Диагональная матрица — квадратная матрица , все элементы которой, стоящие вне главной диагонали , равны нулю:
D = [ d 11 0 ⋯ 0 0 d 22 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 ⋯ d n n ] {\displaystyle D={\begin{bmatrix}d_{11}&0&\cdots &0\\0&d_{22}&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &d_{nn}\end{bmatrix}}} . Диагональная матрица D {\displaystyle D} с элементами ( d 1 , d 2 , … , d n ) {\displaystyle (d_{1},d_{2},\dots ,d_{n})} , стоящими на главной диагонали, обозначается d i a g { d 1 , d 2 , … , d n } {\displaystyle \mathrm {diag} \,\{d_{1},d_{2},\dots ,d_{n}\}} .
Является одновременно и верхнетреугольной и нижнетреугольной . Диагональная матрица симметрична: D ⊺ = D {\displaystyle D^{\intercal }=D} . Ранг диагональной матрицы равен количеству ненулевых элементов, находящихся на главной диагонали.
Диагональные матрицы можно складывать и перемножать почленно:
d i a g { a 1 , a 2 , … , a n } + d i a g { b 1 , b 2 , … , b n } = d i a g { a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n + b n } {\displaystyle \mathrm {diag} \,\{a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\}+\mathrm {diag} \,\{b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}\}=\mathrm {diag} \,\{a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\dots ,a_{n}+b_{n}\}} ,
d i a g { a 1 , a 2 , … , a n } d i a g { b 1 , b 2 , … , b n } = d i a g { a 1 b 1 , a 2 b 2 , … , a n b n } {\displaystyle \mathrm {diag} \,\{a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\}\mathrm {diag} \,\{b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}\}=\mathrm {diag} \,\{a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},\dots ,a_{n}b_{n}\}} .
Определитель диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов: d e t D = d 11 d 22 … d n n {\displaystyle \mathrm {det} \,D=d_{11}d_{22}\dots d_{nn}} .
Алгебраическое дополнение недиагонального элемента диагональной матрицы равно нулю, то есть:
D i j = { 0 , i ≠ j ∏ i = 1 n − 1 d i i , i = j {\displaystyle D_{ij}={\begin{cases}0,&i\neq j\\\prod \limits _{i=1}^{n-1}d_{ii},&i=j\end{cases}}} . Обратная матрица для диагональной матрицы равна:
D − 1 = [ d 11 − 1 0 ⋯ 0 0 d 22 − 1 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 ⋯ d n n − 1 ] = d i a g { d 11 − 1 , d 22 − 1 , … , d n n − 1 } {\displaystyle D^{-1}={\begin{bmatrix}d_{11}^{-1}&0&\cdots &0\\0&d_{22}^{-1}&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &d_{nn}^{-1}\end{bmatrix}}=\mathrm {diag} \,\{d_{11}^{-1},d_{22}^{-1},\dots ,d_{nn}^{-1}\}} . Диагональными являются нулевая матрица , единичная матрица , скалярная матрица (все элементы главной диагонали равны).
В некоторых случаях недиагональная матрица может быть приведена к диагональному виду путём замены базиса ; достаточным условием является различность всех собственных значений матрицы (в общем случае матрица приводима лишь к жордановой форме ).
Векторы и матрицы
Векторы
Основные понятия Виды векторов Операции над векторами Типы пространств
Матрицы
Другое