یک دنبالهٔ همگرا که به عدد خاصی میل میکند در حسابان ، حد یک دنباله مقداری است که در صورت وجود، جملههای آن دنباله با پیشروی، به قدر دلخواه به آن نزدیک میشوند؛ اگر چنین مقداری وجود داشته باشد، دنباله را همگرا و در غیر این صورت دنباله را واگرا مینامیم.[۱]
حد در بینهایت [ ویرایش ] به حد یک دنباله در بینهایت «حد دنباله» میگویند.
در نمایش مختصاتی ، بازهٔ دوبعدی افقی حول مقدار y = A {\displaystyle y=A} در نظر بگیرید (به شکل مستطیلی افقی که به سمت راست تا بینهایت ادامه دارد)، اگر دنبالهٔ { a n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }} به A {\displaystyle A} میل کند، باید از یک اندیس مشخّص ( N {\displaystyle N} ) به بعد، همهٔ a n {\displaystyle a_{n}} ها در این بازه باشند. این گزاره باید برای تمام بازهها (هر چند نازک) (به عرض 2 ε {\displaystyle 2\varepsilon } ) صدق کند.
به بیان دقیقتر، برای دنبالهٔ { a n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }} [۲] :
lim n → ∞ a n = A ⟸ ∀ ε > 0 : ∃ N ∈ N : d ( a n , A ) < ε , ∀ n ≥ N {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=A\Longleftarrow \forall \varepsilon >0:\exists N\in \mathbb {N} :d(a_{n},A)<\varepsilon ,\forall n\geq N}
که ε {\displaystyle \varepsilon } مقدار نازک بودن بازه را نشان میدهد و d ( x , y ) {\displaystyle d(x,y)} در فضای متریک به معنای فاصلهٔ y {\displaystyle y} و x {\displaystyle x} است و به صورت | x − y | {\displaystyle |x-y|} تعریف میشود.
در این صورت مینویسیم: lim n → ∞ a n = A {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=A}
حدِ بینهایت [ ویرایش ] نمونهای از یک دنبالهٔ واگرا که به هیچ مقداری میل نمیکند برای بعضی دنبالههای واگرا نیز عبارتی همچون lim n → ∞ b n = ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=\infty } یا lim n → ∞ b n = − ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=-\infty } نوشته میشود، یعنی (به ترتیب) دنبالهٔ { b n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{b_{n}\}_{n=1}^{\infty }} به بینهایت یا منفی بینهایت میل میکند؛ به عبارتی دیگر، (به ترتیب) دنبالهٔ { b n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{b_{n}\}_{n=1}^{\infty }} از بالا یا از پایین کران ندارد. به بیان دقیق:
lim n → ∞ b n = ∞ ⟸ ∀ B ∈ N : ∃ N ∈ N : b n > B , ∀ n ≥ N {\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=\infty \Longleftarrow \forall B\in \mathbb {N} :\exists N\in \mathbb {N} :b_{n}>B,\forall n\geq N}
دنبالهٔ واگرای a n = ( − 1 ) n {\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}} از جمله مثالهایی ست که به هیچ مقداری میل نمیکند.
ویژگیهای حد دنباله [ ویرایش ] ویژگیهای حد دنباله مثل ویژگیهای حد تابع هستند.
حد دنباله در صورت وجود، یکتاست. یعنی اگر lim n → ∞ a n = A 1 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=A_{1}} و lim n → ∞ a n = A 2 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=A_{2}} آنگاه A 1 = A 2 {\displaystyle A_{1}=A_{2}} [۲]
اگر برای دنبالهٔ { a n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }} داشته باشیم lim n → ∞ a n = A {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=A} ، به ازای هر تابع پیوستهٔ f {\displaystyle f} داریم lim n → ∞ f ( a n ) = lim n → ∞ f ( A ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(a_{n})=\lim _{n\to \infty }f(A)}
lim n → ∞ ( a n ± b n ) = lim n → ∞ a n ± lim n → ∞ b n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\pm \lim _{n\to \infty }b_{n}}
lim n → ∞ ( c a n ) = c lim n → ∞ a n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }(ca_{n})=c\lim _{n\to \infty }a_{n}}
lim n → ∞ ( a n b n ) = ( lim n → ∞ a n ) ( lim n → ∞ b n ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}b_{n})=(\lim _{n\to \infty }a_{n})(\lim _{n\to \infty }b_{n})}
lim n → ∞ ( a n b n ) = lim n → ∞ a n lim n → ∞ b n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }({a_{n} \over b_{n}})={\lim _{n\to \infty }a_{n} \over \lim _{n\to \infty }b_{n}}} به شرطی که lim n → ∞ b n ≠ 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0}
lim n → ∞ ( a n p ) = ( lim n → ∞ a n ) p {\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}^{p})=(\lim _{n\to \infty }a_{n})^{p}}
a n ≤ b n ⟺ lim n → ∞ a n ≤ lim n → ∞ b n {\displaystyle a_{n}\leq b_{n}\Longleftrightarrow \lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}} [۳]
توجّه کنید که در بسیاری از موارد a n < b n {\displaystyle a_{n}<b_{n}} برقرار است امّا lim n → ∞ a n = lim n → ∞ b n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}}
قضایای مرتبط [ ویرایش ] اگر f : R ⟶ R {\displaystyle f:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} } و همیشه f ( n ) = a n {\displaystyle f(n)=a_{n}} برقرار باشد، lim n → ∞ a n = lim n → ∞ f ( n ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }f(n)} [۳]
اگر از یک اندیس به بعد b n ≤ a n ≤ c n {\displaystyle b_{n}\leq a_{n}\leq c_{n}} و همچنین lim n → ∞ c n = lim n → ∞ b n = L {\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L} آن گاه lim n → ∞ a n = L {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L} [۳]
دنبالهٔ فوق نزولی ست و همیشه بیش از صفر، پس همگرا ست قضیهٔ دنبالهٔ یکنوا [ ویرایش ] اگر { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} کراندار و یکنوا باشد همگرا ست[۳] .
حد چند دنبالهٔ مهم [ ویرایش ] α > 0 ⟹ lim n → ∞ 1 n α = 0 {\displaystyle \alpha >0\Longrightarrow \lim _{n\to \infty }{1 \over n^{\alpha }}=0} [۴]
| c | < 1 ⟹ lim n → ∞ c n = 0 {\displaystyle |c|<1\Longrightarrow \lim _{n\to \infty }c^{n}=0}
c > 0 ⟹ lim n → ∞ c 1 n = 1 {\displaystyle c>0\Longrightarrow \lim _{n\to \infty }c^{1 \over n}=1}
a > 0 , b > 0 ⟹ lim n → ∞ ( log n ) a n b = 0 {\displaystyle a>0,b>0\Longrightarrow \lim _{n\to \infty }{(\log n)^{a} \over n^{b}}=0}
lim n → ∞ n 1 n = lim n → ∞ n n = 1 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }n^{1 \over n}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=1}
a ∈ R ⟹ lim n → ∞ ( 1 + a n ) n = e a {\displaystyle a\in \mathbb {R} \Longrightarrow \lim _{n\to \infty }(1+{a \over n})^{n}=e^{a}}
c ∈ R ⟹ lim n → ∞ c n n ! = 0 {\displaystyle c\in \mathbb {R} \Longrightarrow \lim _{n\to \infty }{c^{n} \over n!}=0} [۳]
جستارهای وابسته [ ویرایش ] مشارکتکنندگان ویکیپدیا. «Limit of a sequence ». در دانشنامهٔ ویکیپدیای انگلیسی .