有理数 - 维基百科，自由的百科全书

数学上，可以表达为两个整数比的数（${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$, ${\displaystyle b\neq 0}$）被定义为有理数，例如${\displaystyle {\frac {3}{8}}}$，0.75(可被表达为${\displaystyle {\frac {3}{4}}}$)；整数和整数分数统称为有理数。

与有理数相對的是无理数，如${\displaystyle {\sqrt {2}}}$无法用整数比表示。

有理数与分數形式的区别，分數形式是一种表示比值的记法，如 分數形式${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$是无理数。
所有有理数的集合表示为Q，Q+,或${\displaystyle \mathbb {Q} }$。定义如下：

${\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}:m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\right\}}$

有理数的小数部分有限或为循环。不是有理數的實數遂稱為無理數。

词源[编辑]

有理数在英文中称作rational number，来自拉丁语rationalis，意为理性的；词根ratio，拉丁语意为理性、计算。^[1]代表“比例”的英文ratio一词在历史上出现得要比有理数（rational number）一词更晚，前者最早有记录是1660，而后者是1570年。^[2][3]

运算[编辑]

有理数集对加、减、乘、除四则运算是封闭的，亦即有理數加、减、乘、除有理數的結果仍為有理數。有理数的加法和乘法如下：

${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}\,\ \ \ \ \ \ {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}}$

两个有理数${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$和${\displaystyle {\frac {c}{d}}}$相等当且仅当${\displaystyle ad=bc}$

有理数中存在加法和乘法的逆：

${\displaystyle -\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}\,\ \ \ \ \ \ \ \ a\neq 0}$时，${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}}$

古埃及分数[编辑]

古埃及分数是分子为1、分母为正整数的有理数。每个有理数都可以表达为有限个两两不等的古埃及分数的和。例如：

${\displaystyle {\frac {5}{7}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{21}}}$

对于给定的正有理数，存在无穷多种表达成有限个两两不等的古埃及分数之和的方法。

形式构建[编辑]

数学上可以将有理数定义为建立在整数的有序对上${\displaystyle \left(a,b\right)}$的等价类，这里${\displaystyle b,d}$不为零。我们可以对这些有序对定义加法和乘法，规则如下：

${\displaystyle \left(a,b\right)+\left(c,d\right)=\left(ad+bc,bd\right)}$

${\displaystyle \left(a,b\right)\times \left(c,d\right)=\left(ac,bd\right)}$

为了使${\displaystyle {\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}}$，定义等价关系${\displaystyle \sim }$如下：

${\displaystyle \left(a,b\right)\sim \left(c,d\right){\mbox{ iff }}ad=bc}$

这种等价关系与上述定义的加法和乘法上是一致的，而且可以将Q定义为整数有序对关于等价关系~的商集：${\displaystyle \mathbb {Q} =\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} -\{0\})/\sim }$。例如：两个对${\displaystyle (a,b)}$和${\displaystyle (c,d)}$是相同的，如果它们满足上述等式。（这种构建可用于任何整数环，参见商域。）

定義大小[编辑]

Q上的大小可以定义为：

${\displaystyle \left(a,b\right)\leq \left(c,d\right)}$当且仅当

1. ${\displaystyle bd>0}$并且${\displaystyle ad\leq bc}$
2. ${\displaystyle bd<0}$并且${\displaystyle ad\geq bc}$

然後${\displaystyle x<y}$是指${\displaystyle x\leq y}$但${\displaystyle y\nleq x}$。亦可在“小于”概念之上引入“大于”的概念，即：${\displaystyle a<b}$当且仅当${\displaystyle b>a}$。此排序中，每一对有理数${\displaystyle a,b}$之间皆可比較，必有且仅有以下关系之一：

${\displaystyle a=b}$，${\displaystyle a>b}$，${\displaystyle a<b}$。

又滿足传递性：若${\displaystyle a<b}$，且${\displaystyle b<c}$，则${\displaystyle a<c}$。所以以上定義的大小關係是全序关系。

有理數集的序還滿足稠密性（英语：dense order）：若${\displaystyle a<b}$，则必存在有理数${\displaystyle c}$，满足${\displaystyle a<c}$，且${\displaystyle c<b}$。^[4]

性质[编辑]

集合${\displaystyle \mathbb {Q} }$，以及上述的加法和乘法运算，构成域，即整数${\displaystyle \mathbb {Z} }$的商域。

有理数是特征为0的域最小的一个：所有其他特征为0的域都包含${\displaystyle \mathbb {Q} }$的一个拷贝（即存在一个从${\displaystyle \mathbb {Q} }$到其中的同构映射）。

${\displaystyle \mathbb {Q} }$的代数闭包，例如有理数多项式的根的域，是代数数域。

所有有理数的集合是可数的，亦即是說${\displaystyle \mathbb {Q} }$的基數（或勢）與自然數集合${\displaystyle \mathbb {N} }$相同，都是阿列夫數${\displaystyle \aleph _{0}}$，這是因為可以定義一個從有理數集${\displaystyle \mathbb {Q} }$映至自然數集合的笛卡爾積 ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$的單射函數，而${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$是可數集合之故。因为所有实数的集合是不可数的，所以从勒贝格测度来看，可以认为绝大多数实数不是有理数。

有理数的序是个稠密序（英语：dense order）：任何两个有理数之间存在另一个有理数，事实上是存在无穷多个。此外，有理數集也沒有最大和最小元素，所以是無端點的可數稠密全序（dense linear order without endpoints）。康托爾同構定理（英语：Cantor's isomorphism theorem）說明，任何無端點的可數稠密全序必定序同構於有理數的序，換言之，若不辨同構之異，則有理數的大小序是唯一具此性質的序結構。

实数[编辑]

有理数是实数的稠密子集：每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是，僅有理数可化為有限连分数。

依照它们的序列，有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的（稠密）子集，因此它同时具有一个子空间拓扑。采用度量${\displaystyle d\left(x,y\right)=|x-y|}$，有理数构成一个度量空间，这是${\displaystyle \mathbb {Q} }$上的第三个拓扑。幸运的是，所有三个拓扑一致并将有理数转化到一个拓扑域。有理数是非局部紧致空间的一个重要的实例。这个空间也是完全不连通的。有理数不构成完备的度量空间；实数是${\displaystyle \mathbb {Q} }$的完备集。

p进数[编辑]

除了上述的绝对值度量，还有其他的度量将${\displaystyle \mathbb {Q} }$转化到拓扑域：

设${\displaystyle p}$是素数，对任何非零整数${\displaystyle a}$设${\displaystyle |a|_{p}=p^{-n}}$，这里${\displaystyle p^{n}}$是整除${\displaystyle a}$的${\displaystyle p}$的最高次幂；

另外${\displaystyle |0|_{p}=0}$。对任何有理数${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$，设${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|_{p}={\frac {|a|_{p}}{|b|_{p}}}}$。

则${\displaystyle d_{p}\left(x,y\right)=|x-y|_{p}}$在${\displaystyle \mathbb {Q} }$上定义了一个度量。

度量空间${\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,d_{p}\right)}$不完备，它的完备集是p进数域${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$。

参见[编辑]

• 浮点数
• 尼云定理

参考文献[编辑]

查 论 编 代數數 代數整數 切比雪夫节点（英语：Chebyshev nodes） 規矩數 康威常数 分圆域 艾森斯坦整数 高斯整數 黃金比例（φ） 佩龍數（英语：Perron number） 皮索数 二次無理數 有理数 单位根 塞勒姆數（英语：Salem number） 白銀比例（δS） 2的算术平方根 3的算术平方根 5的算术平方根 6的算术平方根（英语：Square root of 6） 7的算术平方根（英语：Square root of 7） 倍立方 2的12次方根 数学主题