Abraham De Moivre A fórmula de De Moivre afirma que[ 1] :
( cos x + i s e n x ) n = cos ( n x ) + i s e n ( n x ) ∀ x ∈ ℜ ∧ ∀ n ∈ Z {\displaystyle (\cos x+i\mathrm {sen} \,x)^{n}=\cos(nx)+i\mathrm {sen} \,(nx)\,\forall x\in \Re \land \forall n\in Z} Esta fórmula é importante porque estabelece uma ligação entre números complexos (i é a unidade imaginária ) com a trigonometria . A expressão:
cos ( x ) + i s e n ( x ) {\displaystyle \cos \left(x\right)+i\mathrm {sen} \,\left(x\right)} é frequentemente abreviada por:
c i s ( x ) {\displaystyle \mathrm {cis} \left(x\right)} . ainda que a fórmula de Euler seja uma maneira mais comum de a descrever.
Abraham de Moivre foi amigo de Newton ; em 1698 este último escreveu que esta fórmula era do seu conhecimento desde 1676 .
A fórmula de De Moivre pode ser obtida da fórmula de Euler :
e i x = cos ( x ) + i s e n ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos \left(x\right)+i\mathrm {sen} \,\left(x\right)} embora historicamente seja anterior a esta. Ela é um caso particular da expressão mais geral[ 1] :
( | z | ( cos x + i s e n x ) ) n = | z | n ( cos ( n x ) + i s e n ( n x ) ) ∀ x ∈ ℜ ∧ ∀ n ∈ Z {\displaystyle (|z|(\cos x+i\mathrm {sen} x))^{n}=|z|^{n}\left(\cos(nx)+i\mathrm {sen} (nx)\right)\,\forall x\in \Re \land \forall n\in Z} Vamos demonstrar[ 2] a fórmula para n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } por indução e, depois generalizar, não recorrendo à fórmula de Euler. Queremos provar que
z n = ( | z | ( cos x + i s e n x ) ) n = | z | n ( cos ( n x ) + i s e n ( n x ) ) . ∀ x ∈ ℜ {\displaystyle z^{n}=(|z|(\cos x+i\mathrm {sen} x))^{n}=|z|^{n}\left(\cos(nx)+i\mathrm {sen} (nx)\right).\,\forall x\in \Re } , n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } e com z {\displaystyle z} sendo um número complexo.
Para n = 1 {\displaystyle n=1} a identidade é verdadeira, pois tem-se z = | z | ( cos x + i sin x ) {\displaystyle z=|z|\left(\cos x+i\sin x\right)} , que é a representação na forma polar de um número complexo (com r = | z | {\displaystyle r=|z|} e θ = x {\displaystyle \theta =x} ).
Suponhamos agora que a propriedade se verifica para n = k {\displaystyle n=k} e provemos que também o é para n = k + 1 {\displaystyle n=k+1} . Temos:
z k + 1 = z z k = | z | k + 1 ( cos x cos ( k x ) + i ( cos x sin ( k x ) + sin x cos ( k x ) ) − sin x sin ( k x ) ) = | z | k + 1 ( cos ( x ( k + 1 ) ) + i sin ( k ( x + 1 ) ) ) {\displaystyle z^{k+1}=zz^{k}=|z|^{k+1}\left(\cos x\cos(kx)+i(\cos x\sin(kx)+\sin x\cos(kx))-\sin x\sin(kx)\right)=|z|^{k+1}\left(\cos(x(k+1))+i\sin \left(k(x+1)\right)\right)}
Conseguimos provar que a fórmula se verifica, recorrendo às fórmulas cos ( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b {\displaystyle \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b} e sin ( a + b ) = cos a sin b + sin a cos b {\displaystyle \sin(a+b)=\cos a\sin b+\sin a\cos b} .
Queremos agora generalizar para n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } . Para n=0 a propriedade é imediata se convencionarmos z 0 = 1 {\displaystyle z^{0}=1}
Consideremos m = − n ∈ N {\displaystyle m=-n\in \mathbb {N} } . Então:
z n = ( z − 1 ) m = 1 | z | m ( cos − x + i sin − x ) m {\displaystyle z^{n}=(z^{-1})^{m}={\frac {1}{|z|^{m}}}\left(\cos -x+i\sin -x\right)^{m}}
Em que aplicámos propriedades dos complexos relacionadas com a potenciação e o quociente . Repare-se que agora estamos perante − x {\displaystyle -x} e não x {\displaystyle x} . Agora:
1 | z | m ( cos − x + i sin − x ) m = | z | − m ( cos − m x + i s i n − m x ) {\displaystyle {\frac {1}{|z|^{m}}}\left(\cos -x+i\sin -x\right)^{m}=|z|^{-m}\left(\cos -mx+isin-mx\right)}
Aplicámos apenas a fórmula que já demonstrámos para os números naturais, uma vez que, como n {\displaystyle n} é negativo, m {\displaystyle m} é positivo (natural).
Substituindo de volta por n = − m {\displaystyle n=-m} :
z n = | z | n ( cos n x + i sin n x ) , ∀ n ∈ Z {\displaystyle z^{n}=|z|^{n}\left(\cos nx+i\sin nx\right),\forall n\in \mathbb {Z} } , Q.E.D.
Destaque para o facto de a fórmula de De Moivre ser um caso particular para | z | = 1 {\displaystyle |z|=1}
Referências ↑ a b BROWN, J. W.; RUEL, C. V. (2003). Complex Variables and Applications (7.ª edição). McGraw-Hill Science Engineering ISBN 9780072872521 . Páginas 18 a 21. ↑ A demonstração segue em grande parte a demonstração da referência anterior, ainda que seja ligeiramente diferente para evitar recorrer demasiado à fórmula de Euler.