Формула Фейнмана — Каца — Вікіпедія

Формула Фейнмана-Каца, названа на честь Річарда Фейнмана і Марка Каца — формула взаємозв'язку між рівняннями частинних похідних і стохастичними процесами. З допомогою цієї формули можна розв'язувати певні типи РЧП за допомогою симуляції траєкторій стохастичних процесів. Навпаки, стохастичні рівняння частинних похідних можна розв'язувати методами звичайних РЧП без залучення стохастичних методів.

Формулювання[ред. | ред. код]

Нехай маємо РЧП:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+\mu (x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=0}$

і умову

${\displaystyle \ f(x,T)=\psi (x)}$

де ${\displaystyle \mu ,\ \sigma ,\ \psi }$ - відомі функції, ${\displaystyle \ T}$ — параметр і ${\displaystyle \ f}$ невідома функція. Це рівняння відоме під назвою рекурентне рівняння Колмогорова (одновимірне). Тоді формула Фейнмана-Каца полягає в тому, що розв'язок цієї задачі записується як математичне сподівання:

${\displaystyle \ f(x,t)=E[\psi (X_{T})|X_{t}=x]}$

де ${\displaystyle \ X}$ — процес Іто, що описується рівнянням

${\displaystyle dX=\mu (X,t)\,dt+\sigma (X,t)\,dW,}$

де ${\displaystyle \ W(t)}$ — Вінерівський процес (іноді можна зустріти назву Броунівський рух) і початкова умова для ${\displaystyle \ X(t)}$ є ${\displaystyle \ X(0)=x}$. Це математичне сподівання можна обчислити (наближено з певною точністю) використовуючи Метод Монте-Карло чи квазі Монте-Карло методи.

Доведення[ред. | ред. код]

Застосувавши лему Іто до невідомого процесу ${\displaystyle \displaystyle f(X_{t},t)}$ можна отримати

${\displaystyle df=\left(\mu (x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)\,dt+\sigma (x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}\,dW.}$

Вираз у перших дужках є РЧП згадане вище і тому цей вираз рівний нулю за припущенням. Тепер проінтегрувавши обидві частини рівняння отримаємо

${\displaystyle f(X_{T},T)-f(x,t)=\int _{t}^{T}df=\int _{t}^{T}\sigma (x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}\,dW.}$

Після тривіальних перетворень візьмемо математичне сподівання обидвох частин рівності:

${\displaystyle f(x,t)={\textrm {E}}\left[f(X_{T},T)\right]-{\textrm {E}}\left[\int _{t}^{T}\sigma (x,t){\frac {\partial f}{\partial x}}\,dW\right].}$

Оскільки матсподівання інтеграла Іто по Вінерівському процесі ${\displaystyle \displaystyle W}$ дорівнює нулю отримаємо бажаний результат:

${\displaystyle f(x,t)={\textrm {E}}\left[f(X_{T},T)\right]={\textrm {E}}\left[\psi (X_{T})\right]={\textrm {E}}\left[\psi (X_{T})|X_{t}=x\right].}$

Див. також[ред. | ред. код]

• Лема Іто
• Теорема Куніта-Ватанабе
• Теорема Ґірсанова
• Рекурентне рівняння Колмогорова

Література[ред. | ред. код]

• Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения. — М. : Мир, 2003. — 408 с.
• Protter P. E. Stochastic Integration and Differential Equations. — Springer, 2005.
• Simon B. Functional Integration and Quantum Physics. — Academic Press, 1979.