Диполь (электродинамика) — Википедия

Классическая электродинамика
Электричество · Магнетизм
Электростатика Закон Кулона Теорема Гаусса Электрический дипольный момент Электрический заряд Электрическая индукция Электрическое поле Электростатический потенциал
Магнитостатика Закон Био — Савара — Лапласа Закон Ампера Магнитный момент Магнитное поле Магнитный поток Магнитная индукция
Электродинамика Векторный потенциал Диполь Потенциалы Лиенара — Вихерта Сила Лоренца Ток смещения Униполярная индукция Уравнения Максвелла Электрический ток Электродвижущая сила Электромагнитная индукция Электромагнитное излучение Электромагнитное поле
Электрическая цепь Закон Ома Законы Кирхгофа Индуктивность Радиоволновод Резонатор Электрическая ёмкость Электрическая проводимость Электрическое сопротивление Электрический импеданс
Ковариантная формулировка Тензор электромагнитного поля Тензор энергии-импульса 4-потенциал 4-ток
См. также: Портал:Физика

Дипо́ль (фр. dipôle, от греч. di(s) «дважды» + polos «ось», «полюс», буквально — «дву(х)полюсность») — идеализированная система, служащая для приближённого описания поля, создаваемого более сложными системами зарядов, а также для приближенного описания действия внешнего слоя поля на такие системы.

Типичный и стандартный пример диполя — два заряда, равные по величине и противоположные по знаку, находящиеся друг от друга на расстоянии, очень малом по сравнению с расстоянием до точки наблюдения. Поле такой системы полностью описывается дипольным приближением при стремлении расстояния между зарядами к нулю при сохранении произведения величины заряда на расстояние между зарядами — постоянным (или стремящимся к конечному пределу; эта константа или этот предел будет дипольным моментом такой системы).

Дипольное приближение, выполнение которого обычно подразумевается, когда говорится о поле диполя, основано на разложении потенциалов поля в ряд по степеням радиус-вектора, характеризующего положение зарядов-источников, и отбрасывании всех членов выше первого порядка^[1].
Полученные функции будут эффективно описывать поле в случае, если:

1. размеры создающей или излучающей поле системы (области, содержащей заряды) малы по сравнению с рассматриваемыми расстояниями, так что отношение характерного размера системы к длине радиус-вектора является малой величиной и имеет смысл рассмотрение лишь первых членов разложения потенциалов в ряд;
2. член первого порядка в разложении не равен 0, в противном случае нужно использовать приближение более высокой мультипольности;
3. в уравнениях рассматриваются градиенты потенциалов не выше первого порядка.

Дипольный момент системы[править | править код]

Электрический диполь[править | править код]

Электрический диполь — идеализированная электронейтральная система, состоящая из точечных и равных по абсолютной величине положительного и отрицательного электрических зарядов.

Другими словами, электрический диполь представляет собой совокупность двух равных по абсолютной величине разноимённых точечных зарядов, находящихся на некотором расстоянии друг от друга.

Произведение вектора ${\displaystyle {\vec {l}},}$ проведённого от отрицательного заряда к положительному, на абсолютную величину зарядов ${\displaystyle q\,,}$ называется дипольным моментом: ${\displaystyle {\vec {d}}=q{\vec {l}}.}$

Во внешнем электрическом поле ${\displaystyle {\vec {E}}}$ на электрический диполь действует момент сил ${\displaystyle {\vec {d}}\times {\vec {E}},}$ который стремится повернуть его так, чтобы дипольный момент развернулся вдоль направления поля.

Потенциальная энергия электрического диполя в (постоянном) электрическом поле равна ${\displaystyle -{\vec {E}}\cdot {\vec {d}}.}$ (В случае неоднородного поля это означает зависимость не только от момента диполя — его величины и направления, но и от места, точки нахождения диполя).

Вдали от электрического диполя напряжённость его электрического поля убывает с расстоянием ${\displaystyle R}$ как ${\displaystyle R^{-3},}$ то есть быстрее, чем у точечного заряда (${\displaystyle E\sim R^{-2}}$).

Дипольное приближение для электростатического поля нейтральной системы[править | править код]

Любая в целом электронейтральная система, содержащая электрические заряды, в некотором приближении (то есть собственно в дипольном приближении) может рассматриваться как электрический диполь с моментом ${\displaystyle {\vec {d}}=\sum _{i}q_{i}{\vec {r}}_{i},}$ где ${\displaystyle q_{i}}$ — заряд ${\displaystyle i}$-го элемента, ${\displaystyle {\vec {r}}_{i}}$ — его радиус-вектор. При этом дипольное приближение будет корректным, если расстояние, на котором изучается электрическое поле системы, велико по сравнению с её характерными размерами.

В точечном приближении, поле, создаваемое диполем в точке с радиус-вектором ${\displaystyle {\vec {r}}}$ даётся следующим соотношением:

${\displaystyle {\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {3{\vec {r}}({\vec {r}},{\vec {d}})-{r^{2}}{\vec {d}}}{r^{5}}}}$

Дипольное приближение для электростатического поля не-нейтральной системы[править | править код]

Не электрически нейтральная система очевидным образом может быть представлена как сумма (суперпозиция) электрически нейтральной системы и точечного заряда. Для этого достаточно поместить куда-то внутрь системы точечный заряд, противоположный ее суммарному заряду, и в ту же точку еще один точечный заряд, равный ее суммарному заряду. После чего рассматривать первый заряд вместе с остальной системой (ее дипольный момент будет очевидно равен дипольному моменту, вычисленному по формуле, приведенной выше, если за начало координат взять положение добавленного точечного заряда: тогда сам добавленный заряд не войдет в выражение). Второй же точечный заряд даст кулоновское поле.

То есть, вдалеке от такой системы электростатическое поле, создаваемое ею, в дипольном приближении будет суммой (суперпозицией) кулоновского поля, создаваемого зарядом этой системы ${\displaystyle Q=\sum _{i}q_{i},}$ условно помещенного в некоторую точку внутри системы зарядов, и поля диполя с моментом ${\displaystyle {\vec {d}}=\sum _{i}q_{i}{\vec {r}}_{i},}$, где радиус-векторы берутся от положения заряда ${\displaystyle Q.}$ Нетрудно показать при этом и что такое поле в дипольном приближении не зависит от произвольно (но обязательно внутри системы зарядов или очень близко к ней) выбранного положения точечного заряда ${\displaystyle Q,}$ поскольку поправка в нужном порядке будет компенсироваться изменением вычисленного дипольного момента (ведь перемещение положения заряда ${\displaystyle Q}$ на некоторое ${\displaystyle {\vec {D}}}$ эквивалентно наложению диполя с моментом ${\displaystyle Q{\vec {D}}}$).

Магнитный диполь[править | править код]

Магнитный диполь — аналог электрического, который можно представить себе как систему двух «магнитных зарядов» — магнитных монополей. Эта аналогия условна, так как магнитные заряды не обнаружены. В качестве модели магнитного диполя можно рассматривать небольшую (по сравнению с расстояниями, на которых излучается генерируемое диполем магнитное поле) плоскую замкнутую проводящую рамку площади ${\displaystyle S\,,}$ по которой течёт ток ${\displaystyle I\,.}$ При этом магнитным моментом диполя (в системе СГСМ) называют величину ${\displaystyle {\vec {\mu }}=IS{\vec {n}},}$ где ${\displaystyle {\vec {n}}}$ — единичный вектор, направленный перпендикулярно плоскости рамки в том направлении, при наблюдении в котором ток в рамке представляется текущим по часовой стрелке.

Выражения для вращающего момента ${\displaystyle {\vec {M}}}$, действующего со стороны магнитного поля на магнитный диполь, и потенциальной энергии постоянного магнитного ${\displaystyle U}$диполя в магнитном поле, аналогичны соответствующим формулам для взаимодействия электрического диполя с электрическим полем, только входят туда магнитный момент ${\displaystyle {\vec {m}}}$ и вектор магнитной индукции ${\displaystyle {\vec {B}}}$:

${\displaystyle {\vec {M}}={\vec {m}}\times {\vec {B}},}$

${\displaystyle U=-{\vec {m}}\cdot {\vec {B}}.}$

Поле колеблющегося диполя[править | править код]

В этом разделе рассматривается поле, создаваемое точечным электрическим диполем ${\displaystyle \mathbf {d} (t),}$ находящимся в заданной точке пространства.

Поле на близких расстояниях (ближняя зона)[править | править код]

В разделе не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). Информация должна быть проверяема, иначе она может быть удалена. Вы можете отредактировать статью, добавив ссылки на авторитетные источники в виде сносок. (2 марта 2016)

Поле точечного диполя, колеблющегося в вакууме, имеет вид

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {3\mathbf {n} (\mathbf {n} ,\mathbf {d} )-\mathbf {d} }{R^{3}}}+{\frac {3\mathbf {n} (\mathbf {n} ,{\dot {\mathbf {d} }})-{\dot {\mathbf {d} }}}{cR^{2}}}+{\frac {\mathbf {n} (\mathbf {n} ,{\ddot {\mathbf {d} }})-{\ddot {\mathbf {d} }}}{c^{2}R}}}$

${\displaystyle \mathbf {B} =\left[{\frac {\dot {\mathbf {d} }}{cR^{2}}}+{\frac {\ddot {\mathbf {d} }}{Rc^{2}}},\mathbf {n} \right]=\left[\mathbf {n} ,\mathbf {E} +{\frac {\mathbf {d} }{R^{3}}}\right],}$

где ${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {R} }{R}}}$ — единичный вектор в рассматриваемом направлении, ${\displaystyle c}$ — скорость света.

Этим выражениям можно придать несколько другую форму, если ввести вектор Герца

${\displaystyle \mathbf {Z} =-{\frac {1}{R}}\cdot \mathbf {d} \left(t-{\frac {R}{c}}\right).}$

Напомним, что диполь покоится в начале координат, так что ${\displaystyle \mathbf {d} }$ является функцией одной переменной. Тогда

${\displaystyle \mathbf {E} =-\operatorname {rot} \,\operatorname {rot} \,\mathbf {Z} ,}$

${\displaystyle \mathbf {B} =-{\frac {1}{c}}\operatorname {rot} \,{\dot {\mathbf {Z} }}.}$

При этом потенциалы поля можно выбрать в виде

${\displaystyle \mathbf {A} =-{\frac {\dot {\mathbf {Z} }}{c}},~~\phi =\operatorname {div} \,\mathbf {Z} .}$

Указанные формулы можно применять всегда, когда применимо дипольное приближение.

Дипольное излучение (излучение в волновой зоне или дальней зоне)[править | править код]

В разделе не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). Информация должна быть проверяема, иначе она может быть удалена. Вы можете отредактировать статью, добавив ссылки на авторитетные источники в виде сносок. (2 марта 2016)

Приведённые формулы существенно упрощаются, если размеры системы много меньше длины излучаемой волны, то есть скорости зарядов много меньше c, а поле рассматривается на расстояниях много больших, чем длина волны. Такую область поля называют волновой зоной. Распространяющуюся волну можно в этой области считать практически плоской. Из всех членов в выражениях для ${\displaystyle \mathbf {E} }$ и ${\displaystyle \mathbf {B} }$ существенными оказываются только члены, содержащие вторые производные от ${\displaystyle \mathbf {d} ,}$ так как

${\displaystyle {\frac {\dot {\mathbf {d} }}{c}}\approx {\frac {d}{\lambda }},}$

${\displaystyle {\frac {\ddot {\mathbf {d} }}{c^{2}}}\approx {\frac {d}{\lambda ^{2}}}.}$

Выражения для полей в системе СГС принимают вид

${\displaystyle \mathbf {H} ={\frac {1}{c^{2}R}}[{\ddot {\mathbf {d} }},\mathbf {n} ],~~\mathbf {H} =[\mathbf {n} ,\mathbf {E} ],}$

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{c^{2}R}}\left[[{\ddot {\mathbf {d} }},\mathbf {n} ],\mathbf {n} \right],~~\mathbf {E} =[\mathbf {B} ,\mathbf {n} ].}$

В плоской волне интенсивность излучения в телесный угол ${\displaystyle d\Omega }$ равна

${\displaystyle dI=c{\frac {H^{2}}{4\pi }}R^{2}d\Omega ,}$

поэтому для дипольного излучения

${\displaystyle dI={\frac {1}{4\pi c^{3}}}[{\ddot {\mathbf {d} }},\mathbf {n} ]^{2}d\Omega ={\frac {{\ddot {\mathbf {d} }}^{2}}{4\pi c^{3}}}\sin ^{2}{\theta }d\Omega .}$

где ${\displaystyle \theta }$ — угол между векторами ${\displaystyle {\ddot {\mathbf {d} }}}$ и ${\displaystyle \mathbf {n} .}$ Найдём полную излучаемую энергию. Учитывая, что ${\displaystyle d\Omega =2\pi \,\sin {\theta }\,d\theta ,}$ проинтегрируем выражение по ${\displaystyle d\theta }$ от ${\displaystyle 0}$ до ${\displaystyle \pi .}$ Полное излучение равно

${\displaystyle I={\frac {2}{3c^{3}}}{\ddot {\mathbf {d} }}^{2}.}$

Укажем спектральный состав излучения. Он получается заменой вектора ${\displaystyle {\ddot {\mathbf {d} }}}$ на его Фурье-компоненту и одновременным умножением выражения на 2. Таким образом,

${\displaystyle d{\mathcal {E}}_{\omega }={\frac {4\omega ^{4}}{3c^{3}}}\left|\mathbf {d} _{\omega }\right|^{2}{\frac {d\omega }{2\pi }}.}$

См. также[править | править код]

• Мультиполь
• Квадруполь
• Октуполь
• Дипольный момент
• Магнитный дипольный момент
• Диполярная система координат

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.
• Ахманов С. А., Никитин С. Ю., «Физическая оптика», 2004.