Константа Леві — Вікіпедія

У математиці, стала Леві (іноді стала Хінчина-Леві) зустрічається у виразі для асимптотичної поведінки знаменників конвергентів ланцюгових дробів^[1].

Загальний опис[ред. | ред. код]

У 1935 р. Радянський математик Олександр Хінчин показав^[2], що знаменники ${\displaystyle q_{n}}$ збіжників розкладів ланцюгових дробів майже всіх дійсних чисел задовольняють умову

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{q_{n}}^{1/n}=\gamma }$

для деякої сталої ${\displaystyle \gamma }$. Незабаром, у 1936 році, французький математик Поль Леві вивів^[3] аналітичну формулу цієї константи, а саме

${\displaystyle \gamma =e^{\pi ^{2}/(12\ln 2)}=3.275822918721811159787681882\ldots }$ послідовність A086702 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS

Термін «стала Леві» іноді застосовують до сталої ${\displaystyle \pi ^{2}/(12\ln 2)}$ (логарифм сталої ${\displaystyle \gamma }$), що приблизно дорівнює 1.1865691104… Значення можна вивести з асимптотичного математичного сподівання логарифму співвідношення сусідніх знаменників ланцюгового дробу використовуючи розподіл Гаусса-Хінчина. Зокрема, співвідношення є випадковою величиною з щільністю

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z(z+1)\ln(2)}}}$

при ${\displaystyle z\geq 1}$ і нулем у решті випадків. Звідси вираховуємо сталу Леві

${\displaystyle \ln(\gamma )=\int _{1}^{\infty }{\frac {\ln(z)}{z(z+1)\ln(2)}}dz=\int _{0}^{1}{\frac {\ln(z^{-1})}{(z+1)\ln(2)}}dz={\frac {\pi ^{2}}{12\ln(2)}}}$.

Десятковий логарифм сталої Леві, що приблизно дорівнює 0,51532041…, є половиною обернення границі (n/m) теореми Лохса.

Див. також[ред. | ред. код]

• Стала Хінчина

Примітки[ред. | ред. код]

Джерела[ред. | ред. код]

• Khinchin, A. Ya. (1997). Continued Fractions. Dover. ISBN 0-486-69630-8.

Посилання[ред. | ред. код]

• Weisstein, Eric W. Lévy Constant(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Шаблон:OEIS el

Це незавершена стаття теорії чисел. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.