Constante de De Bruijn-Newman — Wikipédia

La constante de De Bruijn-Newman, notée Λ, est une constante mathématique définie par les zéros d'une certaine fonction H(λ,z), où λ est un paramètre réel et z est une variable complexe : H(λ,z) n'a que des zéros réels si et seulement si λ ≥ Λ.

Depuis 2020, il est démontré que 0 ≤ Λ ≤ 0,2.

La constante est intimement reliée à l'hypothèse de Riemann sur les zéros de la fonction zêta de Riemann. En bref, l'hypothèse de Riemann est équivalente à la conjecture suivante : Λ ≤ 0. Si l'hypothèse de Riemann est vraie, alors Λ = 0.

Expressions analytiques particulières de H[modifier | modifier le code]

La fonction H(λ,z) est par définition la transformée de Fourier de exp(λx²)Φ(x) :

${\displaystyle H(\lambda ,z)=\int _{0}^{\infty }e^{\lambda u^{2}}\Phi (u)\cos(zu)\ du}$

où ${\displaystyle \Phi }$ est la fonction à décroissance rapide définie par

${\displaystyle \Phi (u)=\sum _{n=1}^{\infty }(2\pi ^{2}n^{4}e^{9u}-3\pi n^{2}e^{5u})\exp(-\pi n^{2}e^{4u})}$

• H(0,x) = ξ(1/2+ix), où ξ désigne la fonction xi de Riemann

${\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)\zeta (s)}$

• H a la représentation de Wiener-Hopf :
  • pour λ ≥ 0, ${\displaystyle \xi (1/2+{\rm {i}}z)=A{\frac {\sqrt {\pi }}{\lambda }}\int _{-\infty }^{\infty }{\rm {e}}^{-(x-z)^{2}/(4\lambda )}H(\lambda ,x){\rm {d}}x}$
  • pour λ < 0,

${\displaystyle H(z,\lambda )={\frac {B{\sqrt {\pi }}}{\lambda }}\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left({\frac {-1}{4\lambda }}(x-z)^{2}\right)\xi (1/2+ix)\,dx,}$ avec ${\textstyle z\in \mathbb {C} }$ et ${\textstyle \lambda \in \mathbb {R} }$

où A et B sont des constantes réelles.

Recherche et approximation de Λ[modifier | modifier le code]

Majorant[modifier | modifier le code]

Nicolaas Govert de Bruijn en 1950 a montré que Λ ≤ 1/2.

Cette borne supérieure n'a pas été améliorée jusqu'en 2008, quand Ki, Kim et Lee ont démontré que Λ < 1/2, rendant l'inégalité stricte^[1].

En 2018, le 15^e projet Polymath a démontré que 0 ≤ Λ ≤ 0,22^[2]. En 2020, la borne supérieure a été réduite à 0,2 par Dave Platt et Tim Trudgian^[3].

Minorant[modifier | modifier le code]

Charles Michael Newman (en) a conjecturé que 0 ≤ Λ.

D'imposants calculs sur Λ ont été faits depuis 1987 et sont encore menés à l'heure actuelle :

La démonstration en janvier 2018 que 0 ≤ Λ confirme donc la conjecture de Newman.

Références[modifier | modifier le code]

• (en) N. G. de Bruijn, « The roots of trigonometric integrals », Duke Mathematical Journal, vol. 17, n^o 3,‎ septembre 1950, p. 197–226 (DOI 10.1215/S0012-7094-50-01720-0, MR 0037351, lire en ligne).
• (en) C. M. Newman, « Fourier transforms with only real zeros », Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 61, n^o 2,‎ décembre 1976, p. 245–251 (DOI 10.1090/S0002-9939-1976-0434982-5, MR 0434982).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

• Table de constantes mathématiques

Lien externe[modifier | modifier le code]

• (en) Eric W. Weisstein, « de Bruijn–Newman Constant », sur MathWorld

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