Birebir fonksiyon - Vikipedi

Bu madde hiçbir kaynak içermemektedir. Lütfen güvenilir kaynaklar ekleyerek madde içeriğinin geliştirilmesine yardımcı olun. Kaynaksız içerik itiraz konusu olabilir ve kaldırılabilir. Kaynak ara: "Birebir fonksiyon" – haber · gazete · kitap · akademik · JSTOR (Şubat 2017) (Bu şablonun nasıl ve ne zaman kaldırılması gerektiğini öğrenin)

Bu madde, Vikipedi biçem el kitabına uygun değildir. Maddeyi, Vikipedi standartlarına uygun biçimde düzenleyerek Vikipedi'ye katkıda bulunabilirsiniz. Gerekli düzenleme yapılmadan bu şablon kaldırılmamalıdır. (Ocak 2013)

Matematikte birebir fonksiyon, eşitlikleri birbirine haritalayan bir fonksiyondur.

${\displaystyle f:X\longrightarrow Y}$, ${\displaystyle X}$'ten ${\displaystyle Y}$'ye giden bir fonksiyon olsun. Eğer her ${\displaystyle x_{1},\,x_{2}\in X}$ için ${\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})}$ eşitliği ${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$ eşitliğini gerektiriyorsa, yani ${\displaystyle X}$'in iki değişik elemanı ${\displaystyle Y}$'nin aynı elemanına gidemiyorsa, o zaman ${\displaystyle f}$ fonksiyonuna birebir fonksiyon adı verilir.^[1]

Örneğin, ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ kuralıyla tanımlanan ${\displaystyle f:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$ fonksiyonu birebir değildir çünkü - yine - örneğin ${\displaystyle f(-5)=f(5)}$ eşitliği sağlanır; öte yandan gene ${\displaystyle g(x)=x^{2}}$ kuralıyla tanımlanan ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} }$ fonksiyonu birebirdir.

Birebir fonksiyonlar fonksiyonların bileşkesi altında kapalıdır, yani eğer ${\displaystyle f:X\longrightarrow Y}$ ve ${\displaystyle g:Y\longrightarrow Z}$ birebir iki fonksiyonsa o zaman ${\displaystyle g\circ f}$ fonksiyonu da - kolayca kanıtlanabileceği üzere - birebirdir.

Eğer ${\displaystyle f:X\longrightarrow Y}$ ve ${\displaystyle g:Y\longrightarrow Z}$ iki fonksiyonsa ve ${\displaystyle g\circ f}$ (bkz. bileşke) birebirse o zaman ${\displaystyle f}$ fonksiyonu birebirdir. Nitekim, eğer ${\displaystyle x_{1},\,x_{2}\in X}$ için ${\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})}$ ise, o zaman her iki tarafı da ${\displaystyle g}$'de değerlendirerek, ${\displaystyle g(f(x_{1}))=g(f(x_{2}))}$ elde ederiz, yani ${\displaystyle (g\circ f)(x_{1})=(g\circ f)(x_{2})}$. Buradan da ${\displaystyle g\circ f}$ birebir olduğundan ${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$ çıkar.

Cantor'un kümeler kuramına göre eğer ${\displaystyle X}$'ten ${\displaystyle Y}$'ye giden birebir bir fonksiyon varsa, ${\displaystyle X}$'in ${\displaystyle Y}$'den "daha az" ya da eşit sayıda elemanı olduğunu söyleyebiliriz ve bunu ${\displaystyle |X|\leq |Y|}$ olarak yazarız. Cantor-Bernstein-Schröder Teoremi'ne görre ${\displaystyle |X|\leq |Y|}$ ve ${\displaystyle |Y|\leq |X|}$ ise ${\displaystyle |X|\simeq |Y|}$'dır, yani ${\displaystyle X}$ ile ${\displaystyle Y}$ arasında bir eşleme vardır.

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

• Örtmeyen fonksiyon
• Eşleme
• Cantor-Bernstein-Schröder Teoremi