偏近點角 (Eccentricity Anomaly) 是在軌道 上的天體現在的位置投影在垂直於橢圓半長軸的外接圓上,並從橢圓的中心量度和近拱點 (periapsis )方向之間的角度。在下圖中的標示為E(角zcx)。
用於本文的變數 在太空動力學 ,偏近點角E 可以由下式計算得到:
E = arccos 1 − | r | / a e {\displaystyle E=\arccos {{1-\left|\mathbf {r} \right|/a} \over e}} 此處:
r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 是軌道上天體的位置向量 。(線段sp ), a {\displaystyle a\,\!} 是軌道的半長軸 (線段cz ),和 e {\displaystyle e\,\!} 是軌道的離心率 。 對平近點角 M ,E 和M 的關係是:
M = E − e ⋅ sin E . {\displaystyle M=E-e\cdot \sin {E}.\,\!} 這個方程式可以重新解出,從 E 0 = M {\displaystyle E_{0}=M} 開始,並使用 E i + 1 = M + e sin E i {\displaystyle E_{i+1}=M+e\,\sin E_{i}} 的關係。
將這個方程式的 e {\displaystyle e} 以級數 展開,當 e < 0.6627434 {\displaystyle e<0.6627434} 時,最初的幾項是:
E 1 = M + e sin M {\displaystyle E_{1}=M+e\,\sin M} E 2 = M + e sin M + 1 2 e 2 sin 2 M {\displaystyle E_{2}=M+e\,\sin M+{\frac {1}{2}}e^{2}\sin 2M} E 3 = M + e sin M + 1 2 e 2 sin 2 M + 1 8 e 3 ( 3 sin 3 M − sin M ) {\displaystyle E_{3}=M+e\,\sin M+{\frac {1}{2}}e^{2}\sin 2M+{\frac {1}{8}}e^{3}(3\sin 3M-\sin M)} . 還有其他更有效率的解決方法,可以作為推導的參考(參見Murray and Dermott ,1999, p.35),詳細的推導過程和 e {\displaystyle e} 在數學上的極限值可以參考Plummer (1960, section 46)。
對真近點角 T ,E 和T 的關係是:
cos T = cos E − e 1 − e ⋅ cos E {\displaystyle \cos {T}={{\cos {E}-e} \over {1-e\cdot \cos {E}}}} 或相等於
tan T 2 = 1 + e 1 − e tan E 2 . {\displaystyle \tan {T \over 2}={\sqrt {{1+e} \over {1-e}}}\tan {E \over 2}.\,} 半徑(位置向量大小)和近點角的關係是:
r = a ( 1 − e ⋅ cos E ) {\displaystyle r=a\left(1-e\cdot \cos {E}\right)\,\!} 和
r = a ( 1 − e 2 ) ( 1 + e ⋅ cos T ) . {\displaystyle r=a{(1-e^{2}) \over (1+e\cdot \cos {T})}.\,\!} 相關條目 [ 编辑 ] 參考資料 [ 编辑 ] Murray, C. D. & Dermott, S. F. 1999, Solar System Dynamics , Cambridge University Press, Cambridge. Plummer, H.C., 1960, An Introductory treatise on Dynamical Astronomy , Dover Publications, New York. (Reprint of the 1918 Cambridge University Press edition.)