拋物線坐標系的綠色的 σ {\displaystyle \sigma } 等值曲線和紅色的 τ {\displaystyle \tau } 等值曲線。横軸與縱軸分別為 x-軸與 y-軸。 拋物線坐標系 (英語:Parabolic coordinates )是一種二維正交坐標系 ,兩個坐標的等值曲線都是共焦的拋物線 。將二維的拋物線坐標系繞著拋物線 的對稱軸旋轉,則可以得到三維的拋物線坐標系。
實際上,拋物線坐標可以應用在許多物理問題。例如,斯塔克效應 (Stark effect ),物體邊緣的位勢論 ,以及拉普拉斯-龍格-冷次向量 的保守性 。
直角坐標 ( x , y ) {\displaystyle (x,\ y)} 可以用二維拋物線坐標 ( σ , τ ) {\displaystyle (\sigma ,\ \tau )} 表示為
x = ± σ τ {\displaystyle x=\pm \,\sigma \tau } 、 y = 1 2 ( τ 2 − σ 2 ) {\displaystyle y={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)} ; 其中, σ ≥ 0 {\displaystyle \sigma \geq 0} , τ ≥ 0 {\displaystyle \tau \geq 0} 。
反算回來,二維拋物線坐標 ( σ , τ ) {\displaystyle (\sigma ,\ \tau )} 可以用直角坐標 ( x , y ) {\displaystyle (x,\ y)} 表示為
σ = − y + x 2 + y 2 {\displaystyle \sigma ={\sqrt {-y+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}} 、 τ = y + x 2 + y 2 {\displaystyle \tau ={\sqrt {y+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}} 。 坐標 σ {\displaystyle \sigma } 為常數的曲線形成共焦的,凹性 向上的(往 +y-軸)拋物線 :
2 y = x 2 σ 2 − σ 2 {\displaystyle 2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}} , 而坐標 τ {\displaystyle \tau } 為常數的曲線形成共焦的,凹性 向下的(往 -y-軸)拋物線 :
2 y = − x 2 τ 2 + τ 2 {\displaystyle 2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}} 。 這些拋物線的焦點的位置都在原點。
拋物線坐標 ( σ , τ ) {\displaystyle (\sigma ,\ \tau )} 的標度因子相等:
h σ = h τ = σ 2 + τ 2 {\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}} 。 因此,面積的無窮小元素是
d A = ( σ 2 + τ 2 ) d σ d τ {\displaystyle dA=\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)d\sigma d\tau } 。 拉普拉斯算子 是
∇ 2 Φ = 1 σ 2 + τ 2 ( ∂ 2 Φ ∂ σ 2 + ∂ 2 Φ ∂ τ 2 ) {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right)} 。 其它微分算子,像 ∇ ⋅ F {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} } , ∇ × F {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} } ,都可以用 ( σ , τ ) {\displaystyle (\sigma ,\ \tau )} 坐標表示,只要將標度因子代入在正交坐標系 條目內的一般公式。
三維拋物線坐標的坐標曲面 。紅色的拋物曲面的坐標 τ = 2 {\displaystyle \tau =2} 。藍色的拋物曲面的坐標 σ = 1 {\displaystyle \sigma =1} 。黃色的半平面的坐標 ϕ = − 60 ∘ {\displaystyle \phi =-60^{\circ }} 。三個面相交於點 P = ( 1.0 , − 1.732 , 1.5 ) {\displaystyle \mathbf {P} =(1.0,-1.732,1.5)} (以黑色小球表示)。 將二維的拋物線坐標系繞著拋物線 的對稱軸旋轉,則可以得到三維的拋物線坐標系,又稱為旋轉拋物線坐標系 。將對稱軸與 z-軸排列成同直線;而拋物線坐標系的共焦點與直角坐標系的原點同地點。直角坐標 ( x , y , z ) {\displaystyle (x,\ y,\ z)} 可以用三維拋物線坐標 ( σ , τ , ϕ ) {\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )} 表示為
x = σ τ cos ϕ {\displaystyle x=\sigma \tau \cos \phi } 、 y = σ τ sin ϕ {\displaystyle y=\sigma \tau \sin \phi } 、 z = 1 2 ( τ 2 − σ 2 ) {\displaystyle z={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)} ; 其中, σ ≥ 0 {\displaystyle \sigma \geq 0} , τ ≥ 0 {\displaystyle \tau \geq 0} ,方位角 ϕ {\displaystyle \phi } 定義為
tan ϕ = y x , 0 ≤ ϕ ≤ 2 π {\displaystyle \tan \phi ={\frac {y}{x}},\qquad 0\leq \phi \leq 2\pi } 。 反算回來,三維拋物線坐標 ( σ , τ , ϕ ) {\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )} 可以用直角坐標 ( x , y , z ) {\displaystyle (x,\ y,\ z)} 表示為
σ = − z + x 2 + y 2 + z 2 {\displaystyle \sigma ={\sqrt {-z+{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}}} 、 τ = z + x 2 + y 2 + z 2 {\displaystyle \tau ={\sqrt {z+{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}}} 、 ϕ = tan − 1 y x {\displaystyle \phi =\tan ^{-1}{\frac {y}{x}}} 。 每一個 σ {\displaystyle \sigma } -坐標曲面都是共焦的,凹性向上的(往 +z-軸)拋物曲面 :
2 z = x 2 + y 2 σ 2 − σ 2 {\displaystyle 2z={\frac {x^{2}+y^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}} , 而每一個 τ {\displaystyle \tau } >-坐標曲面都是共焦的,凹性向下的(往 -z-軸)拋物曲面 :
2 z = − x 2 + y 2 τ 2 + τ 2 {\displaystyle 2z=-{\frac {x^{2}+y^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}} 。 這些拋物曲面的焦點的位置都在原點。
三維標度因子為:
h σ = σ 2 + τ 2 {\displaystyle h_{\sigma }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}} 、 h τ = σ 2 + τ 2 {\displaystyle h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}} 、 h ϕ = σ τ {\displaystyle h_{\phi }=\sigma \tau \,} 。 我們可以觀察出,標度因子 h σ {\displaystyle h_{\sigma }} , h τ {\displaystyle h_{\tau }} 與二維標度因子相同。因此,體積的無窮小元素是
d V = h σ h τ h ϕ = σ τ ( σ 2 + τ 2 ) d σ d τ d ϕ {\displaystyle dV=h_{\sigma }h_{\tau }h_{\phi }=\sigma \tau \left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)\,d\sigma \,d\tau \,d\phi } 。 拉普拉斯算子 是
∇ 2 Φ = 1 σ 2 + τ 2 [ 1 σ ∂ ∂ σ ( σ ∂ Φ ∂ σ ) + 1 τ ∂ ∂ τ ( τ ∂ Φ ∂ τ ) ] + 1 σ 2 τ 2 ∂ 2 Φ ∂ ϕ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left[{\frac {1}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left(\sigma {\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\frac {1}{\tau }}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left(\tau {\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right]+{\frac {1}{\sigma ^{2}\tau ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}} 。 其它微分算子,像 ∇ ⋅ F {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} } , ∇ × F {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} } ,都可以用 ( σ , τ , ϕ ) {\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )} 坐標表示,只要將標度因子代入在正交坐標系 條目內的一般公式。
另外還有一種拋物線坐標系的表述,專門用於哈密頓-亞可比方程式 。假若使用此種表述的公式,則哈密頓-亞可比方程式可以很容易的分解出來。應用此方法,可以導引出拉普拉斯-龍格-冷次向量 的恆定性.
採用下述從拋物線坐標變換至直角坐標的公式:
η = − z + x 2 + y 2 + z 2 {\displaystyle \eta ={-z+{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}} 、 ξ = z + x 2 + y 2 + z 2 {\displaystyle \xi ={z+{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}} 、 ϕ = arctan y x {\displaystyle \phi =\arctan {y \over x}} 。 假若 ϕ = 0 {\displaystyle \phi =0} ,則可得到一片截面;其坐標被限制於 x ≥ 0 {\displaystyle x\geq 0} 的 +xz-半平面:
η = − z + x 2 + z 2 {\displaystyle \eta =-z+{\sqrt {x^{2}+z^{2}}}} 、 ξ = z + x 2 + z 2 {\displaystyle \xi =z+{\sqrt {x^{2}+z^{2}}}} 。 假若包含於一條曲線的每一點的坐標 η {\displaystyle \eta } 是一個常數, η = c {\displaystyle \eta =c} ,則
z | η = c = x 2 2 c − c 2 {\displaystyle \left.z\right|_{\eta =c}={x^{2} \over 2c}-{c \over 2}} 。 這是一個共焦點在原點的拋物線;對稱軸與 z-軸同軸;凹性向上。
假若包含於一條曲線的每一點的坐標 ξ {\displaystyle \xi } 是一個常數, ξ = b {\displaystyle \xi =b} ,則
z | ξ = b = b 2 − x 2 2 b {\displaystyle \left.z\right|_{\xi =b}={b \over 2}-{x^{2} \over 2b}} 。 這也是一個共焦點在原點的拋物線;對稱軸與 z-軸同軸;凹性向下。
思考任何一條向上的拋物線 η = c {\displaystyle \eta =c} 與任何一條向下的拋物線 ξ = b {\displaystyle \xi =b} ,我們想要求得兩條曲線的相交點:
x 2 2 c − c 2 = b 2 − x 2 2 b {\displaystyle {x^{2} \over 2c}-{c \over 2}={b \over 2}-{x^{2} \over 2b}} 。 稍微計算,可得
x = b c {\displaystyle x={\sqrt {bc}}} 。 將相交點的横坐標 x {\displaystyle x} 代入向上的拋物線的公式,
z c = b c 2 c − c 2 = b − c 2 {\displaystyle z_{c}={bc \over 2c}-{c \over 2}={b-c \over 2}} 。 所以,相交點 P 坐標為 ( b c , b − c 2 ) {\displaystyle \left({\sqrt {bc}},\ {b-c \over 2}\right)} 。
思考正切這兩條拋物線於點 P 的一對切線。向上的拋物線的切線的斜率為
d z c d x = x c = b c = s c {\displaystyle {\frac {dz_{c}}{dx}}={\frac {x}{c}}={\sqrt {\frac {b}{c}}}=s_{c}} 。 向下的拋物線的切線的斜率為
d z b d x = − x b = − c b = s b {\displaystyle {dz_{b} \over dx}=-{x \over b}=-{\sqrt {c \over b}}=s_{b}} 。 兩個斜率的乘積為
s c s b = − 1 {\displaystyle s_{c}s_{b}=-1} 。 所以,兩條切線相垂直。對於任何兩條凹性相反的拋物線,都會有同樣的結果。
假設 ϕ ≠ 0 {\displaystyle \phi \neq 0} 。讓 ϕ {\displaystyle \phi } 值從 0 {\displaystyle 0} 緩慢增值,這半平面會相應地繞著 z-軸按照右手定則 旋轉;拋物線坐標為常數的拋物線 形成了拋物曲面。一對相反的拋物曲面的相交 設定了一個圓圈。而 ϕ {\displaystyle \phi } 值設定的半平面,切過這圓圈於一個唯一點。這唯一點的直角坐標是[ 1] :
x = η ξ cos ϕ {\displaystyle x={\sqrt {\eta \xi }}\ \cos \phi } 、 y = η ξ sin ϕ {\displaystyle y={\sqrt {\eta \xi }}\ \sin \phi } 、 z = 1 2 ( ξ − η ) {\displaystyle z={\frac {1}{2}}(\xi -\eta )} 。
Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 660. ISBN 0-07-043316-X . Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: pp. 185–186. Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 180. Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967: p. 96. Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 114. ISBN 0-86720-293-9 . Moon P, Spencer DE. Parabolic Coordinates (μ, ν, ψ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer-Verlag. 1988: pp. 34–36 (Table 1.08). ISBN 978-0387184302 .