2维球面的正交投影 3维球面的平行線(紅色)、 子午線 (藍色)以及超子午線(綠色)的立體投影法 。 因為立體投影法的共形 特性,這些曲線彼此在交點上彼此正交(圖中黃色點),如同在四維空間中一樣。所有曲線都是圓;交會在<0,0,0,1>的曲線具有無限大的半徑(亦即直線)。 n 维球面 是普通的球面 在任意维度 的推广。它是(n + 1)维空间内的n 维流形 。特别地,0维球面就是直线上的两个点,1维球面是平面 上的圆 ,2维球面是三维空间内的普通球面。高于2维的球面有时称为超球面 。中心位于原点且半径为单位长度的n 维球面称为单位n 维球面 ,记为S n 。用符号来表示,就是:
S n = { x ∈ R n + 1 : ‖ x ‖ = 1 } . {\displaystyle S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\|x\|=1\right\}.} n 维球面是(n + 1)维球体 的表面或边界,是n 维流形的一种。对于n ≥ 2,n 维球面是单连通 的n 维流形,其曲率为正的常数。
对于任何自然数 n ,半径 为r 的n 维球面定义为(n + 1)维欧几里得空间 中到某个定点的距离等于常数r 的所有点的集合,其中r 可以是任何正的实数。它是(n + 1)维空间内的n 维流形 。特别地:
0维球面是直线上的两个点{p − r , p + r }; 1维球面是平面 上的圆 ; 2维球面是三维空间内的普通球面; 3维球面 是四维空间内的球面。 (n + 1)维空间中的点(x 1 , x 2 , ..., x n +1 )定义了一个n 维球面(S n (r )),由以下方程表示:
r 2 = ∑ i = 1 n + 1 ( x i − C i ) 2 . {\displaystyle r^{2}=\sum _{i=1}^{n+1}(x_{i}-C_{i})^{2}.\,} 其中C 是中心点,r 是半径。
以上的n 维球面在(n + 1)维空间中存在,是n 维流形的一个例子。半径为 r {\displaystyle r} 的n 维球面的体积形式 ω由下式给出:
ω = 1 r ∑ j = 1 n + 1 ( − 1 ) j − 1 x j d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x j − 1 ∧ d x j + 1 ∧ ⋯ ∧ d x n + 1 = ∗ d r {\displaystyle \omega ={1 \over r}\sum _{j=1}^{n+1}(-1)^{j-1}x_{j}\,dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{j-1}\wedge dx_{j+1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}=*dr} 其中*是霍奇星算子 (关于讨论和这个公式在r = 1的情形下的证明,请参见Flanders (1989 ,§6.1))。因此,
d r ∧ ω = d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n + 1 . {\displaystyle dr\wedge \omega =dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}.} 由n 维球面所包围的体积,称为(n + 1)维球体 。如果把球体的表面包括在内,则(n + 1)维球体是封闭 的,否则是开放 的。
特别地:
1维球体,是一个线段 ,是0维球面的内部。 2维球体,是一个圆盘 ,是圆(1维球面)的内部。 3维球体,是一个普通的球体 ,是球面(2维球面)的内部。 4维球体,是3维球面的内部。 ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} 维球面所包围的体积( n {\displaystyle n} 维球体 的体积)由以下公式给出:
V n = π n 2 R n Γ ( n 2 + 1 ) = C n R n {\displaystyle V_{n}={\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n} \over \Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}={C_{n}R^{n}}} , 其中 Γ {\displaystyle \Gamma } 是伽玛函数 。对于偶数 n {\displaystyle n} , Γ ( n 2 + 1 ) = ( n 2 ) ! {\displaystyle \Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)=\left({\frac {n}{2}}\right)!} ;对于奇数 n {\displaystyle n} , Γ ( n 2 + 1 ) = π n ! ! 2 ( n + 1 ) / 2 {\displaystyle \Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)={\sqrt {\pi }}{\frac {n!!}{2^{(n+1)/2}}}} ,其中 n ! ! {\displaystyle n!!} 表示双阶乘 。
由此可以推出,对于给定的 n {\displaystyle n} ,常数 C n {\displaystyle C_{n}} 的值为:
C n = π k k ! {\displaystyle C_{n}={\frac {\pi ^{k}}{k!}}} (对于偶数n =2k ), C n = C 2 k + 1 = 2 2 k + 1 k ! π k ( 2 k + 1 ) ! {\displaystyle C_{n}=C_{2k+1}={\frac {2^{2k+1}k!\,\pi ^{k}}{(2k+1)!}}} (对于奇数n =2k +1)。 这个(n-1)维球面的表面积 是:
S n − 1 = d V n d R = n V n R = 2 π n 2 R n − 1 Γ ( n 2 ) = n C n R n − 1 {\displaystyle S_{n-1}={\frac {dV_{n}}{dR}}={\frac {nV_{n}}{R}}={2\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n-1} \over \Gamma ({\frac {n}{2}})}={nC_{n}R^{n-1}}} n 维球面的表面积和体积之间有以下的关系:
V n / S n − 1 = R / n {\displaystyle V_{n}/S_{n-1}=R/n\,} S n + 1 / V n = 2 π R {\displaystyle S_{n+1}/V_{n}=2\pi R\,} 从此可以推导出递推关系:
V n = 2 π R 2 n V n − 2 {\displaystyle V_{n}={\frac {2\pi R^{2}}{n}}V_{n-2}\,} 这些公式也可以直接从n 维球坐标系 中的积分 推出(Stewart 2006 ,第881頁)。
对于较小的 n {\displaystyle n} ,半径为 R {\displaystyle R} 的 n {\displaystyle n} 维球体体积 V n {\displaystyle V_{n}} 为如下:
V 0 {\displaystyle V_{0}\,} = 1 {\displaystyle 1\,} V 1 {\displaystyle V_{1}\,} = 2 R {\displaystyle 2\,R} ≈ {\displaystyle \approx } 2.00000 R {\displaystyle 2.00000\,R} V 2 {\displaystyle V_{2}\,} = π R 2 {\displaystyle \pi \,R^{2}} ≈ {\displaystyle \approx } 3.14159 R 2 {\displaystyle 3.14159\,R^{2}} V 3 {\displaystyle V_{3}\,} = 4 π 3 R 3 {\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}\,R^{3}} ≈ {\displaystyle \approx } 4.18879 R 3 {\displaystyle 4.18879\,R^{3}} V 4 {\displaystyle V_{4}\,} = π 2 2 R 4 {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{2}}\,R^{4}} ≈ {\displaystyle \approx } 4.93480 R 4 {\displaystyle 4.93480\,R^{4}} V 5 {\displaystyle V_{5}\,} = 8 π 2 15 R 5 {\displaystyle {\frac {8\pi ^{2}}{15}}\,R^{5}} ≈ {\displaystyle \approx } 5.26379 R 5 {\displaystyle 5.26379\,R^{5}} V 6 {\displaystyle V_{6}\,} = π 3 6 R 6 {\displaystyle {\frac {\pi ^{3}}{6}}\,R^{6}} ≈ {\displaystyle \approx } 5.16771 R 6 {\displaystyle 5.16771\,R^{6}} V 7 {\displaystyle V_{7}\,} = 16 π 3 105 R 7 {\displaystyle {\frac {16\pi ^{3}}{105}}\,R^{7}} ≈ {\displaystyle \approx } 4.72477 R 7 {\displaystyle 4.72477\,R^{7}} V 8 {\displaystyle V_{8}\,} = π 4 24 R 8 {\displaystyle {\frac {\pi ^{4}}{24}}\,R^{8}} ≈ {\displaystyle \approx } 4.05871 R 8 {\displaystyle 4.05871\,R^{8}}
但当 n {\displaystyle n} 趋于无穷大时, V n R n {\displaystyle {\frac {V_{n}}{R^{n}}}} 趋于0。
如果维度n 不限于整数,那么n维球面的体积就是n 的连续函数 ,它的极大值 位于n = 5.2569464...,体积为5.277768...。当n = 0或n = 12.76405...时,体积为1。
单位n 维球面的外切超正方体 的边长为2,因此体积为2n ;当维度增加时,n 维球面的体积与外切于它的超正方体的体积之比单调减少。
我们可以定义n维空间内的坐标系统,与3维空间内的球坐标系 类似,由径向坐标 r {\displaystyle \ r} 和 n − 1 {\displaystyle \ n-1} 个角度坐标 ϕ 1 , ϕ 2 , . . . , ϕ n − 1 {\displaystyle \ \phi _{1},\phi _{2},...,\phi _{n-1}} 组成。如果 x i {\displaystyle \ x_{i}} 是笛卡儿坐标系,那么我们可以定义:
x 1 = r cos ( ϕ 1 ) {\displaystyle x_{1}=r\cos(\phi _{1})\,} x 2 = r sin ( ϕ 1 ) cos ( ϕ 2 ) {\displaystyle x_{2}=r\sin(\phi _{1})\cos(\phi _{2})\,} x 3 = r sin ( ϕ 1 ) sin ( ϕ 2 ) cos ( ϕ 3 ) {\displaystyle x_{3}=r\sin(\phi _{1})\sin(\phi _{2})\cos(\phi _{3})\,} ⋯ {\displaystyle \cdots \,} x n − 1 = r sin ( ϕ 1 ) ⋯ sin ( ϕ n − 2 ) cos ( ϕ n − 1 ) {\displaystyle x_{n-1}=r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\cos(\phi _{n-1})\,} x n = r sin ( ϕ 1 ) ⋯ sin ( ϕ n − 2 ) sin ( ϕ n − 1 ) {\displaystyle x_{n}~~\,=r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\sin(\phi _{n-1})\,} 从中可以推出逆变换的公式:
tan ( ϕ n − 1 ) = x n x n − 1 {\displaystyle \tan(\phi _{n-1})={\frac {x_{n}}{x_{n-1}}}} tan ( ϕ n − 2 ) = x n 2 + x n − 1 2 x n − 2 {\displaystyle \tan(\phi _{n-2})={\frac {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}{x_{n-2}}}} ⋯ {\displaystyle \cdots \,} tan ( ϕ 1 ) = x n 2 + x n − 1 2 + ⋯ + x 2 2 x 1 {\displaystyle \tan(\phi _{1})={\frac {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}}}{x_{1}}}} 注意最后一个角 ϕ n − 1 {\displaystyle \phi _{n-1}} 的值域为 2 π {\displaystyle 2\pi } ,而其它角的值域为 π {\displaystyle \pi } 。这个值域覆盖了整个球面。
n 维空间内的体积元素 可以从变换的雅可比行列式 得出:
d R n V = | det ∂ ( x i ) ∂ ( r , ϕ j ) | d r d ϕ 1 d ϕ 2 … d ϕ n − 1 {\displaystyle d_{\mathbb {R} ^{n}}V=\left|\det {\frac {\partial (x_{i})}{\partial (r,\phi _{j})}}\right|dr\,d\phi _{1}\,d\phi _{2}\ldots d\phi _{n-1}} = r n − 1 sin n − 2 ( ϕ 1 ) sin n − 3 ( ϕ 2 ) ⋯ sin ( ϕ n − 2 ) d r d ϕ 1 d ϕ 2 ⋯ d ϕ n − 1 {\displaystyle =r^{n-1}\sin ^{n-2}(\phi _{1})\sin ^{n-3}(\phi _{2})\cdots \sin(\phi _{n-2})\,dr\,d\phi _{1}\,d\phi _{2}\cdots d\phi _{n-1}} 以上n维球体的体积方程可以通过积分来重新得出:
V n = ∫ r = 0 R ∫ ϕ 1 = 0 π ⋯ ∫ ϕ n − 2 = 0 π ∫ ϕ n − 1 = 0 2 π d R n V . {\displaystyle V_{n}=\int _{r=0}^{R}\int _{\phi _{1}=0}^{\pi }\cdots \int _{\phi _{n-2}=0}^{\pi }\int _{\phi _{n-1}=0}^{2\pi }d_{\mathbb {R} ^{n}}V.\,} (n -1)–维球面的体积元素是2维球面的面积元素 的推广,由以下公式给出:
d S n − 1 V = sin n − 2 ( ϕ 1 ) sin n − 3 ( ϕ 2 ) ⋯ sin ( ϕ n − 2 ) d ϕ 1 d ϕ 2 … d ϕ n − 1 {\displaystyle d_{S^{n-1}}V=\sin ^{n-2}(\phi _{1})\sin ^{n-3}(\phi _{2})\cdots \sin(\phi _{n-2})\,d\phi _{1}\,d\phi _{2}\ldots d\phi _{n-1}} 就像三维空间中的二维球面可以通过球极平面投影 映射到二维平面上一样,一个n维球面也可以通过球极平面投影的n维形式映射到n维超平面。例如,半径为1的二维球面上的点 [ x , y , z ] {\displaystyle \ [x,y,z]} 映射到 x y {\displaystyle \ xy} 平面上的点 [ x , y , z ] ↦ [ x 1 − z , y 1 − z ] {\displaystyle \ [x,y,z]\mapsto \left[{\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right]} 。也就是说:
[ x , y , z ] ↦ [ x 1 − z , y 1 − z ] . {\displaystyle \ [x,y,z]\mapsto \left[{\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right].} 类似地,半径为1的n维球面 S n − 1 {\displaystyle \mathbf {S} ^{n-1}} 的球极平面投影映射到垂直于 x n {\displaystyle \ x_{n}} 轴的n-1维超平面 R n − 1 {\displaystyle \mathbf {R} ^{n-1}} :
[ x 1 , x 2 , … , x n ] ↦ [ x 1 1 − x n , x 2 1 − x n , … , x n − 1 1 − x n ] . {\displaystyle [x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]\mapsto \left[{\frac {x_{1}}{1-x_{n}}},{\frac {x_{2}}{1-x_{n}}},\ldots ,{\frac {x_{n-1}}{1-x_{n}}}\right].} Flanders, Harley, Differential forms with applications to the physical sciences, New York: Dover Publications , 1989, ISBN 978-0-486-66169-8 . Moura, Eduarda; Henderson, David G., Experiencing geometry: on plane and sphere , Prentice Hall , 1996 [2008-09-13 ] , ISBN 978-0-13-373770-7 , (原始内容存档 于2008-07-04) (第20章:3-spheres and hyperbolic 3-spaces) Weeks, Jeffrey R. , The Shape of Space: how to visualize surfaces and three-dimensional manifolds, Marcel Dekker, 1985, ISBN 978-0-8247-7437-0 (第14章:The Hypersphere) Marsaglia, G. "Choosing a Point from the Surface of a Sphere." Ann. Math. Stat. 43, 645-646, 1972. Stewart, James, Calculus: Concepts and Contexts 3rd, Thomson/Brooks/Cole, 2006 .