幾何學中,三維點群是三維空間中,任何一個固定原點的對稱群。等價的說法是,其為球面的對稱群。此類群皆為正交群的子群,即固定原點的全體等距同構組成的群,亦可視為全體正交矩陣的乘法群。本身則是全體等距同構的歐氏群的子群。
立體的對稱群必由等距同構組成,反之,要分析等距對稱構成的群,就是分析所有可能的對稱。有界三維立體的全體等距同構,必存在共同的不動點,不妨設其中之一為原點。
立體的對稱群,有時稱為全體對稱群作強調,用以突顯與旋轉群(或真對稱群)的分別。立體的旋轉群是其全體對稱群與三維空間本身的旋轉群之交。立體的旋轉群等於全體對稱群,當且僅當立體具手性。
三維點群在化學廣泛用於描述分子的對稱,及組成共價鍵的分子軌域的對稱。此背景下,也稱分子對稱群。
有限考克斯特群是一族特殊的點群,僅由過原點的若干個鏡射生成。階考克斯特群是由個鏡射生成,可以考克斯特-丹金圖表示。考克斯特符號則改為用方括號和數字描述,並設有其他標記,用以表示旋轉群或其他子群。
群結構[编辑]
是直接歐氏群的子群,其元素皆是直接等距同構,即保持定向的等距變換。僅含保持原點不變的直接等距同構。
則是與點反演生成的群的直積:(此處點反演以其矩陣表示,即單位矩陣乘上。)
所以,三維空間中,藉點反演,可以得到直接與間接等距變換之間的一一對應,此外,中僅由直接等距變換組成的子群(必包含在中,亦與中含有點反演的子群一一對應。對應關係如下:
例如,若為,則為;若為,則為。(定義載於下文。)
若直接等距同構群有指數為的子群,則除以上含點反演的子群外,還有另一個對應的子群
含有間接等距變換,但不含點反演。式中與視為等同。舉例為,而為。
換言之,是將中的變換,乘上得到。此群作為抽象群與同構。反之,任意對稱群,若有間接等距變換,但無點反演,則可以將所有間接變換反演,而變成旋轉群。等距群的分類(見下文)中,可以用此性質化簡問題。
二維情況下,重旋轉的循環群皆是和的正規子群。在三維中,固定旋轉軸,則相應有繞該軸的重循環群,是繞該軸的全體旋轉群的正規子群。此外,由於指數為的子群必正規,在中正規,也在中正規。此處是向添加過旋轉軸的反射面生成,而則是向添加與軸垂直的反射面生成。
固定原點的三維等距變換[编辑]
的等距變換中,固定原點的變換,組成正交群,簡記為。其元素分類如下:
- 子群中:
- 單位(恆等變換);
- 繞過原點某軸的旋轉,且角度不為;
- 繞過原點某軸的旋轉,且角度為;
- 及以上變換但額外乘上點反演(將向量映去),即:
- 點反演;
- 繞過原點的某軸,作角度不為的旋轉,後再作一次鏡射,鏡射面過原點,且與旋轉軸垂直;
- 關於過原點某平面的鏡射。
後三種元素又稱瑕旋轉。(視乎定義,末一種未必算。)
連同平移變換的簡介,見歐幾里得群。
比較兩件立體的對稱類時,原點可以分別選取,即兩件立體的中心不必相同。更甚者,兩件立體具有相同對稱類,意思是其對稱群在中為共軛子群,即存在,使。
舉例:
- 兩件立體各僅有鏡射對稱,即使並非關於同一鏡面,仍屬同樣的對稱類;
- 同樣,若各僅有三重旋轉對稱,即使軸向不同,仍屬同樣的對稱類。
若立體的對稱群有多條旋轉軸或多個鏡面,或兩者皆有,則兩個對稱群同屬一類,當且僅當有另一個旋轉,將前一個對稱群的整個結構,變換成後一個對稱群。(此種旋轉會多於一個,但不會是無窮多個。僅有一條旋轉軸或一個鏡面時,此種旋轉方會有無窮多個。)按定義,上文的不必為旋轉,也可以為鏡射,然而,由於對稱群的結構不具手性,祇需取為旋轉。(但空間群則不然,有對空間群具有手性,因為有螺旋變換。)
無窮等距變換群[编辑]
有許多無窮等距變換群,如繞任意軸轉任意無理角度(即圈數或度數為無理數,或弧度數為的無理數倍)的旋轉,所生成的無窮循環群;若加入繞同一軸的其他旋轉,還可以組成許多非循環的交換群。取不共軸的旋轉,則生成非交換群。一般而言,此等非交換群皆為自由群。僅有特別選取的旋轉,方能得到有限群,否則一般皆是無窮群。
作為拓撲群的子群,上述無窮子群皆非閉子群。以下討論的拓撲閉子群:
- 整個是球對稱群、
- 相應的旋轉群是、
- 其他無窮等距變換群有五個,皆含有過原點的某軸,繞該軸的所有旋轉,另外可以:
- 添加或不添加過軸的各鏡面反射,
- 另添加或不添加過原點與軸垂直的鏡面反射。(共四個)
- 最後,若以上兩種反射都無添加,則可以只添加兩者的複合,相當於添加與原旋轉軸垂直的軸上的旋轉。(一個)
添加過軸的各鏡面反射的群,不論有否添加過原點與軸垂射的鏡面反射,稱為兩種圓柱對稱性。注意若物理實體有無窮旋轉對稱,則亦必關於過軸的鏡面對稱。
此七個連續群,稱為極限點群或居里極限群,得名自最早研究此種群的皮埃尔·居里。[1][2]軸向群可以分成七列無窮序列,其極限給出五個軸向極限群(有兩個重複),而、則不是軸向群的極限。國際記號中,此七個群記為,次序在下文明確給出。[3]
有限等距變換群[编辑]
三維空間的對稱中,保持原點不動,等價於保持以原點為球心的球面。關於有限的三維點群,亦可參見球面有限對稱群列表。
不別共軛之異,三維有限點群只有:
- 個無窮列,此七類群中,每個群至多一條旋轉軸有多於兩重旋轉。該些群皆是圓柱面的對稱群(的有限子群),其中圓柱面有限長或無限長是等價的,有時稱為軸向點群(英語:axial point groups)或棱柱點群(英語:prismatic point groups)。
- 個其他點群,每個有至少兩條至少三重的旋轉軸;也可以等價寫成有至少兩條三重旋轉軸,因為全部七個都有多條三重旋轉軸。若數出其三重以上的旋轉軸,所有可能組合有:
- 條三重軸、
- 條三重軸及條四重軸、
- 條三重軸及條五重軸。
根據晶體學限制定理,僅得很少點群與離散平移對稱相容:七列軸向點群中,有個;七個其他點群中,有個,合共個,稱為晶體學點群。
七類軸向點群[编辑]
有七列軸向點群。每列有無窮多個群,各可用正整數標示。每列第個群,含繞某軸的重旋轉,即旋轉,故對應轉一整圈,即不旋轉。七列軸向點群中,四列無其他旋轉軸(稱循環對稱),另三列有其他二重旋轉軸(稱二面對稱)。該些群可以視為二維點群添加軸向坐標和關於軸的反射而成,也與帶群相關。[4] 可以將軸向點群理解為帶群的圖案在繞柱面恰好重複次。
下表列出點群的幾種記號:晶體學的赫爾曼–莫甘記號、分子對稱性的熊夫利記號、軌形記號、考克斯特記號。後三者不僅方便讀出群的性質,還與群的階數密切相關。軌形記號同時通用於牆紙群與帶群。晶體群的僅能取(晶體學限制定理),而若移除該限制,則可取任意正整數。七列軸向點群為:
赫-莫 | 熊夫利 | 軌形 | 考克斯特 | 帶群 | 抽象結構 (群階) | 例子 | 備註 |
偶 | 奇 | (圓柱) |
| | |
| p1 | 循環群 () | | 重旋轉對稱 |
| | | |
| p11g | () | | 重旋轉反射對稱 勿與次抽象對稱群混淆 |
| | | |
| p11m | () | | |
| | | |
| p1m1 | 二面體群 () | | 稜錐對稱 生物學又稱雙輻射狀對稱 |
| | | |
| p211 | () | | 二面體對稱 |
| | | |
| p2mg | () | | 反稜柱對稱 |
| | | |
| p2mm | () | | 稜柱對稱 |
對奇數,有抽象群同構及。
群(包括平凡群)及有手性,其他則無手性。
術語水平(horizontal, h)與豎直(vertical, v)描述反射面的方向,以旋轉軸為豎直,故反射面水平即垂直於與旋轉軸,反射面豎直即包含為旋轉軸。相應下標用字母h和v。
最簡單的非平凡軸向群皆同構於抽象群,但是的不同子群(即不共軛):
- (等同)——點反演對稱
- ——二重旋轉對稱
- (等同和)——反射對稱,生物學又稱兩側對稱(英語:bilateral symmetry)。
第一組單軸循環群中,的階為(二維情況同樣適用),是由單一個角度為的旋轉生成。若向此群加入一個與軸垂直的鏡面(的反射),則生成,階為。若不加入與軸垂直的鏡面,但加入塊通過軸的鏡面,則得到,階亦為。後者是正稜錐的對稱群。具或的典型物體是螺旋槳。
若上述兩種鏡面皆加入,則水平鏡面與豎直鏡面相交得到條軸,而鏡射的複合生成繞該些軸的旋轉,故群不再單軸。新群的階為,記為。其旋轉子群為個元素的二面體群,仍有與主(重)旋轉軸垂直的二重旋轉軸,但不再有鏡面。
注意,在二維,包括鏡射,但鏡射也可以視為將不辨前後之別的扁平物體翻轉得到。但在三維,鏡射與翻轉不再相同:群有翻轉但無鏡射。
餘下一類是(或),其有包含主旋轉軸的豎直鏡面,但沒有水平鏡面,取而代之的操作是先水平鏡射,再旋轉。是正棱柱和雙稜錐的對稱群。則是正角反棱柱的對稱群,亦是正方偏方面體的對稱群。最後,是稍稍扭過的正棱柱的對稱群。
及較特殊,因為並無特別的主旋轉軸:三條互相垂直的旋轉軸皆為二重軸。是下節所有多面體對稱群的子群,而則是多面體群與的子群。可以作為下列化學品的對稱群:
的元素,與利普希茨四元數的可逆元表示的旋轉,有一對二的關係。
群由「先關於水平面作鏡射,再旋轉」生成。對於奇數,是等於前述兩個操作分開執行,生成的群,階為,故不必用到記號。然而,對偶數,兩個群有差異,且僅有個元素。與類似,其包含若干瑕旋轉,但不包含對應的旋轉。
七列軸向群的元素僅有下列四對重複:
- 及:階數為,由獨一個鏡射生成。又稱。
- 與:階數為,由獨一個旋轉生成。
- 與:階數為,由一個鏡射與鏡面上一條軸的旋轉生成。
- 與:階數為,由一個鏡射與一條垂直於鏡面的軸的旋轉生成。
是由獨一個點反演生成的階群,又記為。
此處「重複」是指作為的子群共軛,是強於作為抽象群代數同構的條件。例如,前一種意義下,有三個不同的階群,但祇有一個階抽象群。類似,也有與抽象同構。
群的構造亦可描述如下:
- 是由獨一個元素生成,生成元亦稱為,是繞軸轉。群的元素是:(單位元),,對應旋轉角。該軸視為豎直軸。
- 由獨一個元素生成,其中是水平面的鏡射。群的元素是的元素,另加。
- 由與反射生成。群的元素是的元素,另加。
- 由與豎直鏡面的反射生成。群的元素是的元素,另加。
- 是由與繞水平面上某軸的旋轉,其元素是的元素,另加。
- 由元素與生成。元素是的元素,加上與的額外元素,再加上。
- 由元素生成。其元素為的元素,再加上的所有額外元素。
取趨向的極限,則得到連續軸向群(或無窮階軸向群):
赫-莫 | 熊夫利 | 軌形 | 考克斯特 | 是何序列的極限 | 抽象群 |
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七個其他點群[编辑]
餘下七個點群又稱為高度對稱或多面體對稱,因為有多於一條旋轉軸的重數大於二。下表中,表示一條重軸,即旋轉角為,則表示同樣旋轉角的瑕旋轉軸。所用記號,首先是字母表示的熊夫利記號,然後括號內為軌形記號,然後為考克斯特記號及圖,最後是赫爾曼–莫甘記號及倘有的簡寫。
()
階為 | 手性四面體對稱 | 有四條軸,是立方體的四條體對角線,也可以看成正四面體四個頂點分別到對面中心的連線。另有三條軸,是立方體三組對面的中心連線,也是正四面體三組對邊的中點連線。同構交錯群,即四個元素的偶排列的群。本群為正四面體的旋轉群,也是及以下兩種八面體對稱群的正規子群。本群的個元素,與赫維茲四元數的個可逆元,有一對二的關係,而後者又稱為二元四面體群。 |
()
階為 | 全四面體對稱 | 本群與有相同的旋轉軸,但另有六塊鏡面,每塊經過立方體的兩條不在同一面的平行邊,也是正四面體六條稜各自的垂直平分面。每塊鏡面包含一條軸,兩條軸。原軸,加入鏡射後,變成軸。本群是正四面體的對稱群。同構於個元素的對稱群,因為的元素,會將條軸重新排列,而元素與此四條軸的排列一一對應。若一件物體繞其中一條三重軸,有對稱,則在作用下,軌道有四件同樣的物體,就對應此四件物體的排列的集合。是的正規子群。 |
()
階為 | 五角十二面體對稱 | 本群與的旋轉軸相同,另有與立方體的面平行的鏡面。四條軸變成軸,並有關於中心的反演對稱。同構於(因為與皆是正規子群),而與對稱群不同構。若在立方體的每個面上,各畫一條線段,將該面分成兩個全等的長方形,且使得新增的線段不會相交於稜上,則所得的圖形的對稱群為。該些對稱是:立面體四條體對角線的偶排列,及該等偶排列與中心反演的複合。本群亦是五角十二面體的對稱群。五角十二面體與前述的(面經分割的)立方體類似,但其中每個長方形換成有四邊等長,具一條對稱軸的五角形,而五角形餘下一條不同長度的邊,對應立方體的面上新增的線段。換言之,可以想像立方體的面在分割線隆起,並在該處變窄(即分割線變短)。本群為全二十面體對稱群的子群(但不正規),且是作為等距變換群的子群,而不僅是抽象子群。全二十面體對稱群有十條三重軸,而本群有其中四條。本群亦為的正規子群。雖然記作,本群並非任何四面體(英語:Tetrahedron)的對稱群。 |
()
階為 | 手性八面體對稱 | 本群與類似,但各軸現改成軸,並有額外六條軸,是過正方體中心與(六對)稜中點的直線。本群與同構,因為其元素與四條三重軸的個排列一一對應,與類似。若物體繞某條三重軸有對稱,則在作用下,軌道有四件同樣的物體,而的元素也一一對應此四件物體的排列。本群是立方體與正八面體的旋轉群。若用四元數表示旋轉,則對應個赫維茲四元數的可逆元及範數平方為的個利普希茨四元數,各除以。與類似,此為一對二的關係。 |
()
階為 | 全八面體對稱 | 本群與有同樣的旋轉軸,但也有鏡射,有齊與的所有鏡面。本群同構於(因為與皆為正規子群),且是立方體與正八面體的對稱群。見八面體對稱。 |
()
階為 | 手性二十面體對稱 | 本群為正二十面體與正十二面體的旋轉群,亦是全正二十面體對稱群的指標正規子群。本群的子群中,有十個與六個(即稜柱或反稜柱的旋轉群)。本群也包含五個子群(見五複合正四面體)。抽象而言,同構於次交錯群,因為其元素作用在五個子群上,與其偶排列一一對應。等價地,可以考慮對前述五複合正四面體的五個單體的作用。以四元數表示旋轉,則對應個二十數可逆元。與先前一樣,此為一對二的關係。 |
()
階為 | 全二十面體對稱 | 本群為正二十面體與正十二面體的對稱群。與抽象群同構,因為與皆是正規子群。本群的子群中,有十個、六個(反稜柱的對稱)、五個。 |
相關的連續群有:
- 旋轉群,即所有旋轉的群,亦記作或。
- 正交群,所有旋轉和鏡射生成的群,亦記作或。
如無窮等距變換群一節所言,任何物理實體,若有對稱性,則必有對稱性。
軌形記號與階[编辑]
若已知群的軌形記號,則可計算其階數,等於除以軌形的歐拉示性數。軌形的歐拉示性數是將減去軌形記號中,各符號特徵數的總和:
- 無或在之前的,值為;
- 在之後的,值為;
- 與計為。
此公式同樣適用於壁紙群與帶群:對該等群,特徵數之和為,所以階數是無窮大。亦見壁紙群條目。
反射考克斯特群[编辑]
三維考克斯特群的基本域 | | |
塊鏡 | 塊鏡 | 塊鏡 |
| | |
塊鏡 | 塊鏡 | 塊鏡 |
| | |
塊鏡 | 塊鏡 | 塊鏡 |
三維反射點群又稱為考克斯特群,能以考克斯特-鄧肯圖表示,是交於同一個中心點的若干鏡面反射生成的群。該些鏡面將球面分割成球面三角形區域。若考克斯特群能以少於三個鏡射生成,則該球面三角形退化,變成球面二角形或半球面。在考克斯特記號,該些群是正四面體對稱、正八面體對稱、正二十面體對稱、二面體對稱。不可約群的鏡面數是,其中是群的考克斯特數,而是反射方向的秩(維數),等於符號的下標。[5]