\log G(1+z)} Et puisque G ( 1 + z ) = Γ ( z ) G ( z ) {\displaystyle \,G(1+z)=\Gamma (z)\,G(z)} ,
∫ 0 z log Γ ( x ) d x = z ( 1 − z ) 2 + z 2 log 2 π − ( 1 − z ) log Γ ( z ) − log G ( z ) . {\displaystyle \int _{0}^{z}\log \Gamma (x)\,\mathrm {d} x={\frac {z(1-z)}{2}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi -(1-z)\log \Gamma (z)-\log G(z)\,.} ↑ (en) E. W. Barnes, « The theory of the G-function », Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics , vol. 31, 1900 , p. 264–314