Graphe des fonctions de Clausen Cl2 (rouge) et Cl4 (vert). En mathématiques , la fonction de Clausen , étudiée par Clausen puis (entre autres) Kummer et Rogers (en)
Cl 2 ( θ ) = − ∫ 0 θ ln | 2 sin ( t / 2 ) | d t {\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\theta )=-\int _{0}^{\theta }\ln |2\sin(t/2)|\,\mathrm {d} t} Plus généralement, on définit, pour Re(s ) > 1
Cl s ( θ ) = ∑ n = 1 ∞ sin ( n θ ) n s {\displaystyle \operatorname {Cl} _{s}(\theta )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(n\theta )}{n^{s}}}} Les fonctions de Clausen sont impaires et 2π -périodiques , donc nulles sur π ℤ . Cl 2 ( θ ) = ∫ 0 π − θ ln | 2 cos ( s / 2 ) | d s {\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\theta )=\int _{0}^{\pi -\theta }\ln |2\cos(s/2)|\,\mathrm {d} s} La fonction Cln pour n ∈ ℕ*polylogarithme Lin par : ∀ m ∈ N ∗ Cl 2 m ( θ ) = Im ( Li 2 m ( e i θ ) ) {\displaystyle \forall m\in \mathbb {N} ^{*}\quad \operatorname {Cl} _{2m}(\theta )=\operatorname {Im} (\operatorname {Li} _{2m}(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }))} ∀ m ∈ N Cl 2 m + 1 ( θ ) = Re ( Li 2 m + 1 ( e i θ ) ) {\displaystyle \forall m\in \mathbb {N} \quad \operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )=\operatorname {Re} (\operatorname {Li} _{2m+1}(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }))} Pour tout entier m ≥ 2 Cl m ( 2 θ ) = 2 m − 1 ( Cl m ( θ ) − ( − 1 ) m Cl m ( π − θ ) ) {\displaystyle \operatorname {Cl} _{m}(2\theta )=2^{m-1}{\Bigl (}\operatorname {Cl} _{m}(\theta )-(-1)^{m}\operatorname {Cl} _{m}(\pi -\theta ){\Bigr )}} Li 2 ( exp ( i θ ) ) = ζ ( 2 ) − θ ( 2 π − θ ) / 4 + i Cl 2 ( θ ) {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(\exp(\mathrm {i} \theta ))=\zeta (2)-\theta (2\pi -\theta )/4+\mathrm {i} \operatorname {Cl} _{2}(\theta )} pour 0 ≤ θ ≤ 2π , où ζ est la fonction zêta de Riemann [ 1] Une des accélérations de série de la fonction de Clausen est donnée par :
Cl 2 ( θ ) θ = 1 − ln | θ | + ∑ n = 1 ∞ ζ ( 2 n ) n ( 2 n + 1 ) ( θ 2 π ) 2 n {\displaystyle {\frac {\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}{\theta }}=1-\ln |\theta |+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)}{n(2n+1)}}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right)^{2n}} pour |θ | < 2π .
Une forme convergeant plus rapidement est donnée par :
Cl 2 ( θ ) θ = 3 − ln [ | θ | ( 1 − θ 2 4 π 2 ) ] − 2 π θ ln ( 2 π + θ 2 π − θ ) + ∑ n = 1 ∞ ζ ( 2 n ) − 1 n ( 2 n + 1 ) ( θ 2 π ) 2 n {\displaystyle {\frac {\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}{\theta }}=3-\ln \left[|\theta |\left(1-{\frac {\theta ^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\right]-{\frac {2\pi }{\theta }}\ln \left({\frac {2\pi +\theta }{2\pi -\theta }}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n(2n+1)}}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right)^{2n}} La rapidité de la convergence de cette série est due au fait que ζ(n ) tend rapidement vers 1 quand n tend vers l'infini. Ces deux formes sont générées grâce aux techniques de somme utilisées pour obtenir la série zêta rationnelle [ 2]
Cl 2 ( π 2 ) = K {\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=K} où K est la constante de Catalan . Plus généralement :
Cl s ( π 2 ) = β ( s ) {\displaystyle \operatorname {Cl} _{s}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=\beta (s)} où β est la fonction bêta de Dirichlet .
La valeur maximale de Cl2 est la constante de Gieseking (de) [ 3] , [ 4]
G = Cl 2 ( π 3 ) = 3 2 Cl 2 ( 2 π 3 ) ≈ 1,015 {\displaystyle \mathrm {G} =\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{3}}\right)={\frac {3}{2}}\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {2\pi }{3}}\right)\approx 1{,}015} Le volume hyperbolique (en) complément du nœud en huit (en) [ 5] , [ 6]
V = 2 G = 2 3 ∑ n = 1 ∞ 1 n ( 2 n n ) ∑ k = n 2 n − 1 1 k ≈ 2 , 03 {\displaystyle V=2\mathrm {G} =2{\sqrt {3}}\,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n{\binom {2n}{n}}}}\sum _{k=n}^{2n-1}{\frac {1}{k}}\approx 2{,}03} A091518 [ 7] Extensions : les fonctions de Glaisher-Clausen [ modifier | modifier le code ] Fonctions de Clausen standard
Fonctions de Glaisher–Clausen
Plus généralement, on peut définir deux clases de fonctions de Clausen généralisées :
S z ( θ ) = ∑ k = 1 ∞ sin k θ k z {\displaystyle \operatorname {S} _{z}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{z}}}} C z ( θ ) = ∑ k = 1 ∞ cos k θ k z {\displaystyle \operatorname {C} _{z}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{z}}}} La définition est valide pour tout complexe z tel que Re(z ) >1 . Le domaine de définition peut être étendu à tout le plan complexe par prolongement analytique .
Pour z entier positif , les fonctions de Clausen standard sont définies par les séries de Fourier suivantes :
Cl 2 m + 2 ( θ ) = ∑ k = 1 ∞ sin k θ k 2 m + 2 {\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m+2}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+2}}}} Cl 2 m + 1 ( θ ) = ∑ k = 1 ∞ cos k θ k 2 m + 1 {\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+1}}}} Sl 2 m + 2 ( θ ) = ∑ k = 1 ∞ cos k θ k 2 m + 2 {\displaystyle \operatorname {Sl} _{2m+2}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+2}}}} Sl 2 m + 1 ( θ ) = ∑ k = 1 ∞ sin k θ k 2 m + 1 {\displaystyle \operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+1}}}} Les fonctions de Clausen de type SL sont aussi notées Gl m ( θ ) {\displaystyle \operatorname {Gl} _{m}(\theta )\,} fonctions de Glaisher-Clausen (du nom de James Whitbread Lee Glaisher , d'où la notation GL[ 8]
G l n ( θ ) = { 1 2 ( L i n ( e i θ ) + L i n ( e − i θ ) ) s i n p a i r 1 2 i ( L i n ( e i θ ) − L i n ( e − i θ ) ) s i n i m p a i r {\displaystyle \mathrm {Gl} _{n}(\theta )={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\left(\mathrm {Li} _{n}(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta })+\mathrm {Li} _{n}(\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \theta })\right)&\mathrm {si} \ n\ \mathrm {pair} \\{\frac {1}{2\mathrm {i} }}\left(\mathrm {Li} _{n}(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta })-\mathrm {Li} _{n}(\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \theta })\right)&\mathrm {si} \ n\ \mathrm {impair} \end{cases}}} ↑ (en) Leonard Lewin , Structural Properties of Polylogarithms , 1991 [détail de l’édition ] p. 8.↑ (en) Jonathan M. Borwein , David M. Bradley et Richard E. Crandall , « Computational Strategies for the Riemann Zeta Function », J. Comput. App. Math. vol. 121, nos 1-2, 2000 , p. 247-296 (DOI 10.1016/S0377-0427(00)00336-8 ↑ (en) Eric W. Weisstein , « Gieseking's Constant MathWorld ↑ Apparaît sous le nom de « constante de Lobachevsky » dans (en) Steven Finch, « Volumes of Hyperbolic 3-Manifolds Université Harvard 2004 p. 4. ↑ Finch 2004 , p. 3-4.↑ (en) Jonathan Borwein et David Bailey , Mathematics by Experiment : Plausible Reasoning in the 21st Century , A K Peters , 2008 , 393 p. (ISBN 978-1-56881-442-1 lire en ligne ) , p. 56↑ Pour de nombreuses autres expressions de V , voir (en) Eric W. Weisstein , « Figure Eight Knot MathWorld ↑ (en) Luise Adams, Christian Bogner et Stefan Weinzierl, « [https://arxiv.org/abs/1504.03255 The two-loop sunrise integral around four space-time dimensions and generalisations of the Clausen and Glaisher functions towards the elliptic case] », . Sur les autres projets Wikimedia :
French
Deutsch
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}{\theta }}=3-\ln \left[|\theta |\left(1-{\frac {\theta ^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\right]-{\frac {2\pi }{\theta }}\ln \left({\frac {2\pi +\theta }{2\pi -\theta }}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n(2n+1)}}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right)^{2n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e8fcbf6de4474a4247011a217ac1699f06f14fd)
