Сферическая система координат — трёхмерная система координат , в которой каждая точка пространства определяется тремя числами ( r , θ , φ ) {\displaystyle (r,\;\theta ,\;\varphi )} r {\displaystyle r} начала координат (радиальное расстояние), а θ {\displaystyle \theta } φ {\displaystyle \varphi } углы соответственно.
Понятия зенит азимут астрономии . Зенит фундаментальной плоскости Азимут
Рис. 1.Точка имеет три декартовых и три сферических координаты Если рассматривать сферическую систему координат относительно декартовой системы O x y z {\displaystyle Oxyz} x y {\displaystyle xy} P {\displaystyle P} P {\displaystyle P} z {\displaystyle z} P {\displaystyle P} x y {\displaystyle xy} x {\displaystyle x} систем небесных координат
Положение точки P {\displaystyle P} ( r , θ , φ ) {\displaystyle (r,\;\theta ,\;\varphi )}
r ⩾ 0 {\displaystyle r\geqslant 0} P {\displaystyle P} 0 ∘ ⩽ θ ⩽ 180 ∘ {\displaystyle 0^{\circ }\leqslant \theta \leqslant 180^{\circ }} z {\displaystyle z} P {\displaystyle P} 0 ∘ ⩽ φ < 360 ∘ {\displaystyle 0^{\circ }\leqslant \varphi <360^{\circ }} x {\displaystyle x} P {\displaystyle P} x y {\displaystyle xy} Угол θ {\displaystyle \theta } зенитным , или полярным , также он может называться наклонением , или коширотой , а угол φ {\displaystyle \varphi } азимутальным . Углы θ {\displaystyle \theta } φ {\displaystyle \varphi } r = 0 {\displaystyle r=0} φ {\displaystyle \varphi } sin ( θ ) = 0 {\displaystyle \sin(\theta )=0} θ = 0 {\displaystyle \theta =0} θ = 180 ∘ {\displaystyle \theta =180^{\circ }}
Такое соглашение установлено в стандарте (ISO 31-11 ). Кроме того может использоваться соглашение, когда вместо зенитного угла θ {\displaystyle \theta } P {\displaystyle P} x y {\displaystyle xy} 90 ∘ − θ {\displaystyle 90^{\circ }-\theta } широтой и может быть обозначен той же буквой θ {\displaystyle \theta } − 90 ∘ ⩽ θ ⩽ 90 ∘ {\displaystyle -90^{\circ }\leqslant \theta \leqslant 90^{\circ }} θ {\displaystyle \theta } φ {\displaystyle \varphi } r = 0 {\displaystyle r=0} φ {\displaystyle \varphi } cos ( θ ) = 0 {\displaystyle \cos(\theta )=0} θ = − 90 ∘ {\displaystyle \theta =-90^{\circ }} θ = 90 ∘ {\displaystyle \theta =90^{\circ }}
Переход к другим системам координат [ править | править код ] Если заданы сферические координаты точки ( r , θ , φ ) {\displaystyle (r,\;\theta ,\;\varphi )}
{ x = r sin θ cos φ , y = r sin θ sin φ , z = r cos θ . {\displaystyle {\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \varphi ,\\y=r\sin \theta \sin \varphi ,\\z=r\cos \theta .\end{cases}}} Обратно, от декартовых к сферическим:
{ r = x 2 + y 2 + z 2 , θ = arccos z x 2 + y 2 + z 2 = a r c t g x 2 + y 2 z , φ = a r c t g y x . {\displaystyle {\begin{cases}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\\\theta =\arccos {\dfrac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}=\mathrm {arctg} {\dfrac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}},\\\varphi =\mathrm {arctg} {\dfrac {y}{x}}.\end{cases}}} Якобиан преобразования к сферическим координатам равен
J = ∂ ( x , y , z ) ∂ ( r , θ , φ ) = | sin θ cos φ r cos θ cos φ − r sin θ sin φ sin θ sin φ r cos θ sin φ r sin θ cos φ cos θ − r sin θ 0 | = = cos θ ( r 2 cos φ 2 cos θ sin θ + r 2 sin 2 φ cos θ sin θ ) + r sin θ ( r sin 2 θ cos 2 φ + r sin 2 θ sin 2 φ ) = = r 2 cos 2 θ sin θ + r 2 sin 2 θ sin θ = = r 2 sin θ . {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}J&={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}={\begin{vmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{vmatrix}}=\\&=\cos \theta (r^{2}\cos \varphi ^{2}\cos \theta \sin \theta +r^{2}\sin ^{2}\varphi \cos \theta \sin \theta )+r\sin \theta (r\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\varphi +r\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\varphi )=\\&=r^{2}\cos ^{2}\theta \sin \theta +r^{2}\sin ^{2}\theta \sin \theta =\\&=r^{2}\sin \theta .\end{alignedat}}} Таким образом, элемент объёма при переходе от декартовых к сферическим координатам будет выглядеть следующим образом:
d V = d x d y d z = J ( r , θ , φ ) d r d θ d φ = r 2 sin θ d r d θ d φ {\displaystyle \mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=J(r,\theta ,\varphi )\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi } Если заданы сферические координаты точки, то переход к цилиндрическим осуществляется по формулам:
{ ρ = r sin θ , φ = φ , z = r cos θ . {\displaystyle {\begin{cases}\rho =r\sin \theta ,\\\varphi =\varphi ,\\z=r\cos \theta .\end{cases}}} Обратно от цилиндрических к сферическим:
{ r = ρ 2 + z 2 , θ = a r c t g ρ z , φ = φ . {\displaystyle {\begin{cases}r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}},\\\theta =\mathrm {arctg} {\dfrac {\rho }{z}},\\\varphi =\varphi .\end{cases}}} Якобиан преобразования от сферических к цилиндрическим J = r {\displaystyle J=r}
Вектор d r {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} } ( r , θ , φ ) {\displaystyle (r,\theta ,\varphi )} ( r + d r , θ + d θ , φ + d φ ) {\displaystyle (r+\mathrm {d} r,\,\theta +\mathrm {d} \theta ,\,\varphi +\mathrm {d} \varphi )}
d r = d r r ^ + r d θ θ ^ + r sin θ d φ φ ^ , {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} r\,{\boldsymbol {\hat {r}}}+r\,\mathrm {d} \theta \,{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+r\sin {\theta }\,\mathrm {d} \varphi \,\mathbf {\boldsymbol {\hat {\varphi }}} ,} где
r ^ = sin θ cos φ ı ^ + sin θ sin φ ȷ ^ + cos θ k ^ {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {r}}}=\sin \theta \cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath }}}+\sin \theta \sin \varphi {\boldsymbol {\hat {\jmath }}}+\cos \theta {\boldsymbol {\hat {k}}}} θ ^ = cos θ cos φ ı ^ + cos θ sin φ ȷ ^ − sin θ k ^ {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}=\cos \theta \cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath }}}+\cos \theta \sin \varphi {\boldsymbol {\hat {\jmath }}}-\sin \theta {\boldsymbol {\hat {k}}}} φ ^ = − sin φ ı ^ + cos φ ȷ ^ {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath }}}+\cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\jmath }}}} ортогональные единичные векторы сферических координат в направлении увеличения r , θ , φ {\displaystyle r,\theta ,\varphi } ı ^ , ȷ ^ , k ^ {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\imath }}},{\boldsymbol {\hat {\jmath }}},{\boldsymbol {\hat {k}}}} метрический тензор имеет в них диагональный вид:
g i j = ( 1 0 0 0 r 2 0 0 0 r 2 sin 2 θ ) , g i j = ( 1 0 0 0 1 r 2 0 0 0 1 r 2 sin 2 θ ) {\displaystyle g_{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{pmatrix}},\quad g^{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\dfrac {1}{r^{2}}}&0\\0&0&{\dfrac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\end{pmatrix}}} det ( g i j ) = r 4 sin 2 θ . {\displaystyle \det(g_{ij})=r^{4}\sin ^{2}\theta .\ } Квадрат дифференциала длины дуги: d s 2 = d r 2 + r 2 d θ 2 + r 2 sin 2 θ d φ 2 . {\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}.} H r = 1 , H θ = r , H φ = r sin θ . {\displaystyle H_{r}=1,\quad H_{\theta }=r,\quad H_{\varphi }=r\sin \theta .} Γ 22 1 = − r , Γ 33 1 = − r sin 2 θ , {\displaystyle \Gamma _{22}^{1}=-r,\quad \Gamma _{33}^{1}=-r\sin ^{2}\theta ,} Γ 21 2 = Γ 12 2 = Γ 13 3 = Γ 31 3 = 1 r , {\displaystyle \Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{13}^{3}=\Gamma _{31}^{3}={\frac {1}{r}},} Γ 33 2 = − cos θ sin θ , Γ 23 3 = Γ 32 3 = c t g θ . {\displaystyle \Gamma _{33}^{2}=-\cos \theta \sin \theta ,\quad \Gamma _{23}^{3}=\Gamma _{32}^{3}=\mathrm {ctg} \,\theta .} Остальные равны нулю.
Математическое моделирование Земли [ править | править код ] Сферическая географическая система координат [ править | править код ] Сферическая географическая система координат строится следующим образом[1]
её начало помещено в центр Земли ; полярная ось направлена по оси вращения Земли; координата r {\displaystyle r} полярный угол θ {\displaystyle \theta } коширота (дополнение географической широты до 90 ∘ {\displaystyle 90^{\circ }} азимутальный угол φ {\displaystyle \varphi } долготой (восточной). Вектор магнитной индукции магнитного поля Земли B {\displaystyle \mathbf {B} }
B r = − B sin I , B θ = − B cos I cos D , B φ = B cos I sin D , {\displaystyle B_{r}=-B\sin I,\;B_{\theta }=-B\cos I\cos D,\;B_{\varphi }=B\cos I\sin D,} где I {\displaystyle I} магнитное наклонение ; D {\displaystyle D} магнитное склонение .
Компоненты вектора ускорения свободного падения g {\displaystyle \mathbf {g} }
g r = − g , g θ = g φ = 0. {\displaystyle g_{r}=-g,\;g_{\theta }=g_{\varphi }=0.} Наконец, компоненты вектора угловой скорости вращения Земли Ω {\displaystyle \mathbf {\Omega } }
Ω r = Ω cos θ , Ω θ = − Ω sin θ , Ω φ = 0. {\displaystyle \Omega _{r}=\Omega \cos \theta ,\;\Omega _{\theta }=-\Omega \sin \theta ,\;\Omega _{\varphi }=0.} В сферических географических координатах оптимально решать уравнения, описывающие поведение нейтральных частиц околоземного пространства[1]
Сферическая геомагнитная система координат [ править | править код ] Сферическая геомагнитная система координат строится следующим образом[1]
её начало помещено в центр Земли ; полярная ось направлена по оси магнитного диполя Земли (геомагнитной оси), проходящей через магнитные полюса ; координата r {\displaystyle r} полярный угол Θ {\displaystyle \Theta } коширота (дополнение магнитной широты Φ {\displaystyle \Phi } 90 ∘ : Θ = π / 2 − Φ {\displaystyle 90^{\circ }\colon \;\Theta =\pi /2-\Phi } азимутальный угол Λ {\displaystyle \Lambda } западном полушарии , содержащей географический и геомагнитный полюсы. Географические координаты северного магнитного полюса равны
θ 0 = 4 , 6 ∘ , φ 0 = 43 , 0 ∘ ( 2012 ) . {\displaystyle \theta _{0}=4,6^{\circ },\;\varphi _{0}=43,0^{\circ }\;(2012).} В сферической геомагнитной системе координат склонение D = 0 {\displaystyle D=0}
B r = − B sin I , B Θ = − B cos I , B Λ = 0 , {\displaystyle B_{r}=-B\sin I,\;B_{\Theta }=-B\cos I,\;B_{\Lambda }=0,} g r = − g , g Θ = g Λ = 0. {\displaystyle g_{r}=-g,\;g_{\Theta }=g_{\Lambda }=0.} Ω r = Ω ( cos θ 0 cos Θ − sin θ 0 sin Θ cos Λ ) , {\displaystyle \Omega _{r}=\Omega (\cos \theta _{0}\cos \Theta -\sin \theta _{0}\sin \Theta \cos \Lambda ),} Ω Θ = − Ω ( cos θ 0 sin Θ + sin θ 0 cos Θ cos Λ ) , {\displaystyle \Omega _{\Theta }=-\Omega (\cos \theta _{0}\sin \Theta +\sin \theta _{0}\cos \Theta \cos \Lambda ),} Ω Λ = Ω sin θ 0 sin Λ . {\displaystyle \Omega _{\Lambda }=\Omega \sin \theta _{0}\sin \Lambda .} Формулы, связывающие географические и геомагнитные сферические координаты[1]
cos Θ = cos θ 0 cos θ + sin θ 0 sin θ cos ( φ − φ 0 ) , {\displaystyle \cos \Theta =\cos \theta _{0}\cos \theta +\sin \theta _{0}\sin \theta \cos(\varphi -\varphi _{0}),} cos Λ = − sin θ 0 cos θ + cos θ 0 sin θ cos ( φ − φ 0 ) sin Θ , {\displaystyle \cos \Lambda ={\frac {-\sin \theta _{0}\cos \theta +\cos \theta _{0}\sin \theta \cos(\varphi -\varphi _{0})}{\sin \Theta }},} cos θ = cos θ 0 cos Θ − sin θ 0 sin Θ cos Λ , {\displaystyle \cos \theta =\cos \theta _{0}\cos \Theta -\sin \theta _{0}\sin \Theta \cos \Lambda ,} cos ( φ − φ 0 ) = sin θ 0 cos Θ + cos θ 0 sin Θ cos Λ sin θ . {\displaystyle \cos(\varphi -\varphi _{0})={\frac {\sin \theta _{0}\cos \Theta +\cos \theta _{0}\sin \Theta \cos \Lambda }{\sin \theta }}.} В сферических геомагнитных координатах проще, чем в сферических географических координатах, описывать влияние геомагнитного поля на заряженные частицы околоземного пространства[1]
↑ 1 2 3 4 5 Брюнелли Б. Е., Намгаладзе А. А. Физика ионосферы. М.: Наука, 1988. § 3.5, С. 172—173. ISBN 5-02-000716-1 Название координат Типы систем координат Двумерные координаты Трёхмерные координаты n {\displaystyle n} Физические координаты Связанные определения
French
Deutsch
