Поліноми Ерміта (англ. Hermite polynomials ) — ортогональні поліноми , що використовуються в теорії ймовірностей , математичній фізиці при розв'язку рівняння дифузії , чисельному аналізі та квантовій механіці (як власні функції квантового гармонічного осцилятора ). Названі на честь французького математика Шарля Ерміта , який ввів[1] їх в 1864 році.
Графіки поліномів Ерміта порядку n = 0 , 1 , . . . , 5 {\displaystyle n=0,1,...,5} Поліномами Ерміта називається послідовність поліномів H n ( x ) {\displaystyle H_{n}(x)} , n = 0 , 1 , . . . {\displaystyle n=0,1,...} , що задовольняють співвідношенню: e t x − t 2 2 = ∑ n = 0 ∞ H n ( x ) t n n ! {\displaystyle e^{tx-{\frac {t^{2}}{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}} , з якого випливає H n ( x ) = ( − 1 ) n e x 2 2 d n d x n ( e − x 2 2 ) {\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{\frac {x^{2}}{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\right)} . Таке означення здебільшого використовується в теорії ймовірностей . У фізиці (здебільшого в квантовій механіці ) використовують наступне означення: H n ∗ ( x ) = ( − 1 ) n e x 2 d n d x n ( e − x 2 ) {\displaystyle H_{n}^{*}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-{x^{2}}}\right)} . Зв'язок між «фізичними» та «ймовірнісними» поліномами Ерміта здійснюється через наступне рівняння:
H n ∗ ( x ) = 2 n 2 H n ( 2 x ) {\displaystyle H_{n}^{*}(x)=2^{\frac {n}{2}}H_{n}({\sqrt {2}}x)} . В цій статті будуть використовуватися «ймовірнісні» поліноми (якщо не зазначено інше).
Явні вирази перших одинадцяти поліномів Ерміта мають такий вигляд:
H 0 ( x ) = 1 {\displaystyle H_{0}(x)=1\,} H 1 ( x ) = x {\displaystyle H_{1}(x)=x\,} H 2 ( x ) = x 2 − 1 {\displaystyle H_{2}(x)=x^{2}-1\,} H 3 ( x ) = x 3 − 3 x {\displaystyle H_{3}(x)=x^{3}-3x\,} H 4 ( x ) = x 4 − 6 x 2 + 3 {\displaystyle H_{4}(x)=x^{4}-6x^{2}+3\,} H 5 ( x ) = x 5 − 10 x 3 + 15 x {\displaystyle H_{5}(x)=x^{5}-10x^{3}+15x\,} H 6 ( x ) = x 6 − 15 x 4 + 45 x 2 − 15 {\displaystyle H_{6}(x)=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15\,} H 7 ( x ) = x 7 − 21 x 5 + 105 x 3 − 105 x {\displaystyle H_{7}(x)=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x\,} H 8 ( x ) = x 8 − 28 x 6 + 210 x 4 − 420 x 2 + 105 {\displaystyle H_{8}(x)=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105\,} H 9 ( x ) = x 9 − 36 x 7 + 378 x 5 − 1260 x 3 + 945 x {\displaystyle H_{9}(x)=x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x\,} H 10 ( x ) = x 10 − 45 x 8 + 630 x 6 − 3150 x 4 + 4725 x 2 − 945 {\displaystyle H_{10}(x)=x^{10}-45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{2}-945\,} Загальний вираз для поліномів Ерміта має вигляд H n ( x ) = ∑ j = 0 [ n / 2 ] ( − 1 ) j 2 j n ! j ! ( n − 2 j ) ! x n − 2 j = x n − n ( n − 1 ) 2 x n − 2 + 1 4 n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ( n − 3 ) 2 x n − 4 − … , {\displaystyle H_{n}(x)=\sum _{j=0}^{[n/2]}{\frac {(-1)^{j}}{2^{j}}}{\frac {n!}{j!(n-2j)!}}x^{n-2j}=x^{n}-{\frac {n(n-1)}{2}}x^{n-2}+{\frac {1}{4}}{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2}}x^{n-4}-\ldots ,}
Поліном H n ( x ) {\displaystyle H_{n}(x)} містить члени лише тієї ж парності, що й саме число n {\displaystyle n} :
H 2 n ( − x ) = H 2 n ( x ) , H 2 n + 1 ( − x ) = − H 2 n + 1 ( x ) , n = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle H_{2n}(-x)=H_{2n}(x),~~H_{2n+1}(-x)=-H_{2n+1}(x),~~~n=0,1,2,\ldots } .
При x = 0 {\displaystyle x=0} мають місце такі співвідношення:
H 2 n ( 0 ) = ( − 1 ) n 2 n ( 2 n ) ! n ! , H 2 n + 1 = 0 , n = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle H_{2n}(0)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}}}{\frac {(2n)!}{n!}},~~H_{2n+1}=0,~~~n=0,1,2,\ldots } .
Рівняння H n ( x ) = 0 {\displaystyle H_{n}(x)=0} має n {\displaystyle n} дійсних коренів, що є попарно симетричними відносно початку системи координат і модуль жодного з них не перевищує величини n ( n − 1 ) / 2 {\displaystyle {\sqrt {n(n-1)/2}}} . Корені полінома H n ( x ) = 0 {\displaystyle H_{n}(x)=0} чергуються з коренями полінома H n + 1 ( x ) = 0 {\displaystyle H_{n+1}(x)=0} .
Поліном H n ( x ) {\displaystyle H_{n}(x)} можна представити у вигляді визначника матриці n × n {\displaystyle n\times n} :
H n ( x ) = | x n − 1 0 0 ⋯ 0 1 x n − 2 0 ⋯ 0 0 1 x n − 3 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 0 0 ⋯ x | {\displaystyle H_{n}(x)=\left|{\begin{array}{cccccc}x&n-1&0&0&\cdots &0\\1&x&n-2&0&\cdots &0\\0&1&x&n-3&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&0&0&\cdots &x\end{array}}\right|}
Має місце наступна формула додавання поліномів Ерміта:
( a 1 2 + a 2 2 + ⋯ + a n 2 ) μ 2 μ ! H μ [ a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ a n x n a 1 2 + a 2 2 + ⋯ + a n 2 ] = ∑ m 1 + ⋯ + m n = μ a 1 m 1 m 1 ! ⋯ a n m n m n ! H m 1 ( x 1 ) ⋯ H m n ( x n ) . {\displaystyle {\frac {(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2})^{\frac {\mu }{2}}}{\mu !}}H_{\mu }\left[{\frac {a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots a_{n}x_{n}}{\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}}}\right]=\sum _{m_{1}+\cdots +m_{n}=\mu }{\frac {a_{1}^{m_{1}}}{m_{1}!}}\cdots {\frac {a_{n}^{m_{n}}}{m_{n}!}}H_{m_{1}}(x_{1})\cdots H_{m_{n}}(x_{n})~.} Частковими випадками такої формули є такі:
a 1 = a 2 = ⋯ = a n = 1 {\displaystyle a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=1} , x 1 = x 2 = ⋯ = x n {\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}} . Тоді n μ 2 H μ ( n x ) = ∑ m 1 + ⋯ + m n = μ μ ! m 1 ! ⋯ m n ! H m 1 ( x ) ⋯ H m n ( x ) {\displaystyle n^{\frac {\mu }{2}}H_{\mu }({\sqrt {n}}x)=\sum _{m_{1}+\cdots +m_{n}=\mu }{\frac {\mu !}{m_{1}!\cdots m_{n}!}}H_{m_{1}}(x)\cdots H_{m_{n}}(x)} . n = 2 {\displaystyle n=2} , a 1 = a 2 = 1 {\displaystyle a_{1}=a_{2}=1} , x 1 = 2 x , x 2 = 2 y {\displaystyle x_{1}={\sqrt {2}}x,~x_{2}={\sqrt {2}}y} . Тоді 2 μ H μ ( x + y ) = ∑ p + q + r + s = μ μ ! p ! q ! r ! s ! H p ( x ) H q ( x ) H r ( x ) H s ( x ) {\displaystyle 2^{\mu }H_{\mu }(x+y)=\sum _{p+q+r+s=\mu }{\frac {\mu !}{p!~q!~r!~s!}}H_{p}(x)H_{q}(x)H_{r}(x)H_{s}(x)} . Диференціювання та рекурентні співвідношення [ ред. | ред. код ] Похідна k {\displaystyle k} -го порядку від полінома Ерміта H n ( x ) {\displaystyle H_{n}(x)} , n ≥ k {\displaystyle n\geq k} також є поліномом Ерміта: d k d x k H n ( x ) = n ( n − 1 ) ⋯ ( n − k + 1 ) H n − k ( x ) , {\displaystyle {\frac {d^{k}}{dx^{k}}}H_{n}(x)=n(n-1)\cdots (n-k+1)H_{n-k}(x)~,} звідки випливає співвідошення для першої похідної H n ′ ( x ) = d H n ( x ) d x = n H n − 1 ( x ) {\displaystyle H'_{n}(x)={\frac {dH_{n}(x)}{dx}}=nH_{n-1}(x)} та рекурентне співвідношення між трьома послідовними поліномами:
H n ( x ) − x H n − 1 ( x ) + ( n − 1 ) H n − 2 ( x ) = 0 , n ≥ 2 {\displaystyle H_{n}(x)-xH_{n-1}(x)+(n-1)H_{n-2}(x)=0~,~~n\geq 2}
Поліноми Ерміта утворюють повну ортогональну систему на інтервалі ] − ∞ , + ∞ [ {\displaystyle ]-\infty ,+\infty [} з вагою e − x 2 / 2 {\displaystyle e^{-x^{2}/2}\,\!} :
∫ − ∞ ∞ H n ( x ) H m ( x ) e − x 2 / 2 d x = n ! 2 π δ n m {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)\,e^{-x^{2}/2}\,dx=n!{\sqrt {2\pi }}~\delta _{\mathit {nm}}} , де δ m n {\displaystyle \delta _{mn}} — дельта-символ Кронекера .
Важливим наслідком ортогональності поліномів Ерміта є можливість розкладу різних функцій в ряди по поліномах Ерміта. Для будь-якого невід'ємного цілого p {\displaystyle p} справедливий запис
x p p ! = ∑ k = 0 k ≤ p / 2 1 2 k 1 k ! ( p − 2 k ) ! H p − 2 k ( x ) . {\displaystyle {\frac {x^{p}}{p!}}=\sum _{k=0}^{k\leq p/2}{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {1}{k!(p-2k)!}}H_{p-2k}(x).}
З нього випливає зв'язок між коефіцієнтами розкладу функції в ряд Маклорена f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n x n {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}} та коефіцієнтами розкладу цієї ж функції по поліномах Ерміта, f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ A n H n ( x ) {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }A_{n}H_{n}(x)} , що носять назву співвідношень Нільса Нільсона:
A n = 1 n ! ∑ k = 0 ∞ 1 2 k ( n + 2 k ) ! k ! a n + 2 k , a n = 1 n ! ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k 2 k ( n + 2 k ) ! k ! A n + 2 k {\displaystyle A_{n}={\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {(n+2k)!}{k!}}a_{n+2k},~~~a_{n}={\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2^{k}}}{\frac {(n+2k)!}{k!}}A_{n+2k}}
Наприклад, розклад функції Куммера матиме такий вигляд:
1 F 1 ( α , γ ; x ) = ∑ n = 0 ∞ ( α , n ) ( γ , n ) ( 1 , n ) 2 F 2 ( α + n 2 , α + n + 1 2 ; γ + n 2 , γ + n + 1 2 ; 1 2 ) H n ( x ) , ( a , b ) ≡ Γ ( a + b ) Γ ( a ) , {\displaystyle {}_{1}F_{1}(\alpha ,\gamma ;x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha ,n)}{(\gamma ,n)(1,n)}}{}_{2}F_{2}\left({\frac {\alpha +n}{2}},{\frac {\alpha +n+1}{2}};{\frac {\gamma +n}{2}},{\frac {\gamma +n+1}{2}};{\frac {1}{2}}\right)H_{n}(x),~~~(a,b)\equiv {\frac {\Gamma (a+b)}{\Gamma (a)}},}
де 2 F 2 ( a 1 , a 2 ; b 1 , b 2 ; x ) {\displaystyle {}_{2}F_{2}(a_{1},a_{2};b_{1},b_{2};x)} — узагальнена гіпергеометрична функція другого порядку, Γ ( x ) {\displaystyle \Gamma (x)} — гамма-функція .
Розклад функцій, що містять експоненту .
Для будь-якої функції, що записується як суперпозиція експонент f ( x ) = ∑ k = 1 p c k e α k x , {\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{p}c_{k}e^{\alpha _{k}x},} можна записати наступний розклад по поліномах Ерміта: f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ A n H n ( x ) , A n = 1 n ! ∑ k = 1 p c k α k n e α k 2 2 . {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }A_{n}H_{n}(x)~,~~~A_{n}={\frac {1}{n!}}\sum _{k=1}^{p}c_{k}\alpha _{k}^{n}e^{\frac {\alpha _{k}^{2}}{2}}~.}
Зокрема розклади відомих гіперболічних та тригонометричних функцій мають вигляд
cosh t x = e t 2 2 ∑ n = 0 ∞ t 2 n ( 2 n ) ! H 2 n ( x ) , sinh t x = e t 2 2 ∑ n = 0 ∞ t 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! H 2 n + 1 ( x ) , {\displaystyle \cosh {tx}=e^{\frac {t^{2}}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{2n}}{(2n)!}}H_{2n}(x),~~~\sinh {tx}=e^{\frac {t^{2}}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{2n+1}}{(2n+1)!}}H_{2n+1}(x),} cos t x = e − t 2 2 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n t 2 n ( 2 n ) ! H 2 n ( x ) , sin t x = e − t 2 2 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n t 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! H 2 n + 1 ( x ) , {\displaystyle \cos {tx}=e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {t^{2n}}{(2n)!}}H_{2n}(x),~~~\sin {tx}=e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {t^{2n+1}}{(2n+1)!}}H_{2n+1}(x),} Формула Кристоффеля-Дарбу для поліномів Ерміта має вигляд
∑ i = 0 n H i ( x ) H i ( y ) i ! 2 i = 1 n ! 2 n + 1 H n ( y ) H n + 1 ( x ) − H n ( x ) H n + 1 ( y ) x − y . {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\frac {H_{i}(x)H_{i}(y)}{i!2^{i}}}={\frac {1}{n!2^{n+1}}}{\frac {H_{n}(y)H_{n+1}(x)-H_{n}(x)H_{n+1}(y)}{x-y}}.} Більш того, наступна формула справджується і для узагальнений функцій[2]
∑ n = 0 ∞ ψ n ( x ) ψ n ( y ) = δ ( x − y ) , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\psi _{n}(x)\psi _{n}(y)=\delta (x-y),} де δ — дельта-функція Дірака , (ψ n ) функції Ерміта. Ця узагальнена формула слідує якщо покласти u → 1 у формулі Мелера, дійсній при −1 < u < 1:
E ( x , y ; u ) := ∑ n = 0 ∞ u n ψ n ( x ) ψ n ( y ) = 1 π ( 1 − u 2 ) e x p ( − 1 − u 1 + u ( x + y ) 2 4 − 1 + u 1 − u ( x − y ) 2 4 ) , {\displaystyle E(x,y;u):=\sum _{n=0}^{\infty }u^{n}\,\psi _{n}(x)\,\psi _{n}(y)={\frac {1}{\sqrt {\pi (1-u^{2})}}}\,\mathrm {exp} \left(-{\frac {1-u}{1+u}}\,{\frac {(x+y)^{2}}{4}}\,-\,{\frac {1+u}{1-u}}\,{\frac {(x-y)^{2}}{4}}\right),} яку можна еквівалентно записати так
∑ n = 0 ∞ H n ( x ) H n ( y ) n ! ( u 2 ) n = 1 1 − u 2 e 2 u 1 + u x y − u 2 1 − u 2 ( x − y ) 2 . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {H_{n}(x)H_{n}(y)}{n!}}\left({\frac {u}{2}}\right)^{n}={\frac {1}{\sqrt {1-u^{2}}}}\mathrm {e} ^{{\frac {2u}{1+u}}xy-{\frac {u^{2}}{1-u^{2}}}(x-y)^{2}}.} Функція (x , y ) → E (x , y ; u ) є густиною для міри Гауса на R 2 яка є, коли u прямує до 1, дуже сконцентрованою біля лінії y = x , і сильно спадає поза нею. Тому
⟨ ( ∑ n = 0 ∞ u n ⟨ f , ψ n ⟩ ψ n ) , g ⟩ = ∫ ∫ E ( x , y ; u ) f ( x ) g ( y ) ¯ d x d y → ∫ f ( x ) g ( x ) ¯ d x = ⟨ f , g ⟩ , {\displaystyle \left\langle \left(\sum _{n=0}^{\infty }u^{n}\langle f,\psi _{n}\rangle \psi _{n}\right),g\right\rangle =\int \!\!\int E(x,y;u)f(x){\overline {g(y)}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\rightarrow \int f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} x=\langle f,g\rangle ,} коли ƒ , g є неперервними функціями на компактному носії. Це приводить до того, що ƒ може бути виражена через функції Ерміта у вигляді суми ряду векторів з L 2 (R ), тобто
f = ∑ n = 0 ∞ ⟨ f , ψ n ⟩ ψ n . {\displaystyle f=\sum _{n=0}^{\infty }\langle f,\psi _{n}\rangle \psi _{n}.} Щоб довести вищенаведену рівність для E (x , y ; u ), треба декілька разів використати Фур'є перетворення функції Гауса,
ρ π e − ρ 2 x 2 / 4 = ∫ e i s x − s 2 / ρ 2 d s , ρ > 0. {\displaystyle \rho {\sqrt {\pi }}\,\mathrm {e} ^{-\rho ^{2}x^{2}/4}=\int \mathrm {e} ^{isx-s^{2}/\rho ^{2}}\,\mathrm {d} s,\quad \rho >0.} Поліноми Ерміта можуть бути представлення у вигляді
H n ( x ) = ( − 1 ) n e x 2 d n d x n ( 1 2 π ∫ e i s x − s 2 / 4 d s ) = ( − 1 ) n e x 2 1 2 π ∫ ( i s ) n e i s x − s 2 / 4 d s . {\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}\mathrm {e} ^{x^{2}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\Bigl (}{\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int \mathrm {e} ^{isx-s^{2}/4}\,\mathrm {d} s{\Bigr )}=(-1)^{n}\mathrm {e} ^{x^{2}}{\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int (is)^{n}\,\mathrm {e} ^{isx-s^{2}/4}\,\mathrm {d} s.} З цим представленням для Hn (x ) і Hn (y ), можна бачити що
E ( x , y ; u ) = ∑ n = 0 ∞ u n 2 n n ! π H n ( x ) H n ( y ) e − ( x 2 + y 2 ) / 2 = e ( x 2 + y 2 ) / 2 4 π π ∫ ∫ ( ∑ n = 0 ∞ 1 2 n n ! ( − u s t ) n ) e i s x + i t y − s 2 / 4 − t 2 / 4 d s d t = e ( x 2 + y 2 ) / 2 4 π π ∫ ∫ e − u s t / 2 e i s x + i t y − s 2 / 4 − t 2 / 4 d s d t , {\displaystyle {\begin{aligned}E(x,y;u)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {u^{n}}{2^{n}n!{\sqrt {\pi }}}}\,H_{n}(x)H_{n}(y)\,\mathrm {e} ^{-(x^{2}+y^{2})/2}\\&={\frac {\mathrm {e} ^{(x^{2}+y^{2})/2}}{4\pi {\sqrt {\pi }}}}\int \!\!\int {\Bigl (}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n!}}(-ust)^{n}{\Bigr )}\,\mathrm {e} ^{isx+ity-s^{2}/4-t^{2}/4}\,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t\\&={\frac {\mathrm {e} ^{(x^{2}+y^{2})/2}}{4\pi {\sqrt {\pi }}}}\int \!\!\int \mathrm {e} ^{-ust/2}\,\mathrm {e} ^{isx+ity-s^{2}/4-t^{2}/4}\,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t,\end{aligned}}} а це приводить до потрібного результату, якщо скористатися формулою перетворення Фур'є Гаусового ядра після виконання підстановки
s = σ + τ 2 , t = σ − τ 2 . {\displaystyle s={\frac {\sigma +\tau }{\sqrt {2}}},\qquad \qquad t={\frac {\sigma -\tau }{\sqrt {2}}}.} Диференціальні рівняння [ ред. | ред. код ] Поліноми Ерміта H n ( x ) {\displaystyle H_{n}(x)} є розв'язками лінійного диференціального рівняння :
y ″ ( x ) − x y ′ ( x ) + n y ( x ) = 0 {\displaystyle y''(x)-xy'(x)+ny(x)=0\,}
Якщо n {\displaystyle n} є цілим числом, то загальний розв'язок вищенаведеного рівняння записується як
y ( x ) = A H n ( x ) + B h n ( x ) {\displaystyle y(x)=AH_{n}(x)+Bh_{n}(x)\,} ,
де A , B {\displaystyle A,B} — довільні сталі, а функції h n ( x ) {\displaystyle h_{n}(x)} називаються функціями Ерміта другого роду . Ці функції не зводяться до поліномів і їх можна виразити лише за допомогою трансцендентних функцій e x 2 / 2 {\displaystyle e^{x^{2}/2}} та ∫ 0 x e z 2 / 2 d z {\displaystyle \int _{0}^{x}e^{z^{2}/2}dz} .
Поліноми Ерміта допускають такі представлення:
H n ( x ) = n ! 2 π i ∮ Γ e z x − z 2 / 2 z n + 1 d z {\displaystyle H_{n}(x)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\Gamma }{\frac {e^{zx-z^{2}/2}}{z^{n+1}}}\,dz}
де Γ {\displaystyle \Gamma } — контур, що охоплює початок координат .
Інше представлення має вигляд:
H n ( x ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ ( x + i y ) n e − y 2 2 d y {\displaystyle H_{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }(x+iy)^{n}e^{-{\frac {y^{2}}{2}}}dy} .
Зв'язок з іншими спеціальними функціями [ ред. | ред. код ] Зв'язок з функцією Куммера : H 2 n ( x ) = ( − 1 ) n 2 n ( 2 n ) ! n ! 1 F 1 ( − n ; 1 2 ; x 2 2 ) , H 2 n + 1 ( x ) = ( − 1 ) n 2 n ( 2 n + 1 ) ! n ! x 1 F 1 ( − n ; 3 2 ; x 2 2 ) {\displaystyle H_{2n}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}}}{\frac {(2n)!}{n!}}~{}_{1}F_{1}\left(-n;{\frac {1}{2}};{\frac {x^{2}}{2}}\right)~,~~~H_{2n+1}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}}}{\frac {(2n+1)!}{n!}}x~{}_{1}F_{1}\left(-n;{\frac {3}{2}};{\frac {x^{2}}{2}}\right)} Зв'язок з поліномами Лаґерра : H 2 n ( x ) = ( − 2 ) n n ! L n ( − 1 / 2 ) ( x 2 / 2 ) , H 2 n + 1 ( x ) = ( − 2 ) n n ! x L n ( 1 / 2 ) ( x 2 / 2 ) {\displaystyle H_{2n}(x)=(-2)^{n}\,n!\,L_{n}^{(-1/2)}(x^{2}/2)\,\!,~~~H_{2n+1}(x)=(-2)^{n}\,n!\,x\,L_{n}^{(1/2)}(x^{2}/2)\,\!} Твірна функція поліномів Ерміта має вигляд: g ( x , t ) = exp ( − t 2 + 2 t x ) = exp ( x 2 ) exp [ − ( t − x ) 2 ] . {\displaystyle g(x,t)=\exp(-t^{2}+2tx)=\exp(x^{2})\exp[-(t-x)^{2}].} Для цієї функції exp ( x 2 ) exp ( − ( 1 − x ) 2 ) = ∑ n = 0 ∞ H n ( x ) n ! t n . {\displaystyle \exp(x^{2})\exp(-(1-x)^{2})=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {H_{n}(x)}{n!}}t^{n}.} Диференціювання ∑ n = 0 ∞ H n ( x ) n ! t n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {H_{n}(x)}{n!}}t^{n}} разів n {\displaystyle n} по t {\displaystyle t} для лівої частини дає exp ( x 2 ) ∂ n ∂ t n exp [ − ( t − x ) 2 ] = exp ( x 2 ) ( − 1 ) n ∂ n ∂ x n exp [ − ( t − x ) 2 ] , {\displaystyle \exp(x^{2}){\frac {\partial ^{n}}{\partial t^{n}}}\exp[-(t-x)^{2}]=\exp(x^{2})(-1)^{n}{\frac {\partial ^{n}}{\partial x^{n}}}\exp[-(t-x)^{2}],} а праворуч H n ( x ) + H n + 1 ( x ) t + H n + 2 ( x ) t 2 + . . . {\displaystyle H_{n}(x)+H_{n+1}(x)t+H_{n+2}(x)t^{2}+...} Вважаючи t = 0 , {\displaystyle t=0,} H n ( x ) = ( − 1 ) n exp ( x 2 ) d n d x n exp ( − x 2 ) , {\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}\exp(x^{2}){\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\exp(-x^{2}),} оскільки ∂ ∂ t exp [ − ( t − x ) 2 ] = ∂ ∂ x exp [ − ( t − x ) 2 ] . {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\exp[-(t-x)^{2}]={\frac {\partial }{\partial x}}\exp[-(t-x)^{2}].} Таким чином, n {\displaystyle n} -диференціювання по x {\displaystyle x} експоненційної функції exp ( − x 2 ) {\displaystyle \exp(-x^{2})} приводить до поліномів Ерміта H n ( x ) . {\displaystyle H_{n}(x).} Рекурентне співвідношення . Продиференціюймо g ( x , t ) = exp ( − t 2 + 2 t x ) = exp ( x 2 ) exp [ − ( t − x ) 2 ] {\displaystyle g(x,t)=\exp(-t^{2}+2tx)=\exp(x^{2})\exp[-(t-x)^{2}]} по t : {\displaystyle t:} ∂ g ∂ i = − 2 ( t − x ) g ( x , t ) , {\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial i}}=-2(t-x)g(x,t),}
∑ n = 1 ∞ H n ( x ) ( n − 1 ) ! t n − 1 + 2 ( t − x ) ∑ n = 0 ∞ H n ( x ) n ! = 0 , {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}(x)}{(n-1)!}}t^{n-1}+2(t-x)\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {H_{n}(x)}{n!}}=0,}
∑ n = 0 ∞ [ H n + 1 ( x ) n ! − 2 x H n ( x ) n ! + 2 H n − 1 ( x ) ( n − 1 ) ! ] t n = 0 , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }[{\frac {H_{n+1}(x)}{n!}}-2x{\frac {H_{n}(x)}{n!}}+{\frac {2H_{n-1}(x)}{(n-1)!}}]t^{n}=0,}
та отримаймо
H n + 1 ( x ) − 2 x H n ( x ) + 2 n H n − 1 ( x ) = 0. {\displaystyle H_{n+1}(x)-2xH_{n}(x)+2nH_{n-1}(x)=0.}
Із сказаного можна отримати диференціальне рівняння
H n ′ ′ ( x ) − 2 x H n ( x ) + 2 n H n = 0 , n = 0 , 1 , 2 , . . . , ¯ {\displaystyle H_{n}^{\prime \prime }(x)-2xH_{n}(x)+2nH_{n}=0,\quad \quad n={\overline {0,1,2,...,}}}
яке є частковим рішенням лінійного диференціального рівняння другого порядку H n ′ ′ ( x ) + 2 x H n ′ ( x ) + 2 n H n ( x ) = 0. {\displaystyle H_{n}^{\prime \prime }(x)+2xH_{n}^{\prime }(x)+2nH_{n}(x)=0.}
( − d 2 d x 2 + x 2 ) ψ n ( x ) = λ n ψ n ( x ) {\displaystyle \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+x^{2}\right)\psi _{n}(x)=\lambda _{n}\psi _{n}(x)} . Розв'язками цього рівняння є власні функції осцилятора, що відповідають власним значенням λ n = 2 n + 1 {\displaystyle \lambda _{n}=2n+1} . Нормовані на одиницю вони записуються як ψ n ( x ) = e − x 2 2 ( − 1 ) n 2 n n ! π H n ∗ ( x ) , n = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle \psi _{n}(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}{\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {2^{n}n!{\sqrt {\pi }}}}}H_{n}^{*}(x)~,~~n=0,1,2,\dots ~} . Зазначимо, що в даному виразі використовуються саме «фізичні» поліноми Ерміта H n ∗ ( x ) {\displaystyle H_{n}^{*}(x)} . Поліноми Ерміта використовуються в розв'язку одновимірного рівняння теплопровідності u t − u x x = 0 {\displaystyle u_{t}-u_{xx}=0} на нескінченному інтервалі. Це рівняння має розв'язок у вигляді експоненційної функції u ( x , t ) = e α x + α 2 t {\displaystyle u(x,t)=e^{\alpha x+\alpha ^{2}t}} . Оскільки таку функцію можна представити у вигляді розкладу по поліномах Ерміта, а з іншого боку вона може бути розкладена в ряд Тейлора по α {\displaystyle \alpha } : e α x + α 2 t = ∑ n = 0 ∞ α n n ! P n ( x , t ) {\displaystyle e^{\alpha x+\alpha ^{2}t}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}}{n!}}P_{n}(x,t)} , то функції P n ( x , t ) {\displaystyle P_{n}(x,t)} , що є розв'язками рівняння теплопровідності і задовольняють початковій умові P n ( x , t = 0 ) = x n {\displaystyle P_{n}(x,t=0)=x^{n}} , виражаються через поліноми Ерміта наступним чином: P n ( x , t ) = ( i 2 t ) n H n ( x i 2 t ) = 1 4 π t ∫ − ∞ + ∞ e − ( x − y ) 2 4 t y n d y {\displaystyle P_{n}(x,t)=(i{\sqrt {2t}})^{n}H_{n}\left({\frac {x}{i{\sqrt {2t}}}}\right)={\frac {1}{\sqrt {4\pi t}}}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{\frac {(x-y)^{2}}{4t}}}y^{n}dy} . Для отримання останньої рівності було використано інтеграл Пуасона-Фур'є. ↑ Hermite C. Sur un nouveau développement en série de fonctions. // Compt. Rend. Acad. Sci. Paris. — 1864. — Т. 58 . — С. 93-100; 266-273 . , передруковано також в C. Hermite (1908). Oeuvres complètes (французька) . tome 2. Paris. с. 293—308. ↑ (Wiener, 1958 ) Abramowitz, Milton & Stegun, Irene A., eds. (1965), «Chapter 22», Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 0-486-61272-4 . Wiener, Norbert (1958). The Fourier Integral and Certain of its Applications . New York: Dover Publications. ISBN 0-486-60272-9 . Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1962). A Course of Modern Analysis . London: Cambridge University Press. Ж. Кампе де Ферье; Р. Кемпбелл, Г. Петьо, Т. Фогель (1963). IX. Функции математической физики (російська) . Москва: Физматгиз. с. 62 -70.