Conoyau — Wikipédia

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En mathématiques, le conoyau d'un morphisme f : X → Y (par exemple un homomorphisme entre groupes ou bien un opérateur borné entre espaces de Hilbert) est la donnée d'un objet Q et d'un morphisme q : Y → Q tel que le morphisme composé ${\displaystyle q\circ f}$ soit le morphisme nul, et de plus Q est, en un certain sens, le plus "gros" objet possédant cette propriété. Souvent l'application q est sous-entendue, et Q est lui-même appelé conoyau de f.

Les conoyaux sont les duaux des noyaux des catégories, d'où le nom.

En de nombreux cas d'algèbre générale, tel que les groupes abéliens, les espaces vectoriels ou les modules, le conoyau d'un homomorphisme f : X → Y est le quotient de Y par l'image de f autrement dit, ${\displaystyle \mathrm {coker} f=Y/\mathrm {im} (f)}$ . Dans un contexte topologique, comme pour un opérateur linéaire borné entre deux espaces de Hilbert, il faut prendre l'adhérence de l'image avant de passer au quotient.

Voir aussi l'article court Conoyau d'une application linéaire.

Définition formelle[modifier | modifier le code]

On peut définir le conoyau dans le contexte général de la théorie des catégories, plus précisément des catégories abéliennes, où l'on a la notion de morphisme nul. Le conoyau d'un morphisme f : X → Y est défini comme le coégaliseur de f et du morphisme nul 0_XY : X → Y.

De manière explicite, cela se traduit de la manière suivante. Le conoyau de f : X → Y est un objet Q pris avec un morphisme q : Y → Q tel que le diagramme

commute. De plus, le morphisme q doit être universel pour ce diagramme, c'est-à-dire que n'importe quel autre morphisme q′: Y → Q′ peut être obtenu en composant q avec un unique morphisme u : Q → Q′ :

Comme toutes les constructions universelles, le conoyau, s'il existe, est unique à un isomorphisme près, ou plus précisément: si q : Y → Q et q‘ : Y → Q‘ sont deux conoyaux de f : X → Y, alors il existe un unique isomorphisme u : Q → Q‘ avec q‘ = u q.

Comme tous les coégaliseurs, le conoyau q : Y → Q est nécessairement un épimorphisme. À l'inverse, un épimorphisme est dit conormal (en) s'il est le conoyau d'un morphisme. Une catégorie est appelée conormale si chaque épimorphisme est conormal.

Note[modifier | modifier le code]

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cokernel » (voir la liste des auteurs).

v · m Algèbre linéaire générale
Vecteur Scalaire Combinaison linéaire Espace vectoriel Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice Famille libre (indépendance linéaire) Base Théorème de la base incomplète Théorème de la dimension pour les espaces vectoriels Rang Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel Somme de Minkowski Somme directe Sous-espace supplémentaire Dimension Codimension Droite Plan Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire Noyau Conoyau Lemme des noyaux Pseudo-inverse Théorème de factorisation Théorème du rang Équation linéaire Système d'équations linéaires Élimination de Gauss-Jordan Forme linéaire Espace dual Orthogonalité Base duale Endomorphisme linéaire Valeur propre, vecteur propre et espace propre Projecteur Symétrie Matrice diagonalisable Diagonalisation Endomorphisme nilpotent
Dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie Trace Déterminant Polynôme caractéristique Polynôme d'endomorphisme Théorème de Cayley-Hamilton Polynôme minimal d'un endomorphisme Invariants de similitude Réduction d'endomorphisme Réduction de Jordan Décomposition de Dunford Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme Produit scalaire Forme quadratique Espace vectoriel topologique Orientation Algèbre sur un corps Algèbre de Lie Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices Représentation de groupe Analyse fonctionnelle Algèbre multilinéaire Module sur un anneau

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