Décomposition de Dunford — Wikipédia

En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, la décomposition de Dunford (ou décomposition de Jordan-Chevalley) s'inscrit dans le contexte de la réduction d'endomorphisme, et prouve que tout endomorphisme u trigonalisable ( semblable à une matrice triangulaire) est la somme d'un endomorphisme diagonalisable d et d'un endomorphisme nilpotent n, les deux endomorphismes d et n commutant et étant uniques.

Cette décomposition a été démontrée une première fois en 1870 par Camille Jordan, puis dans les années 1950 par Claude Chevalley dans le contexte de la théorie des groupes algébriques. Dans le monde francophone, elle est parfois attribuée à tort à Nelson Dunford, dont les travaux sont postérieurs à ceux de Chevalley^[1].

Ce n'est pas une « réduction » dans le sens où elle n'est pas maximale : il est parfois possible de pousser la décomposition en sous-espaces vectoriels stables plus petits.

Elle prend comme hypothèses que l'espace vectoriel est de dimension finie et que le polynôme minimal est scindé, c'est-à-dire qu'il s'exprime comme produit de polynômes du premier degré. Cette seconde hypothèse est toujours vérifiée si le corps est algébriquement clos, comme celui des nombres complexes. Dans le cas où la propriété n'est pas vérifiée, il est possible d'étendre le corps à sa clôture algébrique, et l'espace vectoriel à ce nouveau corps et dans ce contexte d'appliquer la décomposition de Dunford. Par exemple, le corps des nombres réels se voit généralement étendu pour permettre une application de cette décomposition.

Cette décomposition est largement appliquée. Elle permet un calcul matriciel souvent rapide. C'est néanmoins souvent sous la forme de la réduction de Jordan qu'elle est utilisée.

Théorème[modifier | modifier le code]

Le théorème de diagonalisabilité permet de déterminer la structure de u quand il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples. La décomposition de Dunford s'applique à un cas plus général.

Théorème de la décomposition de Dunford^[2] — Un endomorphisme u d'un espace vectoriel de dimension finie admet un polynôme minimal scindé si et seulement s'il peut s'écrire sous la forme u = d + n avec d un endomorphisme diagonalisable et n un endomorphisme nilpotent tels que d et n commutent (c'est-à-dire dn = nd). De plus, d et n sont alors des polynômes en u et sont uniques.

Cas d'applications[modifier | modifier le code]

En dimension finie, le théorème de Cayley-Hamilton assure que $\chi _{u}(u)=0$ où $\chi _{u}$ désigne le polynôme caractéristique de u. Si $\chi _{u}$ est scindé alors u est décomposable.

C'est en particulier le cas pour tout endomorphisme d'un espace de dimension finie sur un corps algébriquement clos ( $\mathbb {C}$ notamment).

Réduction de Jordan[modifier | modifier le code]

La décomposition de Dunford, combinée avec la décomposition de Frobenius des endomorphismes nilpotents, permet d'obtenir la réduction de Jordan en dimension finie. En effet, d et n commutent donc les sous-espaces propres de d sont stables par n.

La restriction de n au sous-espace propre admet une matrice formée de blocs de Jordan nilpotents ce qui donne, en ajoutant λI_p, des blocs de Jordan pour d + n dans une base adaptée. Ainsi, on obtient une matrice diagonale par blocs formée de blocs de Jordan en utilisant la réunion de ces bases.

Notes[modifier | modifier le code]

↑ Matthieu Romagny, « La décomposition de Dunford », sur www.lebesgue.fr, 19 janvier 2016 (consulté le 24 janvier 2023)
↑ Pour une démonstration, voir par exemple le chapitre correspondant sur Wikiversité.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Décomposition de Dunford, sur Wikiversity

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Rached Mneimné, Réduction des endomorphismes, Calvage et Mounet, 2006, 398 p. (ISBN 978-2-91635201-5)
Alaeddine Ben Rhouma, Autour de la décomposition de Dunford. Théorie spectrale et méthodes effectives, CreateSpace Independent Publishing Platform, 2013, 38 p. (ISBN 978-1492343080)

Portail de l’algèbre

[1] Matthieu Romagny, « La décomposition de Dunford », sur www.lebesgue.fr, 19 janvier 2016 (consulté le 24 janvier 2023)

[2] Pour une démonstration, voir par exemple le chapitre correspondant sur Wikiversité.

[1]

[2]

v · m Algèbre linéaire générale
Vecteur Scalaire Combinaison linéaire Espace vectoriel Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice Famille libre (indépendance linéaire) Base Théorème de la base incomplète Théorème de la dimension pour les espaces vectoriels Rang Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel Somme de Minkowski Somme directe Sous-espace supplémentaire Dimension Codimension Droite Plan Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire Noyau Conoyau Lemme des noyaux Pseudo-inverse Théorème de factorisation Théorème du rang Équation linéaire Système d'équations linéaires Élimination de Gauss-Jordan Forme linéaire Espace dual Orthogonalité Base duale Endomorphisme linéaire Valeur propre, vecteur propre et espace propre Projecteur Symétrie Matrice diagonalisable Diagonalisation Endomorphisme nilpotent
Dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie Trace Déterminant Polynôme caractéristique Polynôme d'endomorphisme Théorème de Cayley-Hamilton Polynôme minimal d'un endomorphisme Invariants de similitude Réduction d'endomorphisme Réduction de Jordan Décomposition de Dunford Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme Produit scalaire Forme quadratique Espace vectoriel topologique Orientation Algèbre sur un corps Algèbre de Lie Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices Représentation de groupe Analyse fonctionnelle Algèbre multilinéaire Module sur un anneau