Египетский математический кожаный свиток — Википедия

Египетский математический кожаный свиток
Египетский математический кожаный свиток
	Egyptian Mathematical Leather Roll
Язык оригинала	среднеегипетский
Оригинал издан	ок. 1650 до н.э.
Выпуск	1927

Египетский математический кожаный свиток — древнеегипетский кожаный свиток размером 25×43 см, приобретённый Александром Генри Риндом^[en] в 1858 году. В 1864 году вместе с папирусом Ахмеса он попал в Британский музей, но до 1927 года не подвергался химическому воздействию и не разворачивался.

Текст написан справа налево иератикой периода Среднего царства и датируется XVII веком до н. э.^[1].

Содержание[править | править код]

Кожаный свиток составлен для вычисления египетских дробей и содержит 26 сумм аликвотных дробей (то есть дробей с числителем 1), которые равны другой аликвотной дроби. Суммы перечислены в двух столбцах, в следующих двух столбцах содержатся точно такие же суммы^[2].

Из 26 перечисленных сумм 10 — это числа Ока Гора: ${\frac {1}{2}}$ , ${\frac {1}{4}}$ (дважды), ${\frac {1}{8}}$ (трижды), ${\frac {1}{16}}$ (дважды), ${\frac {1}{32}}$ , ${\frac {1}{64}}$ , преобразованные из египетских дробей. Есть ещё семь сумм, в которых чётные знаменатели пересчитаны из египетских дробей: ${\frac {1}{6}}$ (указано дважды, но единожды неверно), ${\frac {1}{10}}$ , ${\frac {1}{12}}$ , ${\frac {1}{14}}$ , ${\frac {1}{20}}$ и ${\frac {1}{30}}$ . Например, три преобразования ${\frac {1}{8}}$ следовали за одним или двумя масштабными множителями, как альтернативой:

${\frac {1}{8}}\times {\frac {3}{3}}={\frac {3}{24}}={\frac {2+1}{24}}={\frac {1}{12}}+{\frac {1}{24}}$
${\frac {1}{8}}\times {\frac {5}{5}}={\frac {5}{40}}={\frac {4+1}{40}}={\frac {1}{10}}+{\frac {1}{40}}$
${\frac {1}{8}}\times {\frac {25}{25}}={\frac {25}{200}}={\frac {8+17}{200}}={\frac {1}{25}}+({\frac {17}{200}}\times {\frac {6}{6}})={\frac {1}{25}}+{\frac {102}{1200}}={\frac {1}{25}}+{\frac {80+16+6}{1200}}={\frac {1}{25}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{75}}+{\frac {1}{200}}$

Наконец, 9 сумм с нечётными знаменателями переведены из египетских дробей: ${\frac {2}{3}}$ , ${\frac {1}{3}}$ (дважды), ${\frac {1}{5}}$ , ${\frac {1}{7}}$ , ${\frac {1}{9}}$ , ${\frac {1}{11}}$ , ${\frac {1}{13}}$ и ${\frac {1}{15}}$ .

Эксперты Британского музея не нашли ни введения, ни описания того, как и почему были рассчитаны серии эквивалентных долей^[3]. Эквивалентные дроби связаны с ${\frac {1}{3}}$ , ${\frac {1}{4}}$ , ${\frac {1}{8}}$ и ${\frac {1}{16}}$ . Произошла ошибка, связанная с последней ${\frac {1}{15}}$ серией дробей. Серия ${\frac {1}{15}}$ названа равной ${\frac {1}{6}}$ . Другая серьёзная ошибка связана с ${\frac {1}{13}}$ , которую эксперты 1927 года не попытались решить.

Современный анализ[править | править код]

Оригинальные математические тексты никогда не объясняют, откуда берутся вычисления и формулы. То же касается и кожаного свитка. Учёные предположили, что методы древних египтян, возможно, использовались для построения таблицы дробей в свитке, Папирусе Ахмеса и Математическом папирусе из Лахуна^[en]. Оба типа таблиц использовались, чтобы помочь при вычислениях дробей и составления единиц измерения^[2].

В кожаном свитке имеются группы схожих дробей. Например, строки 5 и 6 легко объединяются в уравнение ${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{2}}$ . Легко вывести строки 11, 13, 24, 20, 21, 19, 23, 22, 25 и 26, разделив это уравнение на 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 16 и 32 соответственно^[4].

Некоторые проблемы поддаются решению с помощью алгоритма, который включает умножение числителя и знаменателя на один и тот же член, а затем дальнейшее деление полученного уравнения:

{\frac {1}{pq}}={\frac {1}{N}}\times {\frac {N}{pq}}

Этот метод приводит к решению дроби ${\frac {1}{8}}$ из свитка, где N = 25 (с использованием современных математических обозначений)^[5]:

{\frac {1}{8}}={\frac {1}{25}}\times {\frac {25}{8}}={\frac {1}{5}}\times {\frac {25}{40}}={\frac {1}{5}}\times \left({\frac {3}{5}}+{\frac {1}{40}}\right)={\frac {1}{5}}\times \left({\frac {1}{5}}+{\frac {2}{5}}+{\frac {1}{40}}\right)={\frac {1}{5}}\times \left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{40}}\right)={\frac {1}{25}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{75}}+{\frac {1}{200}}

С момента прочтения свитка в 1927 году он расценивается как обучающее пособие писцам. Писец тренировался в преобразовании рациональных чисел 1/p и 1/pq в равные дроби.

Хронология[править | править код]

Следующая хронология показывает несколько этапов, которые ознаменовали недавний прогресс в познании расчётов свитка, связанного с таблицей 2/n Математического папируса Ринда.

1895 — Гульч предположил, что все серии 2/p папируса закодированы кратными частями^[6].
1927 — Гланвилл^[en] пришёл к выводу, что арифметика кожаного свитка сводилась к сложению^[7].
1929 — по мнению Фогеля^[de], кожаный свиток важнее папируса Ринда, несмотря на то, что содержит лишь 25 рядов дробей^[8].
1950 — Брёйнс^[de] независимо подтверждает выводы Гульча^[9].
1972 — Джиллингс нашёл решение наиболее простой проблемы папируса Ринда — серия 2/pq^[10].
1982 — Кнорр^[en] идентифицирует дроби папируса Ринда 2/35, 2/91 и 2/95 как исключения из 2/pq^[11].
2002 — Гарднер выделяет пять отдельных структур свитка^[5].

См. также[править | править код]

Египетские математические тексты:

Московский математический папирус
Математический папирус из Лахуна^[en]
Берлинский папирус 6619^[en]
Деревянная табличка Ахмима^[en]
Папирус Райзнера^[en]
Папирус Ахмеса

Другое:

Примечания[править | править код]

↑ Clagett, Marshall. Ancient Egyptian Science: A Source Book. — Philadelphia: American Philosophical Society, 1999. — Т. 3: Ancient Egyptian Mathematics. Memoirs of the American Philosophical Society 232. — С. 17–18, 25, 37–38, 255–257.
↑ ¹ ² Annette Imhausen. The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook / Victor J. Katz. — 2007. — С. 21–22.
↑ Gillings, Richard J. The Egyptian Mathematical Leather Role–Line 8. How Did the Scribe Do it? // Historia Mathematica. — 1981. — С. 456–457.
↑ Gillings, Richard J. Mathematics in the Time of the Pharaohs. — Dover Publications, 1982. — ISBN 0-486-24315-X.
↑ ¹ ² Gardner, Milo. The Egyptian Mathematical Leather Roll, Attested Short Term and Long Term” History of the Mathematical Sciences / Ivor Grattan-Guinness, B.C. Yadav. — New Delhi: Hindustan Book Agency, 2002. — С. 119–134.
↑ Hultsch, F. Die Elemente der Aegyptischen Theilungsrechnung 8, Übersicht über die Lehre von den Zerlegungen. — 1895. — С. 167–171.
↑ Glanville, S. R. K. The Mathematical Leather Roll in the British Museum // Journal of Egyptian Archaeology. — London, 1927. — № 13. — С. 232–238.
↑ Vogel, Kurt. Erweitert die Lederolle unsere Kenntniss ägyptischer Mathematik // Archiv für Geschichte der Mathematik. — Berlin: Julius Schuster, 1929. — Т. 2. — С. 386–407.
↑ Bruins, Evert M. Platon et la table égyptienne 2/n // Janus. — Amsterdam, 1957. — № 46. — С. 253–263.
↑ Gillings, Richard J. The Egyptian Mathematical Leather Roll. — Mathematics in the Time of the Pharaohs. — Cambridge, Mass.: MIT Press, 1972. — С. 95—96.
↑ Knorr, Wilbur R. Techniques of Fractions in Ancient Egypt and Greece // Historia Mathematica. — Berlin, 1982. — № 9. — С. 133–171.

Ссылки[править | править код]

EMLR Egyptian Mathematical Leather
Теоретические (ожидаемые) контрольные числа
RMP 35 - 38 плюс RMP 66

[1] Clagett, Marshall. Ancient Egyptian Science: A Source Book. — Philadelphia: American Philosophical Society, 1999. — Т. 3: Ancient Egyptian Mathematics. Memoirs of the American Philosophical Society 232. — С. 17–18, 25, 37–38, 255–257.

[:0-2] ¹ ² Annette Imhausen. The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook / Victor J. Katz. — 2007. — С. 21–22.

[3] Gillings, Richard J. The Egyptian Mathematical Leather Role–Line 8. How Did the Scribe Do it? // Historia Mathematica. — 1981. — С. 456–457.

[4] Gillings, Richard J. Mathematics in the Time of the Pharaohs. — Dover Publications, 1982. — ISBN 0-486-24315-X.

[:1-5] ¹ ² Gardner, Milo. The Egyptian Mathematical Leather Roll, Attested Short Term and Long Term” History of the Mathematical Sciences / Ivor Grattan-Guinness, B.C. Yadav. — New Delhi: Hindustan Book Agency, 2002. — С. 119–134.

[6] Hultsch, F. Die Elemente der Aegyptischen Theilungsrechnung 8, Übersicht über die Lehre von den Zerlegungen. — 1895. — С. 167–171.

[7] Glanville, S. R. K. The Mathematical Leather Roll in the British Museum // Journal of Egyptian Archaeology. — London, 1927. — № 13. — С. 232–238.

[8] Vogel, Kurt. Erweitert die Lederolle unsere Kenntniss ägyptischer Mathematik // Archiv für Geschichte der Mathematik. — Berlin: Julius Schuster, 1929. — Т. 2. — С. 386–407.

[9] Bruins, Evert M. Platon et la table égyptienne 2/n // Janus. — Amsterdam, 1957. — № 46. — С. 253–263.

[10] Gillings, Richard J. The Egyptian Mathematical Leather Roll. — Mathematics in the Time of the Pharaohs. — Cambridge, Mass.: MIT Press, 1972. — С. 95—96.

[11] Knorr, Wilbur R. Techniques of Fractions in Ancient Egypt and Greece // Historia Mathematica. — Berlin, 1982. — № 9. — С. 133–171.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

Столбец 1	Столбец 2	Столбец 3	Столбец 4
${\frac {1}{10}}+{\frac {1}{40}}={\frac {1}{8}}$	${\frac {1}{30}}+{\frac {1}{45}}+{\frac {1}{90}}={\frac {1}{15}}$	${\frac {1}{10}}+{\frac {1}{40}}={\frac {1}{8}}$	${\frac {1}{18}}+{\frac {1}{36}}={\frac {1}{12}}$
${\frac {1}{5}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{4}}$	${\frac {1}{24}}+{\frac {1}{48}}={\frac {1}{16}}$	${\frac {1}{5}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{4}}$	${\frac {1}{21}}+{\frac {1}{42}}={\frac {1}{14}}$
${\frac {1}{4}}+{\frac {1}{12}}={\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{18}}+{\frac {1}{36}}={\frac {1}{12}}$	${\frac {1}{4}}+{\frac {1}{12}}={\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{45}}+{\frac {1}{90}}={\frac {1}{30}}$
${\frac {1}{10}}+{\frac {1}{10}}={\frac {1}{5}}$	${\frac {1}{21}}+{\frac {1}{42}}={\frac {1}{14}}$	${\frac {1}{10}}+{\frac {1}{10}}={\frac {1}{5}}$	${\frac {1}{30}}+{\frac {1}{60}}={\frac {1}{20}}$
${\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{45}}+{\frac {1}{90}}={\frac {1}{30}}$	${\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{15}}+{\frac {1}{30}}={\frac {1}{10}}$
${\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{2}}$	${\frac {1}{30}}+{\frac {1}{60}}={\frac {1}{20}}$	${\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{2}}$	${\frac {1}{48}}+{\frac {1}{96}}={\frac {1}{32}}$
${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}={\frac {2}{3}}$	${\frac {1}{15}}+{\frac {1}{30}}={\frac {1}{10}}$	${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}={\frac {2}{3}}$	${\frac {1}{96}}+{\frac {1}{192}}={\frac {1}{64}}$
${\frac {1}{25}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{75}}+{\frac {1}{200}}={\frac {1}{8}}$	${\frac {1}{48}}+{\frac {1}{96}}={\frac {1}{32}}$	${\frac {1}{25}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{75}}+{\frac {1}{200}}={\frac {1}{8}}$
${\frac {1}{50}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{150}}+{\frac {1}{400}}={\frac {1}{16}}$	${\frac {1}{96}}+{\frac {1}{192}}={\frac {1}{64}}$	${\frac {1}{50}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{150}}+{\frac {1}{400}}={\frac {1}{16}}$
${\frac {1}{25}}+{\frac {1}{50}}+{\frac {1}{150}}={\frac {1}{15}}$	${\frac {1}{25}}+{\frac {1}{50}}+{\frac {1}{150}}={\frac {1}{6}}$
${\frac {1}{9}}+{\frac {1}{18}}={\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{9}}+{\frac {1}{18}}={\frac {1}{6}}$
${\frac {1}{7}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{28}}={\frac {1}{4}}$	${\frac {1}{7}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{28}}={\frac {1}{4}}$
${\frac {1}{12}}+{\frac {1}{24}}={\frac {1}{8}}$	${\frac {1}{12}}+{\frac {1}{24}}={\frac {1}{8}}$
${\frac {1}{14}}+{\frac {1}{21}}+{\frac {1}{42}}={\frac {1}{7}}$	${\frac {1}{14}}+{\frac {1}{21}}+{\frac {1}{42}}={\frac {1}{7}}$
${\frac {1}{18}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{54}}={\frac {1}{9}}$	${\frac {1}{18}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{54}}={\frac {1}{9}}$
${\frac {1}{22}}+{\frac {1}{33}}+{\frac {1}{66}}={\frac {1}{11}}$	${\frac {1}{22}}+{\frac {1}{33}}+{\frac {1}{66}}={\frac {1}{11}}$
${\frac {1}{28}}+{\frac {1}{49}}+{\frac {1}{196}}={\frac {1}{13}}$	${\frac {1}{28}}+{\frac {1}{49}}+{\frac {1}{196}}={\frac {1}{13}}$
${\frac {1}{30}}+{\frac {1}{45}}+{\frac {1}{90}}={\frac {1}{15}}$
${\frac {1}{24}}+{\frac {1}{48}}={\frac {1}{16}}$