Геометричне представлення z {\displaystyle z} та його спряженого z ¯ {\displaystyle {\bar {z}}} на комплексній площині Спря́женими числами (також комплексно-спря́женими числами ) називаються два комплексні числа , які мають таку саму дійсну частину та протилежні за знаком уявні частини[1] . Наприклад, спряженими є числа 3 + 4i та 3 − 4i. Число спряжене до числа z {\displaystyle z\!} позначається z ¯ {\displaystyle {\overline {z}}} . У загальному випадку, спряженим до числа z {\displaystyle z}
z = a + i b , {\displaystyle z=a+ib,\,} де a {\displaystyle a} та b {\displaystyle b} — дійсні числа , є
z ¯ = a − i b . {\displaystyle {\overline {z}}=a-ib.\,} Наприклад,
( 3 − 2 i ) ¯ = 3 + 2 i {\displaystyle {\overline {(3-2i)}}=3+2i} 7 ¯ = 7 {\displaystyle {\overline {7}}=7} i ¯ = − i . {\displaystyle {\overline {i}}=-i.} На комплексній площині спряжені числа представлені точками, симетричними відносно дійсної осі. У полярній системі координат спряжені числа мають вигляд r e i ϕ {\displaystyle re^{i\phi }} та r e − i ϕ {\displaystyle re^{-i\phi }} , що безпосередньо випливає з формули Ейлера .
Спряженими числами є корені квадратного рівняння з дійсними коефіцієнтами та від'ємним дискримінантом.
Для довільних комплексних чисел z {\displaystyle z} та w {\displaystyle w} :
( z ± w ) ¯ = z ¯ ± w ¯ {\displaystyle {\overline {(z\pm w)}}={\overline {z}}\pm {\overline {w}}\!\ } ( z w ) ¯ = z ¯ w ¯ {\displaystyle {\overline {(zw)}}={\overline {z}}\;{\overline {w}}\!\ } z ¯ = z ⇔ z {\displaystyle {\overline {z}}=z\Leftrightarrow z} є дійсним числом z n ¯ = z ¯ n {\displaystyle {\overline {z^{n}}}={\overline {z}}^{n}} для всіх цілих n {\displaystyle n} | z ¯ | = | z | {\displaystyle \left|{\overline {z}}\right|=\left|z\right|} | z | 2 = z z ¯ = z ¯ z {\displaystyle {\left|z\right|}^{2}=z{\overline {z}}={\overline {z}}z} z ¯ ¯ = z {\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z\!\ } , (тобто, спряження є інволюцією ) z − 1 = z ¯ | z | 2 {\displaystyle z^{-1}={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}}} , якщо z не дорівнює нулю. За допомогою цієї властивості обчислюють обернене комплексного числа заданого у прямокутних координатах. Якщо ϕ {\displaystyle \phi \,} є голоморфною функцією , звуження якої на множину дійсних чисел є дійсною функцією, та визначено ϕ ( z ) {\displaystyle \phi (z)\,} , то ϕ ( z ¯ ) = ϕ ( z ) ¯ . {\displaystyle \phi ({\overline {z}})={\overline {\phi (z)}}.\,\!} Зокрема: exp ( z ¯ ) = exp ( z ) ¯ {\displaystyle \exp({\overline {z}})={\overline {\exp(z)}}\,\!} log ( z ¯ ) = log ( z ) ¯ {\displaystyle \log({\overline {z}})={\overline {\log(z)}}\,\!} , якщо z не дорівнює нулю. Якщо p {\displaystyle p} — поліном з дійсними коефіцієнтами і p ( z ) = 0 {\displaystyle p(z)=0\!\,} , то також p ( z ¯ ) = 0 {\displaystyle p({\overline {z}})=0} . Отже, комплексні (не дійсні) корені таких поліномів завжди утворюють комплексно-спряжені пари. Визначення координат числа та спряження [ ред. | ред. код ] Прямокутні та полярні координати комплексного числа можуть бути визначені за допомогою формул:
x = Re ( z ) = ( z + z ¯ ) / 2 {\displaystyle x=\operatorname {Re} \,(z)=(z+{\overline {z}})/2} y = Im ( z ) = ( z − z ¯ ) / 2 i {\displaystyle y=\operatorname {Im} \,(z)=(z-{\overline {z}})/2i} ρ = | z | = z ⋅ z ¯ {\displaystyle \rho =\left|z\right|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}}} e i θ = z / | z | = e i arg z = z / z ¯ {\displaystyle e^{i\theta }=z/\left|z\right|=e^{i\arg z}={\sqrt {z/{\overline {z}}}}} (якщо z не дорівнює нулю).