Теорема Риса о полноте — утверждение функционального анализа о полноте пространства Лебега L 2 ( a , b ) {\displaystyle L_{2}\left(a,b\right)} . Названа по имени венгерского математика Фридьеша Риса , установившего результат.
Каждая последовательность { f n ( x ) } {\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}} функций с интегрируемым на [ a , b ] {\displaystyle \left[a,b\right]} квадратом, сходящаяся в среднем в себе, сходится в среднем к некоторой функции, также принадлежащей пространству L 2 ( a , b ) {\displaystyle L_{2}\left(a,b\right)} .
Пусть задано произвольное ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} . Найдется номер n ϵ {\displaystyle n_{\epsilon }} , такой что ∫ a b { f n + p ( x ) − f n ( x ) } 2 d x < ϵ 2 {\displaystyle \int _{a}^{b}\left\{f_{n+p}(x)-f_{n}(x)\right\}^{2}dx<\epsilon ^{2}} при n ⩾ n ϵ , p > 0 {\displaystyle n\geqslant n_{\epsilon },p>0} . Возьмем ϵ = 1 2 , 1 2 2 , 1 2 3 , . . . , 1 2 k , . . . {\displaystyle \epsilon ={\frac {1}{2}},{\frac {1}{2^{2}}},{\frac {1}{2^{3}}},...,{\frac {1}{2^{k}}},...} и для каждого ϵ = 1 2 k {\displaystyle \epsilon ={\frac {1}{2^{k}}}} подберем соответствующий номер n k {\displaystyle n_{k}} . Можно считать, что n 1 < n 2 < . . . . < n k < . . . {\displaystyle n_{1}<n_{2}<....<n_{k}<...} . Таким образом, ∫ a b { f n + p ( x ) − f n ( x ) } 2 d x < 1 2 2 k {\displaystyle \int _{a}^{b}\left\{f_{n+p}(x)-f_{n}(x)\right\}^{2}dx<{\frac {1}{2^{2k}}}} . Взяв, в частности n = n k , n + p = n k + 1 {\displaystyle n=n_{k},n+p=n_{k+1}} , будем иметь ∫ a b { f n k + 1 ( x ) − f n k ( x ) } 2 d x < 1 2 2 k {\displaystyle \int _{a}^{b}\left\{f_{n_{k+1}}(x)-f_{n_{k}}(x)\right\}^{2}dx<{\frac {1}{2^{2k}}}} . Неравенство Коши — Буняковского даст ∫ a b | f n k + 1 ( x ) − f n k ( x ) | d x = ∫ a b | f n k + 1 ( x ) − f n k ( x ) | ∗ 1 d x ⩽ ∫ a b d x ∫ a b { f n k + 1 ( x ) − f n k ( x ) } 2 d x < b − a ∗ 1 2 k {\displaystyle \int _{a}^{b}\left|f_{n_{k+1}}(x)-f_{n_{k}}(x)\right|dx=\int _{a}^{b}\left|f_{n_{k+1}}(x)-f_{n_{k}}(x)\right|*1dx\leqslant {\sqrt {\int _{a}^{b}dx}}{\sqrt {\int _{a}^{b}\left\{f_{n_{k+1}}(x)-f_{n_{k}}(x)\right\}^{2}dx}}<{\sqrt {b-a}}*{\frac {1}{2^{k}}}} . И поэтому положительный ряд ∫ a b | f n 1 ( x ) | d x + ∑ k = 1 ∞ | f n k + 1 ( x ) − f n k ( x ) | 2 d x {\displaystyle \int _{a}^{b}\left|f_{n_{1}}(x)\right|dx+\sum _{k=1}^{\infty }\left|f_{n_{k+1}}(x)-f_{n_{k}}(x)\right|^{2}dx} сходится, так как его члены не превышают членов сходящегося геометрического ряда. Покажем, что f ( x ) ∈ L 2 ( a , b ) {\displaystyle f(x)\in L_{2}\left(a,b\right)} . Положим в неравенстве ∫ a b { f n + p ( x ) − f n ( x ) } 2 d x < 1 2 2 k {\displaystyle \int _{a}^{b}\left\{f_{n+p}(x)-f_{n}(x)\right\}^{2}dx<{\frac {1}{2^{2k}}}} n = n k {\displaystyle n=n_{k}} а n + p = n m {\displaystyle n+p=n_{m}} , где m > k {\displaystyle m>k} . Получим ∫ a b { f n m ( x ) − f n k ( x ) } 2 d x < 1 2 2 k {\displaystyle \int _{a}^{b}\left\{f_{n_{m}}(x)-f_{n_{k}}(x)\right\}^{2}dx<{\frac {1}{2^{2k}}}} . Пусть m → ∞ {\displaystyle m\rightarrow \infty } .Тогда подынтегральные функции стремятся почти всюду к { f ( x ) − f n k ( x ) } 2 {\displaystyle \left\{f(x)-f_{n_{k}}(x)\right\}^{2}} и в силу их неотрицательности можно применить лемму Фату. Будем иметь ∫ a b { f ( x ) − f n k ( x ) } 2 d x ⩽ sup m > k ∫ a b { f n m ( x ) − f n k ( x ) } 2 d x < 1 2 2 k {\displaystyle \int _{a}^{b}\left\{f(x)-f_{n_{k}}(x)\right\}^{2}dx\leqslant \sup _{m>k}\int _{a}^{b}\left\{f_{n_{m}}(x)-f_{n_{k}}(x)\right\}^{2}dx<{\frac {1}{2^{2k}}}} , то есть f ( x ) ∈ L 2 ( a , b ) {\displaystyle f(x)\in L_{2}\left(a,b\right)} . Теперь неравенство ∫ a b { f ( x ) − f n k ( x ) } 2 d x ⩽ sup m > k ∫ a b { f n m ( x ) − f n k ( x ) } 2 d x < 1 2 2 k {\displaystyle \int _{a}^{b}\left\{f(x)-f_{n_{k}}(x)\right\}^{2}dx\leqslant \sup _{m>k}\int _{a}^{b}\left\{f_{n_{m}}(x)-f_{n_{k}}(x)\right\}^{2}dx<{\frac {1}{2^{2k}}}} показывает, что подпоследовательность { f n k ( x ) } {\displaystyle \left\{f_{n_{k}}(x)\right\}} сходится в среднем к f ( x ) {\displaystyle f(x)} . Докажем, что и вся последовательность { f n ( x ) } {\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}} сходится к той же функции. Согласно неравенству треугольника имеем ‖ f n − f ‖ ⩽ ‖ f n − f n k ‖ + ‖ f n k − f ‖ {\displaystyle \left\|f_{n}-f\right\|\leqslant \left\|f_{n}-f_{n_{k}}\right\|+\left\|f_{n_{k}}-f\right\|} . Для произвольного ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} возьмем сначала k {\displaystyle k} так, чтобы 1 2 2 k < ϵ 2 {\displaystyle {\frac {1}{2^{2k}}}<{\frac {\epsilon }{2}}} . Тогда в силу ∫ a b { f ( x ) − f n k ( x ) } 2 d x ⩽ sup m > k ∫ a b { f n m ( x ) − f n k ( x ) } 2 d x < 1 2 2 k {\displaystyle \int _{a}^{b}\left\{f(x)-f_{n_{k}}(x)\right\}^{2}dx\leqslant \sup _{m>k}\int _{a}^{b}\left\{f_{n_{m}}(x)-f_{n_{k}}(x)\right\}^{2}dx<{\frac {1}{2^{2k}}}} получаем ‖ f n k − f ‖ < ϵ 2 {\displaystyle \left\|f_{n_{k}}-f\right\|<{\frac {\epsilon }{2}}} . Если, кроме того, выбрать n k {\displaystyle n_{k}} настолько большим, чтобы при n ⩾ n k {\displaystyle n\geqslant n_{k}} имело место неравенство ‖ f n − f n k ‖ < ϵ 2 {\displaystyle \left\|f_{n}-f_{n_{k}}\right\|<{\frac {\epsilon }{2}}} , что возможно в силу сходимости в среднем к себе последовательности { f n ( x ) } {\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}} , то будем иметь ‖ f n − f ‖ < ϵ {\displaystyle \left\|f_{n}-f\right\|<\epsilon } при n ⩾ n k {\displaystyle n\geqslant n_{k}} , а это и означает требуемую сходимость.
Соболев В. И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. — М.: Наука, 1968 — стр. 218.