Кривая — Википедия

Крива́я или ли́ния — геометрическое понятие, определяемое в разных разделах математики различно.

Элементарная геометрия[править | править код]

В рамках элементарной геометрии понятие кривой не получает отчётливой формулировки. Например, в «Началах» Евклида она определялась как «длина без ширины», также иногда её определяли как «границу фигуры».

По существу в элементарной геометрии изучение кривых сводится к рассмотрению примеров (прямая, отрезок, ломаная, окружность и др.). Не располагая общими методами, элементарная геометрия довольно глубоко проникла в изучение свойств конкретных кривых (конические сечения, некоторые алгебраические кривые высших порядков и некоторые трансцендентные кривые), применяя в каждом случае специальные приёмы.

Определение в топологии[править | править код]

Отображение отрезка[править | править код]

Чаще всего кривая определяется как непрерывное отображение из отрезка в топологическое пространство:

${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to X}$

При этом кривые могут быть различными, даже если их образы совпадают. Такие кривые называют параметризованными кривыми или, если ${\displaystyle [a,b]=[0,1]}$, путями.

Отношение эквивалентности[править | править код]

Иногда кривая определяется с точностью до репараметризации, то есть с точностью до минимального отношения эквивалентности такого что параметрические кривые

${\displaystyle \gamma _{1}\colon [a_{1},b_{1}]\to X}$ и ${\displaystyle \gamma _{2}\colon [a_{2},b_{2}]\to X}$

эквивалентны, если существует непрерывная монотонная функция (иногда неубывающая) ${\displaystyle h}$ из отрезка ${\displaystyle [a_{1},b_{1}]}$ на отрезок ${\displaystyle [a_{2},b_{2}]}$, такая что

${\displaystyle \gamma _{1}\equiv \gamma _{2}\circ h.}$

Определяемые этим отношением классы эквивалентности называются непараметризованными кривыми или просто кривыми.

Комментарий[править | править код]

Приведённое определение во многом позволяет передать наше интуитивное представление о кривой как о чём-то, «нарисованном без отрыва карандаша». Однако это определение является слишком слабым, поскольку ему удовлетворяют многие фигуры, которые трудно считать кривыми.

Например, возможно построить такое непрерывное отображение отрезка в плоскость, что его образ заполняет квадрат (см. кривая Пеано). Более того, согласно теореме Мазуркевича, любое компактное связное и локально связное топологическое пространство является непрерывным образом отрезка. Таким образом, не только квадрат, но и куб любого числа измерений и даже гильбертов кирпич являются непрерывными образами отрезка.

Вышеизложенное показывает, что кривая не может быть определена как непрерывный образ отрезка, если на отображение не наложить дополнительных ограничений.

Кривая Жордана[править | править код]

Кривой Жордана или простой кривой называется образ непрерывного инъективного отображения (вложения) окружности или отрезка в пространство. В случае окружности кривая называется замкнутой кривой Жордана, а в случае отрезка — жордановой дугой.

Известная теорема Жордана утверждает, что любая замкнутая кривая Жордана на плоскости делит её на «внутреннюю» и «внешнюю» часть.

Кривая Жордана является довольно сложным объектом. Например, возможно построить плоскую кривую Жордана с ненулевой мерой Лебега, что было сделано Осгудом^[1] по аналогии с кривой Пеано.

Определение в анализе[править | править код]

В математическом анализе часто используется определение гладкой кривой. Определим сначала плоскую кривую (то есть кривую в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$). Пусть ${\displaystyle x(t)}$ и ${\displaystyle y(t)}$ — функции на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, непрерывно дифференцируемые на этом отрезке, и такие, что ${\displaystyle (x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}$ ни для какого t не равно нулю. Тогда отображение ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{2},t\mapsto (x(t),y(t))}$ задаёт кривую, которая является гладкой; непараметризованная кривая называется гладкой, если она допускает такую параметризацию. Длину гладкой кривой можно вычислить по формуле

${\displaystyle {\text{L}}(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}}\,dt.}$

Это определение можно обобщить на отображения в другие пространства, а также на отображения другого класса гладкости, см. ниже.

Определение в дифференциальной геометрии[править | править код]

Если ${\displaystyle X}$ — гладкое многообразие, можно определить гладкую кривую на ${\displaystyle X}$ как гладкое отображение ${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to X}$, дифференциал которого нигде не обращается в нуль. Если класс гладкости многообразия ${\displaystyle X}$ равен ${\displaystyle k}$, то ${\displaystyle C_{k}}$-кривая вводится как кривая, для которой ${\displaystyle \gamma }$ — ${\displaystyle k}$ раз непрерывно дифференцируемое отображение. Если ${\displaystyle X}$ — аналитическое многообразие^[en] (например, евклидово пространство) и ${\displaystyle \gamma }$ — аналитическое отображение, кривую называют аналитической.

Гладкие кривые ${\displaystyle \gamma _{1}\colon I\to X}$ и ${\displaystyle \gamma _{2}\colon J\to X}$ называются эквивалентными, если существует диффеоморфизм ${\displaystyle p\colon I\to J}$ (замена параметра), такой что ${\displaystyle \gamma _{1}=\gamma _{2}\circ p}$. Классы эквивалентности по этому отношению называют непараметризованными гладкими кривыми.

Алгебраические кривые[править | править код]

Алгебраические кривые изучаются в алгебраической геометрии. Плоская алгебраическая кривая — это множество точек с координатами ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, задаваемое множество решений уравнения ${\displaystyle f(x,y)=0}$, где ${\displaystyle f}$ — многочлен от двух переменных с коэффициентами в поле ${\displaystyle F}$. В алгебраической геометрии обычно принимают во внимание не только точки, координаты которых принадлежат ${\displaystyle F}$, но и точки с координатами в алгебраическом замыкании ${\displaystyle F}$. Если ${\displaystyle C}$ — плоская алгебраическая кривая, такая что коэффициенты определяющего её многочлена лежат в поле ${\displaystyle F}$, она называется кривой, определённой над ${\displaystyle F}$. Точки кривой, определённой над ${\displaystyle F}$, все координаты которых принадлежат ${\displaystyle G}$, называются рациональными над ${\displaystyle G}$ (или просто ${\displaystyle G}$-точками). Пример: кривая ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+1=0}$, определённая над действительными числами, имеет точки, однако ни одна из них не является действительной точкой.

Алгебраические кривые можно определить и в пространствах большей размерности; они определяются как множество решений системы полиномиальных уравнений.

Любая плоская кривая может быть дополнена до кривой на проективной плоскости. Если плоская кривая определяется многочленом ${\displaystyle f(x,y)}$ полной степени ${\displaystyle d}$, то многочлен

${\displaystyle z^{d}\cdot f(x/z,y/z)}$

после раскрытия скобок упрощается до однородного многочлена ${\displaystyle f(x,y,z)}$ степени ${\displaystyle d}$. Значения ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$, такие что ${\displaystyle f(x,y,z)=0}$ — однородные координаты пополнения плоской кривой, при этом точки исходной кривой — это точки, для которых ${\displaystyle z}$ не равно нулю. Пример: кривая Ферма ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$ в аффинной форме принимает вид ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=1}$. Процесс перехода от аффинной кривой к проективной можно обобщить и на более высокие размерности.

Часто встречающиеся примеры плоских кривых — коники (кривые второго порядка) и эллиптические кривые, имеющие важные приложения в криптографии. В качестве примеров алгебраических кривых, задаваемых уравнениями более высоких степеней, можно указать следующие:

• Кривые четвёртого порядка: лемниската Бернулли и овал Кассини.
• Кривые шестого порядка: астроида и нефроида.
• Кривая, определяемая уравнением произвольной чётной степени: (многофокусная) лемниската.

Трансцендентные кривые[править | править код]

Трансцендентные кривые — это кривые, не являющиеся алгебраическими. Более точно, трансцендентные кривые — кривые, которые можно задать как линию уровня аналитической, но не алгебраической функции (или, в многомерном случае, системы функций). Примеры трансцендентных кривых:

Типы кривых[править | править код]

• Замкнутая кривая — кривая, у которой начало совпадает с концом.
• Плоская кривая — кривая, все точки которой лежат в одной плоскости.
• Простая кривая — то же, что кривая Жордана.
• Путь — непрерывное отображение отрезка ${\displaystyle [0,1]}$ в топологическое пространство.

Типы точек на кривой[править | править код]

• Точка излома
• Касп
• Точка перегиба
• Двойная точка

Обобщённые кривые[править | править код]

Более общее определение кривой для случая плоскости было дано Кантором в 1870-e годы:

Канторовой кривой называется компактное связное подмножество плоскости такое, что его дополнение всюду плотно.

Важный пример канторовой кривой доставляет ковёр Серпинского. Какова бы ни была канторова кривая ${\displaystyle L}$, она может быть вложена в ковёр Серпинского, то есть в ковре Серпинского содержится подмножество ${\displaystyle L'}$, гомеоморфное ${\displaystyle L}$. Таким образом ковёр Серпинского является универсальной плоской канторовой кривой.

Впоследствии это определение было обобщено Урысоном:

Кривой Урысона называется связное компактное топологическое пространство ${\displaystyle C}$ топологической размерности 1.

Ковёр Серпинского удовлетворяет этому определению, так что всякая канторова кривая является также и кривой Урысона. Обратно, если плоский связный компакт является кривой Урысона, то он будет канторовой кривой.

См. также[править | править код]

• Кривая Осгуда
• Длина кривой
• Кривая второго порядка
• Кривизна
• Кривые и их каустики

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — 160 с.
• Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии. — Москва, Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 496 с. — (Современная математика). — ISBN 5-93972-300-4.
• Математический энциклопедический словарь. М. «Советская энциклопедия», 1988 г.
• Кривые // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

Ссылки[править | править код]

	В Викисловаре есть статья «кривая»

• Caustics (англ.)
• Surfaces, curves (англ.)
• специальные плоские кривые [1] (рус.)