Interpretação geométrica da fórmula de Euler. A fórmula de Euler , cujo nome é uma homenagem a Leonhard Euler , é uma fórmula matemática da área específica da análise complexa , que mostra uma relação entre as funções trigonométricas e a função exponencial (a identidade de Euler é um caso especial da fórmula de Euler). A fórmula é dada por:[ 1]
e i x = cos ( x ) + i sen ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos \left(x\right)+{\text{i}}\operatorname {sen} \left(x\right)} , em que:
x é o argumento real (em radianos ); e {\displaystyle e} é a base do logaritmo natural ; i 2 = − 1 {\displaystyle {\text{i}}^{2}=-1} , onde i {\displaystyle {\text{i}}} é a unidade imaginária (número complexo ); sen ( x ) {\displaystyle \operatorname {sen}(x)} e cos ( x ) {\displaystyle \cos(x)} são funções trigonométricas . A relação entre exponencial complexa e funções trigonométricas foi primeiro provada pelo matemático inglês Roger Cotes em 1714 , na forma
ln ( cos x + i sen x ) = i x {\displaystyle \ln(\cos x+{\text{i}}\operatorname {sen} x)={\text{i}}x} em que ln é o logaritmo natural .[ 2]
Com a introdução dos logaritmos pelo matemático e físico escocês John Napier em 1614, um grande estudo a respeito das suas propriedades surgiram, principalmente sobre logaritmos aplicados em pontos negativos. Essa pesquisa foi alavancada no século XVIII pelo matemático suíço Leonhard Euler e seu mentor Johann Bernoulli . Bernoulli acreditava que log ( − x ) = log ( x ) {\displaystyle \log(-x)=\log(x)} e, apesar do receio de Euler frente à essa relação, em uma das suas cartas, Euler constatou que: se log ( x x ) = z ∴ 1 2 z = log ( x x ) {\displaystyle \log(xx)=z\therefore {\frac {1}{2}}z=\log({\sqrt {xx}})} ⟹ 1 2 z = log ( ± x ) {\displaystyle \Longrightarrow {\frac {1}{2}}z=\log(\pm x)} .[ 3]
No entanto, em 1746, em uma troca de cartas à Jean d’Alembert , Euler se mostra contrário à afirmação que log ( − x ) = log ( x ) {\displaystyle \log(-x)=\log(x)} e apresenta uma nova proposta a ser futuramente publicada e que daria origem à equação de Euler .
log ( cos θ + sen θ − 1 ) k = ( k θ ± 2 m k π ± n π ) − 1 {\displaystyle \log(\cos \theta +\operatorname {sen} \theta {\sqrt {-1}})^{k}=(k\theta \pm 2mk\pi \pm n\pi ){\sqrt {-1}}} , em que k ∈ R {\displaystyle k\in \mathbb {R} } e m , n ∈ N {\displaystyle m,n\in \mathbb {N} } . [ 3] Com essa equação, utilizando os valores de 1 para k e 0 para m e n, encontra-se a equação descrita por Roger Cotes em 1714,
log ( cos θ + sen θ − 1 ) = θ − 1 {\displaystyle \log(\cos \theta +\operatorname {sen} \theta {\sqrt {-1}})=\theta {\sqrt {-1}}} e, portanto,
e θ − 1 = cos θ + sen θ − 1 {\displaystyle e^{\theta {\sqrt {-1}}}=\cos \theta +\operatorname {sen} \theta {\sqrt {-1}}} No entanto, essas relações somente seriam oficialmente descritas por Euler em um artigo publicado em 1748 utilizando expansões de série exponenciais e expressões trigonométricas.
O ponto negro representa um número complexo . Seu valor absoluto é "r", a distãncia da origem. Seu argumento é φ, seu ângulo em radianos A função exponencial e i π {\displaystyle e^{i\pi }} pode ser definida como o limite de uma sequência ( 1 + i π n ) n {\displaystyle \left(1+{\frac {i\pi }{n}}\right)^{n}} , quando n tende ao infinito . Nesta animação, "n" assume valores crescentes entre 1 e 100. À medida que n cresce, ( 1 + i π n ) n {\displaystyle \left(1+{\frac {i\pi }{n}}\right)^{n}} se aproxima de -1. Ver artigo principal:
seno Uma propriedade conhecida das funções exponenciais é que elas são iguais às suas derivadas:
d d x e x = e x {\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}e^{x}=e^{x}} , onde "x" é um número real . As funções exponenciais com números complexos também satisfazem esta mesma propriedade[ 4] :
d d z e z = e z {\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}z}}e^{z}=e^{z}} , onde "z" é um número complexo . Portanto, pela regra da cadeia :
d d x e i x = i e i x . {\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}e^{{\text{i}}x}={\text{i}}\,e^{{\text{i}}x}\ .} Então definimos uma nova função , que chamaremos de "f":
f ( x ) = ( cos x − i sen x ) ⋅ e i x . {\displaystyle f(x)=(\cos x-{\text{i}}\operatorname {sen} x)\cdot e^{{\text{i}}x}\ .} Pela regra do produto , que vale também para funções que tenham como imagem números complexos , a derivada de f(x) será::
d d x f ( x ) = ( cos x − i sen x ) ⋅ d d x e i x + d d x ( cos x − i sen x ) ⋅ e i x = ( cos x − i sen x ) ( i e i x ) + ( − sen x − i cos x ) ⋅ e i x = ( i cos x + sen x − sen x − i cos x ) ⋅ e i x = 0 . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}f(x)&=(\cos x-{\text{i}}\operatorname {sen} x)\cdot {\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}e^{{\text{i}}x}+{\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}(\cos x-{\text{i}}\operatorname {sen} x)\cdot e^{{\text{i}}x}\\&=(\cos x-{\text{i}}\operatorname {sen} x)({\text{i}}e^{{\text{i}}x})+(-\operatorname {sen} x-{\text{i}}\cos x)\cdot e^{{\text{i}}x}\\&=({\text{i}}\cos x+\operatorname {sen} x-\operatorname {sen} x-{\text{i}}\cos x)\cdot e^{{\text{i}}x}\\&=0\ .\end{aligned}}} Portanto, f(x) deve ser uma função constante em x. Já que f(0)=1 (o que pode ser facilmente descoberto substituindo-se x por 0 na função ),
1 = ( cos x − i sen x ) ⋅ e i x . {\displaystyle 1=(\cos x-{\text{i}}\operatorname {sen} x)\cdot e^{{\text{i}}x}\ .} Multiplicando os dois lados por cos x + i senx , obtemos
cos x + i sen x = ( cos x + i sen x ) ( cos x − i sen x ) ⋅ e i x = ( cos 2 x − ( i sen x ) 2 ) ⋅ e i x = ( cos 2 x + sen 2 x ) ⋅ e i x = e i x . {\displaystyle {\begin{aligned}\cos x+{\text{i}}\operatorname {sen} x&=(\cos x+{\text{i}}\operatorname {sen} x)(\cos x-{\text{i}}\operatorname {sen} x)\cdot e^{{\text{i}}x}\\&=(\cos ^{2}x-({\text{i}}\operatorname {sen} x)^{2})\cdot e^{{\text{i}}x}\\&=(\cos ^{2}x+\operatorname {sen} ^{2}x)\cdot e^{{\text{i}}x}\\&=e^{{\text{i}}x}\ .\end{aligned}}} Para o estudo da fórmula de Euler necessitamos do conhecimento de expansão em séries de potência. Introduziremos uma grande ferramenta, sem uma análise profunda, que é o seguinte conceito:
A expansão em série de Taylor de uma função analítica f ( x ) {\displaystyle f(x)} centrada em a {\displaystyle a} é representada como:
f ( x ) = ∑ n = o ∞ C n ( x − a ) n {\displaystyle f(x)=\sum _{n=o}^{\infty }{C_{n}}{(x-a)^{n}}} com | x − a | < R {\displaystyle |x-a|<R} , onde
C n = f n ( a ) n ! {\displaystyle C_{n}={\frac {{f^{n}}(a)}{n!}}} Usando esse conceito de expansão e tomando f ( x ) = e x {\displaystyle f(x)=e^{x}} em torno de a = 0 {\displaystyle a=0} , teremos:
e x = ∑ n = 0 ∞ f n ( 0 ) x n n ! = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = 1 + x 1 ! + x 2 2 ! + x 3 3 ! + . . . + x n n ! {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{{f^{n}}(0)}{x^{n}}}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{...}+{\frac {x^{n}}{n!}}} para todo x {\displaystyle x} com intervalo de convergência de ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,\infty )} .
Em x = 1 {\displaystyle x=1} , na equação acima, obtém-se a expressão para o número e {\displaystyle e} , como uma soma de uma série infinita:
e = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! = 1 + 1 1 ! + 1 2 ! + 1 3 ! + . . . {\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{...}} Se admitirmos a validade de substituirmos x {\displaystyle x} por i x {\displaystyle ix} na equação obteremos:
e i x = ∑ n = 0 ∞ ( i x ) n n ! = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ⋅ x 2 n ( 2 n ) ! + i ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 ⋅ x 2 n − 1 ( 2 n − 1 ) ! {\displaystyle e^{{\text{i}}x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {({\text{i}}\,x)^{n}}{n!}}={\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(-1)^{n}}\cdot {x^{2n}}}{(2n)!}}}+{\text{i}}\,{\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{(-1)^{n-1}}\cdot {x^{2n-1}}}{(2n-1)!}}}} A primeira parte da soma da equação anterior ( e i x {\displaystyle e^{ix}} ) é a expansão do c o s ( x ) {\displaystyle cos(x)} e a segunda é a expansão do s e n ( x ) {\displaystyle sen(x)} em série de Maclaurin . Assim teremos a equação que ficou conhecida como fórmula de Euler
e i x = cos ( x ) + i sen ( x ) {\displaystyle e^{{\text{i}}x}=\cos \left(x\right)+{\text{i}}\operatorname {sen} \left(x\right)} que de forma mais generalizada pode ser escrita como:
e i u x = cos ( u x ) + i sen ( u x ) {\displaystyle e^{{\text{i}}ux}=\cos \left(ux\right)+{\text{i}}\operatorname {sen} \left(ux\right)} . Todas as provas exigem uma definição para a função exponencial sobre números complexos. Nesta seção, admite-se que seja válida a seguinte generalização das integrais de números reais:
∫ d x x − k = ln ( x − k ) + c , ∀ k ∈ C {\displaystyle \int {\frac {dx}{x-k}}=\ln(x-k)+c,\forall k\in \mathbb {C} }
Onde "c" é uma constante complexa. Essa integral define implicitamente o logaritmo de números complexos, logo, também define a função exponencial (ao menos, a propriedade da subtração de expoentes).
Sabe-se que a seguinte expressão é válida para todo x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } :
1 x − i − 1 x + i = 2 i x 2 + 1 {\displaystyle {\frac {1}{x-{\text{i}}}}-{\frac {1}{x+{\text{i}}}}={\frac {2{\text{i}}}{x^{2}+1}}}
Ao integrar a expressão acima em ambos os lados, obtém-se:
ln ( x − i x + i ) = 2 i arctan ( x ) + c {\displaystyle \ln \left({\frac {x-{\text{i}}}{x+{\text{i}}}}\right)=2{\text{i}}\arctan(x)+c}
Para alguma constante c ∈ C {\displaystyle c\in \mathbb {C} } . Fazendo a substituição: x = tan ( y 2 ) {\displaystyle x=\tan \left({\frac {y}{2}}\right)} , obtém-se:
ln ( sen ( y 2 ) − i cos ( y 2 ) sen ( y 2 ) + i cos ( y 2 ) ) = i y + c {\displaystyle \ln \left({\frac {\operatorname {sen}({\frac {y}{2}})-{\text{i}}\cos({\frac {y}{2}})}{\operatorname {sen}({\frac {y}{2}})+{\text{i}}\cos({\frac {y}{2}})}}\right)={\text{i}}y+c}
Ou seja:
e i y ⋅ e c = sen ( y 2 ) − i cos ( y 2 ) sen ( y 2 ) + i cos ( y 2 ) = [ sen ( y 2 ) − i cos ( y 2 ) ] 2 sen 2 ( y 2 ) + cos 2 ( y 2 ) = [ sen ( y 2 ) − i cos ( y 2 ) ] 2 = sen 2 ( y 2 ) − cos 2 ( y 2 ) − 2 i sen ( y 2 ) cos ( y 2 ) = − cos ( y ) − i sen ( y ) {\displaystyle e^{{\text{i}}y}\cdot e^{c}={\frac {\operatorname {sen}({\frac {y}{2}})-{\text{i}}\cos({\frac {y}{2}})}{\operatorname {sen}({\frac {y}{2}})+{\text{i}}\cos({\frac {y}{2}})}}={\frac {\left[\operatorname {sen}({\frac {y}{2}})-{\text{i}}\cos({\frac {y}{2}})\right]^{2}}{\operatorname {sen} ^{2}({\frac {y}{2}})+\cos ^{2}({\frac {y}{2}})}}=\left[\operatorname {sen} \left({\frac {y}{2}}\right)-{\text{i}}\cos \left({\frac {y}{2}}\right)\right]^{2}=\operatorname {sen} ^{2}\left({\frac {y}{2}}\right)-\cos ^{2}\left({\frac {y}{2}}\right)-2{\text{i}}\operatorname {sen} \left({\frac {y}{2}}\right)\cos \left({\frac {y}{2}}\right)=-\cos(y)-{\text{i}}\operatorname {sen}(y)}
Agora apliquemos y = 0 {\displaystyle y=0} :
e 0 ⋅ e c = − 1 ⟺ e c = − 1 ∴ e i y = cos ( y ) + i sen ( y ) , ∀ y ∈ R {\displaystyle e^{0}\cdot e^{c}=-1\iff e^{c}=-1\therefore e^{{\text{i}}y}=\cos(y)+{\text{i}}\operatorname {sen}(y),\forall y\in \mathbb {R} }
Se tomarmos como x = π = 3 , 1415.... {\displaystyle x=\pi =3,1415....} , então teremos um importante produto:[ 1]
e i π = − 1 {\displaystyle e^{{\text{i}}\pi }=-1} e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{{\text{i}}\pi }+1=0} Referências ↑ a b SIMON, Carl P., e BLUME, Lawrence. Matemática para Economistas . Porto Alegre: Bookman, 2005. Reimpressão 2008. ISBN 978-85-363-0307-9 . Seção A3.4, páginas 871 e 872. ↑ John Stillwell (2002). Mathematics and Its History. Springer. ↑ a b Klyve, Dominic (2018). «The Logarithm of -1» . Digital commons Ursinus University. Consultado em 3 de dezembro de 2019 ↑ Daniels, Doug. «Complex Differentiation» . Consultado em 15 de maio de 2011