Begović började sin proffskarriär i Portsmouth 2005. Han flyttade från Portsmouth till Stoke City vintern 2010.
Den 13 januari 2020 lånades Begović ut till Milan på ett låneavtal över resten av säsongen 2019/2020.[1] Den 20 juli 2021 värvades Begović av Everton, där han skrev på ett ettårskontrakt med option på ytterligare ett år.[2]
Den 17 juli 2023 värvades Begović av Queens Park Rangers, där han skrev på ett ettårskontrakt.[3]