Diagrama mostrando uma série geométrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ que converge para 2. Uma progressão geométrica (abreviada como P.G.) é uma sequência numérica na qual cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante , chamada de razão da progressão geométrica.[ 1] q {\displaystyle q} quociente ").
Alguns exemplos de progressão geométrica:
( 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128 , 256 , 512 , 1024 , 2048 , … ) , {\displaystyle \left(1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,\ldots \right),} q = 2 {\displaystyle q=2} a 1 = 1 ; {\displaystyle a_{1}=1;} [ 1] ( 1 , 1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 , 1 32 , 1 64 , 1 128 , 1 256 , … ) , {\displaystyle \left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},{\frac {1}{16}},{\frac {1}{32}},{\frac {1}{64}},{\frac {1}{128}},{\frac {1}{256}},\ldots \right),} q = 1 2 {\displaystyle q={\frac {1}{2}}} a 1 = 1 ; {\displaystyle a_{1}=1;} ( − 3 , 9 , − 27 , 81 , − 243 , 729 , − 2187 , … ) , {\displaystyle \left(-3,9,-27,81,-243,729,-2187,\ldots \right),} q = − 3 {\displaystyle q=-3} a 1 = − 3 ; {\displaystyle a_{1}=-3;} ( 7 , 7 , 7 , 7 , 7 , 7 , 7 , 7 , 7 , 7 , … ) , {\displaystyle \left(7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,\ldots \right),} q = 1 {\displaystyle q=1} a 1 = 7 ; {\displaystyle a_{1}=7;} ( 3 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , … ) , {\displaystyle \left(3,0,0,0,0,0,0,0,0,0,\ldots \right),} q = 0 {\displaystyle q=0} a 1 = 3 ; {\displaystyle a_{1}=3;} Costuma-se denotar por a n {\displaystyle a_{n}} a 1 {\displaystyle a_{1}} q .
A sucessão dos termos é obtida por recursão :
a n = a 1 , n = 1 ; {\displaystyle a_{n}=a_{1},n=1;} a n + 1 = q ⋅ a n , n = 2 , 3 , 4 , … . {\displaystyle a_{n+1}=q\cdot a_{n},n=2,3,4,\ldots .} Podemos demonstrar por indução matemática que:
a n = a 1 . q n − 1 . {\displaystyle a_{n}=a_{1}.q^{n-1}.} De modo geral, o n-ésimo termo pode ser calculado a partir do m-ésimo termo simplesmente por:
a n = a m q n − m , n , m ∈ Z {\displaystyle a_{n}=a_{m}\ q^{n-m},~~n,m\in \mathbb {Z} } A soma dos termos de uma P.G., a partir do primeiro, é definida por
S n = ∑ i = 1 n a 1 q i − 1 = a 1 + a 1 q + a 1 q 2 + … + a 1 q n − 1 . {\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{1}q^{i-1}=a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}+\ldots +a_{1}q^{n-1}.} Caso q ≠ 1 , {\displaystyle q\neq 1,}
S n = a 1 ( 1 − q n ) 1 − q {\displaystyle S_{n}={\frac {a_{1}(1-q^{n})}{1-q}}} Essa fórmula pode ser explicada dessa maneira:
S n = a 1 + a 1 q + … + a 1 q n − 1 . {\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{1}\ q+\ldots +a_{1}\ q^{n-1}.} Multiplica-se pela razão q : {\displaystyle q:}
q S n = a 1 q + a 1 q 2 + … + a 1 q n . {\displaystyle q\ S_{n}=a_{1}\ q+a_{1}\ q^{2}+\ldots +a_{1}\ q^{n}.} Subtrai-se a primeira da segunda (qSn - Sn), pois qSn >= Sn, se fizer o contrário irá sempre gerar um valor negativo. Cancelam-se os termos repetidos:
q S n − S n = a 1 q n − a 1 , {\displaystyle q\ S_{n}-S_{n}=a_{1}\ q^{n}-a_{1},} o que é equivalente (através de fatoração por fator comum) a
( q − 1 ) S n = a 1 ( q n − 1 ) . {\displaystyle \left(q-1\right)S_{n}=a_{1}\left(q^{n}-1\right).} Divide-se ambos os termos por ( q − 1 ) ≠ 0 {\displaystyle (q-1)\neq 0}
Soma dos termos dentro de um intervalo da P.G. [ editar | editar código-fonte ] A soma dos termos de uma progressão geométrica situados no intervalo fechado de a m {\displaystyle a_{m}} a n {\displaystyle a_{n}}
S ( m , n ) = a m ( q n − m + 1 − 1 ) q − 1 . {\displaystyle S_{(m,n)}={\frac {a_{m}(q^{n-m+1}-1)}{q-1}}.} Soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica [ editar | editar código-fonte ] A soma dos infinitos termos de uma P.G. é chamada série geométrica e está bem definida quando | q | < 1. {\displaystyle |q|<1.}
S ∞ = ∑ n = 1 ∞ a 1 q n − 1 = a 1 1 − q . {\displaystyle S_{\infty }=\sum _{n=1}^{\infty }a_{1}q^{n-1}={\frac {a_{1}}{1-q}}.} Se q ≥ 1 {\displaystyle q\geq 1} a 1 > 0 {\displaystyle a_{1}>0} mais infinito e se q ≥ 1 {\displaystyle q\geq 1} a 1 < 0 , {\displaystyle a_{1}<0,} menos infinito .
S ∞ = { a 1 1 − q , | q | < 1 + ∞ , q ≥ 1 , a 1 > 0 − ∞ , q ≥ 1 , a 1 < 0 0 , a 1 = 0. {\displaystyle S_{\infty }=\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {a_{1}}{1-q}},&|q|<1\\+\infty ,&q\geq 1,a_{1}>0\\-\infty ,&q\geq 1,a_{1}<0\\0,&a_{1}=0.\end{array}}\right.} Obs.: Esta tabela não esgota todos os casos. Ver o caso q ≤ − 1 , {\displaystyle q\leq -1,} q {\displaystyle q} complexo . O tratamento destas séries pode ser visto no artigo sobre séries divergentes .
Produto dos termos de uma progressão geométrica [ editar | editar código-fonte ] O produto dos termos de uma progressão geométrica, a partir do primeiro, é dada por
P n = a 1 n . q n . ( n − 1 ) 2 , {\displaystyle P_{n}=a_{1}^{n}.q^{\frac {n.(n-1)}{2}},} e também pode ser determinado sem o conhecimento da razão:
P n = ∏ i = 1 n a i = ( a 1 × a n ) n 2 , {\displaystyle P_{n}=\prod _{i=1}^{n}a_{i}=(a_{1}\times a_{n})^{\frac {n}{2}},} sendo similar à forma do somatório de uma
progressão aritmética .
Uma progressão geométrica constante é toda P.G em que todos os termos são iguais, sendo que para isso sua razão q {\displaystyle q} 1 .
Exemplos de progressões geométricas constantes :
( 4 , 4 , 4 , 4 , 4 , 4 , 4 , 4 , . . . ) {\displaystyle (4,4,4,4,4,4,4,4,...)} q = 1 {\displaystyle q=1} a 1 = 4 {\displaystyle a_{1}=4} ( 6 , 6 , 6 , 6 , 6 , 6 , 6 , 6 , . . . ) {\displaystyle (6,6,6,6,6,6,6,6,...)} q = 1 {\displaystyle q=1} a 1 = 6 {\displaystyle a_{1}=6} Uma progressão geométrica crescente é toda P.G em que a razão q {\displaystyle q} 1 e seu primeiro termo a 1 {\displaystyle a_{1}} 0 ou quando sua razão q {\displaystyle q} 0 e 1 e seu primeiro termo a 1 {\displaystyle a_{1}} 0 . Obedecendo assim a ordem: q > 1 {\displaystyle q>1} a 1 > 0 {\displaystyle a_{1}>0} 0 < q < 1 {\displaystyle 0<q<1} a 1 < 0. {\displaystyle a_{1}<0.}
Exemplos de progressões geométricas crescentes:
( 1 , 3 , 9 , 27 , 81 , . . . ) {\displaystyle (1,3,9,27,81,...)} q = 3 {\displaystyle q=3} a 1 = 1. {\displaystyle a_{1}=1.} ( − 4 ; − 2 ; − 1 ; − 0 , 5 ; − 0 , 25 ; . . . ) {\displaystyle (-4;-2;-1;-0,5;-0,25;...)} q = 0 , 5 {\displaystyle q=0,5} a 1 = − 4. {\displaystyle a_{1}=-4.} Uma progressão geométrica decrescente é toda P.G em que a razão q {\displaystyle q} 1 e seu primeiro termo a 1 {\displaystyle a_{1}} 0 ou quando sua razão q {\displaystyle q} 0 e 1 e seu primeiro termo a 1 {\displaystyle a_{1}} 0 . Obedecendo assim a ordem: q > 1 {\displaystyle q>1} a 1 < 0 {\displaystyle a_{1}<0} 0 < q < 1 {\displaystyle 0<q<1} a 1 > 0. {\displaystyle a_{1}>0.}
Exemplos de progressões geométricas decrescentes:
( − 4 , − 8 , − 16 , − 32 , − 64 , . . . ) {\displaystyle (-4,-8,-16,-32,-64,...)} q = 2 {\displaystyle q=2} a 1 = − 4. {\displaystyle a_{1}=-4.} ( 64 , 32 , 16 , 8 , 4 , . . . ) {\displaystyle (64,32,16,8,4,...)} q = 1 / 2 {\displaystyle q=1/2} a 1 = 64. {\displaystyle a_{1}=64.} Uma progressão geométrica oscilante é toda P.G em que a razão q {\displaystyle q} número negativo , fazendo com que a sequência numérica intercale entre números positivos e negativos. Sendo assim, obedece a ordem: q < 0. {\displaystyle q<0.}
Exemplos de progressões geométricas oscilantes:
( 3 , − 6 , 12 , − 24 , 48 , . . . ) {\displaystyle (3,-6,12,-24,48,...)} q = − 2 {\displaystyle q=-2} a 1 = 3. {\displaystyle a_{1}=3.} ( 4 , − 16 , 64 , − 256 , 1024 , . . . ) {\displaystyle (4,-16,64,-256,1024,...)} q = − 4 {\displaystyle q=-4} a 1 = 4. {\displaystyle a_{1}=4.} Abaixo temos uma tabela na qual o termo a n = 1 = 2 {\displaystyle a_{n=1}=2} a n = 2 = 6 , {\displaystyle a_{n=2}=6,}
P n = a 1 ⋅ q ( n − 1 ) {\displaystyle P_{n}=a_{1}\cdot q^{(n-1)}} q = a 2 ( 6 ) a 1 ( 2 ) = 3 {\displaystyle q={\frac {a_{2}(6)}{a_{1}(2)}}=3} n {\displaystyle n} a {\displaystyle a} 1 2 2 6 3 18 4 54 5 162 6 486 7 1.458 8 4.374 9 13.122 10 39.366 11 118.098 12 354.294 13 1.062.882 14 3.188.646 15 9.565.938 16 28.697.814 17 86.093.442 18 258.280.326 19 774.840.978 20 2.324.522.934
Qual é o 8º termo da PG acima?
P 8 = 2 ⋅ 3 ( 8 − 1 ) = 2 ⋅ 3 7 = 2 ⋅ 2.187 = 4.374 {\displaystyle {\begin{aligned}P_{8}&=2\cdot 3^{(8-1)}\\&=2\cdot 3^{7}\\&=2\cdot 2.187\\&=4.374\end{aligned}}} É possível a obtenção do enésimo termo da progressão geométrica dado dois outros termos quaisquer, conforme explicações:
Inicialmente é necessário obter-se o quociente( q {\displaystyle q}
q = P n P m n − m {\displaystyle {\begin{aligned}q&={\sqrt[{n-m}]{\frac {P_{n}}{P_{m}}}}\end{aligned}}} Após obtido o quociente( q {\displaystyle q} e {\displaystyle e} n , {\displaystyle n,} ( n − e ) . {\displaystyle (n-e).}
P e = P n q ( n − e ) {\displaystyle {\begin{aligned}P_{e}&={\frac {Pn}{{q}^{(n-e)}}}\end{aligned}}} Exemplo ilustrativo
Dado que uma Progressão Geométrica tem o 5º termo( m {\displaystyle m} n {\displaystyle n} e {\displaystyle e}
q = 156.250 1.250 8 − 5 q = 125 3 q = 5 {\displaystyle {\begin{aligned}q&={\sqrt[{8-5}]{\frac {156.250}{1.250}}}\\q&={\sqrt[{3}]{125}}\\q&=5\end{aligned}}} Agora usando o quociente ( q {\displaystyle q} P e {\displaystyle P_{e}}
P e = 156.250 5 ( 8 − 2 ) P e = 156.250 5 6 P e = 156.250 15.625 P e = 10 {\displaystyle {\begin{aligned}P_{e}&={\frac {156.250}{5^{(8-2)}}}\\P_{e}&={\frac {156.250}{5^{6}}}\\P_{e}&={\frac {156.250}{15.625}}\\P_{e}&=10\end{aligned}}} O 2º termo da PG dada é igual a 10. Referências 
French
Deutsch
Ver artigo principal: série geométrica
![{\displaystyle {\begin{aligned}q&={\sqrt[{n-m}]{\frac {P_{n}}{P_{m}}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/619b44039df146fb08c6b404ced530e83a6b3e13)
![{\displaystyle {\begin{aligned}q&={\sqrt[{8-5}]{\frac {156.250}{1.250}}}\\q&={\sqrt[{3}]{125}}\\q&=5\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff5ca6a2250d9488b9cc56676f20490e6e43b6ac)
