Teorema de Linnik – Wikipédia, a enciclopédia livre

Em teoria analítica dos números o Teorema de Linnik é uma resposta a uma questão sobre Teorema de Dirichlet sobre progressões aritméticas. Ele afirma que existem números positivos c e L tais que, se representarmos p(a,d) o menor primo em progressão aritmética

${\displaystyle a+nd,\ }$

onde n percorre o conjunto dos inteiros positivos; e a e d são quaisquer inteiros co-primos no intervalo 1 ≤ a ≤ d - 1, então:

${\displaystyle p(a,d)<cd^{L}.\;}$

O teorema tem este nome devido a Yuri Vladimirovitch Linnik, que o provou em 1944.^[1][2] Embora a prova de Linnik mostrasse que c e L serem efetivamente computáveis, ele não forneceu valores numéricos para eles.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Sabe-se que para L ≤ 2 para quase todos os inteiros d.^[3]

Na hipótese generalizada de Riemann pode-se mostrar que

${\displaystyle p(a,d)\leq (1+o(1))\varphi (d)^{2}\ln ^{2}d\;,}$

onde ${\displaystyle \varphi }$ é a função totiente.^[4]

Há ainda uma conjectura de que:

${\displaystyle p(a,d)<d^{2}.\;}$ ^[4]

Limites para L[editar | editar código-fonte]

A constante L é chamada de constante de Linnik e a tabela a seguir mostra o progresso que tem sido feito em determinar seu tamanho.

Além disso, no resultado de Heath-Brown', a constante c é efetivamente computável.

Notas[editar | editar código-fonte]