ابربیضی - ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

ابربیضی که به یاد گابریل لامه با نام منحنی لامه نیز شناخته می‌شود، منحنی بسته‌ای مشابه بیضی است که جنبه‌های هندسی آن شامل نیم‌قطر بزرگ، نیم‌قطر کوچک و تقارن حول آنها را حفظ می‌کند، ولی شکل کلی متفاوتی دارد.

در دستگاه مختصات دکارتی، مجموعه نقاط روی منحنی معادلهٔ زیر را ارضا می‌کنند:

\left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1,

که در آن n و a و b اعدادی مثبت هستند و خط‌های عمودی پیرامون یک عدد، قدر مطلق آن را نشان می‌دهند.

موارد ویژه[ویرایش]

این فرمول به تعریف منحنی بسته‌ای می‌پردازد که در مستطیلی به ابعاد 2a و 2b محاط است. پارامترهای a و b را نیم‌قطرهای منحنی می‌نامند.

$0<n<1$	ابربیضی شبیه ستارهٔ چهارپر با اضلاع مقعر است. در حالت خاص n = ۱/۲، هر یک از چهار کمان بخشی از سهمی است.	ابربیضی با n = ¹⁄₂, a = b = 1
$n=1$	منحنی متوازی‌الأضلاعی با رأس‌های (‎±a, 0) و (‎0, ±b) است.
$1<n<2$	منحنی شبیه متوازی‌الأضلاعی با همان رئوس ولی با اضلاع محدب است. با نزدیک شدن به نقاط انتهایی، انحنا افزایش می یابد و حد ندارد.	ابربیضی با n = ³⁄₂, a = b = 1
$n=2$	منحنی به صورت بیضی معمولی است (در حالت خاص اگر a = b باشد تبدیل به دایره می‌شود).
$n>2$	منحنی شکلی شبیه مستطیل با لبه‌های گرد پیدا می‌کند. در نقاط (‎±a, 0) و (‎0, ±b) انحنا برابر صفر است.	ابربیضی با n = 4, a = b = 1

ویژگی‌های ریاضی[ویرایش]

اگر n عدد گویای مثبتی به شکل p/q باشد، هر ربع ابربیضی منحنی جبری از مرتبهٔ pq است.^[۱] در حالت خاص ‎a=b=۱ و n زوج، منحنی فرما از درجهٔ n خواهد بود. اگر صورت کسر زوج نباشد، منحنی از اجزای منحنی جبری مشابهی در راستاهای مختلف تشکیل می‌شود.

می توان منحنی را با معادلات پارامتری زیر (که پارامتر t تفسیر هندسی ندارد) توصیف کرد: