آونگ دوتایی - ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

در فیزیک و ریاضیات، در حوزه سامانه‌های پویا، یک آونگ دوتایی یا آونگ دوگانه (به انگلیسی: Double pendulum) آونگی است که آونگ دیگری به انتهای آن متصل است و یک سامانه فیزیکی ساده را تشکیل می‌دهد که رفتار دینامیکی غنی با حساسیت قوی به شرایط اولیه از خود نشان می‌دهد.^[۱] حرکت یک آونگ دوتایی توسط مجموعه ای از معادلات دیفرانسیل معمولی جفت‌شده کنترل می‌شود و آشوبناک است.

تحلیل و تفسیر[ویرایش]

استفاده از زوایای بین هر بازو و عمود آن به‌عنوان مختصات تعمیم‌یافته که پیکربندی دستگاه را تعریف می‌کند راحت است. این زوایا θ₁ و θ₂ نشان داده می‌شوند. موقعیت مرکز جرم هر میله ممکن است برحسب این دو مختصات نوشته شود. اگر مبدأ دستگاه مختصات دکارتی را در نقطه تعلیق اولین آونگ در نظر بگیریم، مرکز جرم این آونگ در زیر است:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {l}{2}}\sin \theta _{1}\\y_{1}&=-{\frac {l}{2}}\cos \theta _{1}\end{aligned}}}$$

و مرکز جرم آونگ دوم است در

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}&=l\left(\sin \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}\sin \theta _{2}\right)\\y_{2}&=-l\left(\cos \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}\cos \theta _{2}\right)\end{aligned}}}$$

این اطلاعات برای نوشتن لاگرانژی کافی است.

لاگرانژی[ویرایش]

لاگرانژی است

$${\displaystyle {\begin{aligned}L&={\text{kinetic energy}}-{\text{potential energy}}\\&={\tfrac {1}{2}}m\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}m\left({{\dot {x}}_{1}}^{2}+{{\dot {y}}_{1}}^{2}+{{\dot {x}}_{2}}^{2}+{{\dot {y}}_{2}}^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\end{aligned}}}$$

عبارت اول انرژی جنبشی خطی مرکز جرم جسم‌ها و جمله دوم انرژی جنبشی دورانی حول مرکز جرم هر میله است. آخرین عبارت انرژی پتانسیل اجسام در یک میدان گرانشی یکنواخت است. علامت نقطه نشان دهنده مشتق زمانی متغیر مورد نظر است.

با جایگزینی مختصات بالا و مرتب‌کردن مجدد معادله به دست می‌آید

${\displaystyle L={\tfrac {1}{6}}ml^{2}\left({{\dot {\theta }}_{2}}^{2}+4{{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+3{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right)+{\tfrac {1}{2}}mgl\left(3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}\right).}$

تنها یک کمیت پایسته (انرژی) وجود دارد و هیچ گشتاور پایسته وجود ندارد. دو گشتاور تعمیم یافته ممکن است به صورت نوشته شود

$${\displaystyle {\begin{aligned}p_{\theta _{1}}&={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}_{1}}}}={\tfrac {1}{6}}ml^{2}\left(8{{\dot {\theta }}_{1}}+3{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right)\\p_{\theta _{2}}&={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}_{2}}}}={\tfrac {1}{6}}ml^{2}\left(2{{\dot {\theta }}_{2}}+3{{\dot {\theta }}_{1}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right).\end{aligned}}}$$

این عبارات ممکن است برای بدست‌آوردن وارون شوند

$${\displaystyle {\begin{aligned}{{\dot {\theta }}_{1}}&={\frac {6}{ml^{2}}}{\frac {2p_{\theta _{1}}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{2}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}-\theta _{2})}}\\{{\dot {\theta }}_{2}}&={\frac {6}{ml^{2}}}{\frac {8p_{\theta _{2}}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{1}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}-\theta _{2})}}.\end{aligned}}}$$

معادلات حرکت باقیمانده نوشته می‌شوند به صورت

$${\displaystyle {\begin{aligned}{{\dot {p}}_{\theta _{1}}}&={\frac {\partial L}{\partial \theta _{1}}}=-{\tfrac {1}{2}}ml^{2}\left({{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+3{\frac {g}{l}}\sin \theta _{1}\right)\\{{\dot {p}}_{\theta _{2}}}&={\frac {\partial L}{\partial \theta _{2}}}=-{\tfrac {1}{2}}ml^{2}\left(-{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+{\frac {g}{l}}\sin \theta _{2}\right).\end{aligned}}}$$

این چهار معادله آخر فرمول‌های صریحی برای تکامل زمانی سامانه با توجه به وضعیت فعلی آن هستند. نمی‌توان جلوتر رفت و این معادلات را با یک عبارت به شکل بسته یکپارچه‌سازی کرد تا فرمول‌های θ۱ و θ۲ را به عنوان تابعی از زمان به دست آورد.^{[نیازمند منبع]} با این حال، می‌توان این یکپارچه‌سازی را به صورت عددی با استفاده از روش رونگه‐کوتا یا فنونی مشابه انجام داد.

حرکت آشوبناک[ویرایش]

آونگ دوتایی دستخوش حرکت آشوبناکی می‌شود و وابستگی حساسی به شرایط اولیه نشان می‌دهد. تصویر سمت راست مقدار زمان سپری شده قبل از چرخش آونگ را به عنوان تابعی از موقعیت اولیه هنگام رهاشدن درحالت سکون را نشان می‌دهد. در اینجا، محدوده θ₁ در امتداد جهت x از ۳٫۱۴- تا ۳٫۱۴ متغیر است. محدوده اولیه θ₂ در امتداد جهت y، از ۳٫۱۴- تا ۳٫۱۴ متغیر است. رنگ هر پیکسل نشان می‌دهد که آیا هر کدام از آونگ‌ها در داخل وارانه می‌شوند:

• ${\displaystyle {\sqrt {\frac {l}{g}}}}$ (سیاه)
• ${\displaystyle 10{\sqrt {\frac {l}{g}}}}$ (قرمز)
• ${\displaystyle 100{\sqrt {\frac {l}{g}}}}$ (سبز)
• ${\displaystyle 1000{\sqrt {\frac {l}{g}}}}$ (آبی) یا
• ${\displaystyle 10000{\sqrt {\frac {l}{g}}}}$ (رنگ بنفش).

شرایط اولیه که منجر به وارون درونی نمی‌شود ${\textstyle 10000{\sqrt {\frac {l}{g}}}}$ به رنگ سفید ترسیم شده‌اند.

مرز ناحیه سفید مرکزی تا حدی با پایستارش انرژی (به انگلیسی: energy conservation) با منحنی زیر مشخص می‌شود:

$${\displaystyle 3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}=2.}$$

داخل ناحیه‌ای که توسط این منحنی تعریف شده، که است اگر

$${\displaystyle 3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}>2,}$$

جستارهای وابسته[ویرایش]

• آونگ دوتایی وارون
• آونگ (مکانیک)
• کتاب‌های درسی فیزیک اواسط قرن بیستم از اصطلاح «آونگ مضاعف» به معنای یک شاقول منفرد آویزان شده از یک ریسمان استفاده می‌کنند که به نوبه خود از یک رشته V-شکل آویزان است. این نوع آونگ که منحنی‌های لیساژور را ایجاد می‌کند، اکنون به عنوان آونگ بلکبرن شناخته می‌شود.

یادداشت[ویرایش]

منابع[ویرایش]

پیوند به بیرون[ویرایش]

• شبیه‌سازی جاوا اسکریپت فیزیکی متن باز تعاملی با معادلات دقیق آونگ دوتایی
• شبیه‌سازی تعاملی جاوا اسکریپت آونگ دوتایی
• شبیه‌سازی فیزیک آونگ دوتایی از www.myphysicslab.com با استفاده از کد منبع باز جاوا اسکریپت
• شبیه‌سازی، معادلات و توضیح آونگ روت
• مقایسه ویدیوهای یک آونگ دوتایی با همان شرایط شروع اولیه در یوتیوب
• شبیه‌ساز دو آونگ - یک شبیه‌ساز منبع باز که در ++C با استفاده از کیت ابزار کیوت نوشته شده‌است.
• شبیه‌ساز آنلاین جاوا بایگانی‌شده در ۱۶ اوت ۲۰۲۲ توسط Wayback Machine نمایش ایمیجنری.