Cauchy integral teoremi - Vikipedi
Matematiğin bir dalı olan karmaşık analizde, Augustin Louis Cauchy'nin ismine atfedilen Cauchy integral teoremi, karmaşık düzlemdeki holomorf fonksiyonların çizgi integralleri hakkında önemli bir teoremdir. Esasen, teoremin ifade ettiği şudur: İki ayrı yol aynı iki noktayı birbirine bağlıyorsa ve bir fonksiyon bu iki ayrı yolun arasındaki iç bölgede holomorfsa, o zaman fonksiyonun bu iki yol integrali birbirine eşittir.
Teorem, kapalı yollar için ise şu şekilde ifade edilir. U, C 'nin basit bağlantılı açık bir altkümesi olsun. f : U → C holomorf bir fonksiyon olsun ve γ, U içinde başlangıç noktası bitiş noktasıyla aynı olan doğrultulabilir bir yol olsun. O zaman
eşitliği vardır.
Goursat tarafından gösterildiği gibi, Cauch integral teoremi, U içinde her yerde f 'nin karmaşık türevi olan f '(z) varsa, kanıtlanabilir. Bu önemlidir çünkü bu fonksiyonlar için o zaman Cauchy integral formülü de kanıtlanabilir ve bundan aslında bu fonksiyonların sonsuz kere türevlenebilmesi özelliği çıkar.
U 'nun basit bağlantılı olması koşulu U 'da "delik" olmaması anlamına gelir veya homotopi kavramlarıyla tartışılacak olursa, U 'nun temel grubunun bariz olması demektir. Örneğin, açık diski bunlardan biridir. Bu şart teoremde çok önemlidir. Birim çemberi dolaşan
düşünüldüğünde,
yol integrali sıfır olmayacaktır. Cauchy integral teoremi, f(z) = 1/z fonksiyonu z = 0 noktasında tanımlı olmadığı (ve tabi holomorf olmadığı) için artık burada geçerli değildir.
Teoremin önemli sonuçlarından birisi basit bağlantılı bölgelerdeki holomorf fonksiyonların yol integrallerinin hesabın temel teoremindekine benzer bir şekilde hesaplanabilmesidir: U, C 'nin basit bağlantılı açık bir kümesi olsun. f : U → C holomorf bir fonksiyon olsun ve γ, başlangıç noktası a, bitiş noktası b olan bir parçalı sürekli türevlenebilir yol olsun. F, f 'nin karmaşık antitürevi ise, o zaman
eşitliği vardır.
Cauchy integral teoremi üstte verilen halinden biraz daha güçlü halde de geçerlidir. U 'nun sınırı doğrultulabilir bir yolun (mesela γ) görüntüsü olsun ve ayrıca U basit bağlantılı açık bir C altkümesi olsun. f, U üzerinde holomorf olan bir fonksiyonsa ve U 'nun kapanışında sürekliyse, o zaman
eşitliği vardır.
Cauchy integral teoremi ayrıca Cauchy integral formülü 'nün ve rezidü (kalıntı) teoreminin kanıtlanmasını da sağlar.
KANIT[değiştir | kaynağı değiştir]
Cauchy integral teoremi Vektör Analizi'nde ki Green Teoremi ile kanıtlanabilir. Sebebi karmaşık değerli fonksiyonların vektörel fonksiyon gibi davranmasıdır. Kanıt için Cauchy-Riemann denklemlerini kullanmamız gerekir. kontürü saat yönünün tersi şeklinde bir döngü halinde olsun ve U kümesi basit bağlantılı ve kümesinin alt kümesi olsun. fonksiyonu U gibi bir basit bağlantılı fonksiyonun tümüne holomorf olsun.
ve fonksiyonun değişkeninin diferansiyeli dir.
Bu durumda
olacaktır.
Green Teoremine dayanarak
Cauchy-Riemann denklemleriyle teorem kanıtlanacaktır.
ve
= 0
Ve sonunda
Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]
- Cauchy-Riemann denklemleri
- Cauchy integral formülü
- Morera teoremi
- Kontür integrali metotları
- Kalıntı (karmaşık analiz)
Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]
- http://mathworld.wolfram.com/CauchyIntegralTheorem.html 12 Temmuz 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. MathWorld'deki ilgili sayfa.
- Cauchy-Goursat Teoremi Modülü, John H. Mathews tarafından 15 Temmuz 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.