Графік функції мас імовірності. Всі значення цієї функції мусять бути невід'ємними, і давати в сумі 1. Функція ймовірностей у теорії ймовірностей — найпоширеніший спосіб охарактеризувати дискретний розподіл .
Функція довільної імовірності [ ред. | ред. код ] Нехай P {\displaystyle \mathbb {P} } є ймовірнісною мірою на R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , тобто визначений ймовірнісний простір ( R n , B ( R n ) , P ) {\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}),\mathbb {P} \right)} , де B ( R n ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})} позначає борелівську σ {\displaystyle \sigma } -алгебру на R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} .
Визначення 1. Ймовірнісна міра називається дискретною, якщо її носій P {\displaystyle \mathbb {P} } є не більш, ніж зліченним, тобто існує не більш, ніж зліченна підмножина X ⊂ R n {\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}} така, що P ( X ) = 1 {\displaystyle \mathbb {P} (X)=1} .
Визначення 2. Функція p : R n → [ 0 , 1 ] {\displaystyle p:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]} , визначена в такий спосіб:
p ( x ) = { P ( { x } ) , x ∈ X 0 , x ∈ R n ∖ X {\displaystyle p(x)=\left\{{\begin{matrix}\mathbb {P} (\{x\}),&x\in X\\0,&x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus X\end{matrix}}\right.} називається функцією ймовірності P {\displaystyle \mathbb {P} } .
Функція ймовірності випадкової величини [ ред. | ред. код ] Визначення 3. Нехай X : Ω → R n {\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}} — випадкова величина (випадковий вектор ). Тоді вона індукує ймовірнісну міру P X {\displaystyle \mathbb {P} ^{X}} на R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , що називається розподілом. Випадкова величина називається дискретною, якщо її розподіл дискретний. Функція ймовірності p X {\displaystyle p_{X}} випадкової величини X {\displaystyle X} має вид:
p X ( x ) = P X ( { x } ) ≡ P ( X = x ) {\displaystyle p_{X}(x)=\mathbb {P} ^{X}(\{x\})\equiv \mathbb {P} (X=x)} . чи коротше
p X ( x i ) = P ( X = x i ) = p i , i ∈ N {\displaystyle p_{X}(x_{i})=\mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i},\;i\in \mathbb {N} } , де X = { x 1 , x 2 , x 3 , … } ⊂ R n {\displaystyle X=\{x_{1},x_{2},x_{3},\ldots \}\subset {\mathbb {R} ^{n}}} .
Властивості функції ймовірності [ ред. | ред. код ] З властивостей імовірності очевидно випливає:
p X ( x i ) ⩾ 0 , ∀ i ∈ N {\displaystyle p_{X}(x_{i})\geqslant 0,\;\forall i\in \mathbb {N} } . ∑ i = 1 ∞ p X ( x i ) = 1 {\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }p_{X}(x_{i})=1} . Функція розподілу випадкової величини може бути виражена через її функцію імовірності: F X ( x ) = ∑ x ′ ⩽ x p X ( x ′ ) {\displaystyle F_{X}(x)=\sum \limits _{x'\leqslant x}p_{X}(x')} . Якщо X = ( X 1 , X 2 ) {\displaystyle X=(X_{1},X_{2})} , те ∑ x 2 p X 1 , X 2 ( x 1 , x 2 ) = p X 1 ( x 1 ) {\displaystyle \sum \limits _{x_{2}}p_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})=p_{X_{1}}(x_{1})} , ∑ x 1 p X 1 , X 2 ( x 1 , x 2 ) = p X 2 ( x 2 ) {\displaystyle \sum \limits _{x_{1}}p_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})=p_{X_{2}}(x_{2})} , де p X 1 , X 2 {\displaystyle p_{X_{1},X_{2}}} — функція імовірності вектора ( X 1 , X 2 ) {\displaystyle (X_{1},X_{2})} , а p X i {\displaystyle p_{X_{i}}} - функція імовірності величини X i , i = 1 , 2 {\displaystyle X_{i},\;i=1,2} . Це властивість очевидна узагальнюється для випадкових векторів розмірності n > 2 {\displaystyle n>2} .
E [ g ( X ) ] = ∑ i = 1 n g ( x i ) p i {\displaystyle \mathbb {E} [g(X)]=\sum \limits _{i=1}^{n}g(x_{i})\,p_{i}} , за умови що ряд у правій частині є абсолютно збіжним .
Приклади дискретних розподілів [ ред. | ред. код ]