Equação de convecção-difusão – Wikipédia, a enciclopédia livre

A equação de convecção-difusão é uma equação parabólica em derivadas parciais, a qual descreve o fenômeno físico onde partículas ou energia (ou outras grandezas físicas) são transferidas dentro de um sistema devido a dois processos: difusão e convecção. Nesta forma mais simples (quando o coeficiente de difusão e a velocidade de convecção são constantes e não há fontes ou fugas) a equação toma a forma^[1][2][3]:

${\displaystyle {\big .}{\frac {\partial c}{\partial t}}=D\,\nabla ^{2}c-{\vec {v}}\cdot \nabla c.}$

Os dois termos no lado direito representam processos físicos diferentes: o primeiro corresponde a difusão normal enquanto o segundo descreve convecção ou advecção – o qual é o motivo pelo qual a equação é também conhecida como a equação de advecção-difusão. Além disso c é a variável de interesse, a constante D é o coeficiente de difusão, e ${\displaystyle {\vec {v}}}$ é a velocidade.

Equação de convecção-difusão com coeficientes constantes[editar | editar código-fonte]

Quando ${\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}}$ é constante, podemos encontrar uma solução clássica para a equação do transporte.^[4] Uma forma de obtermos uma tal solução é impondo uma condição inicial.

Problema de valor inicial[editar | editar código-fonte]

Consideremos, primeiro, o caso homogêneo, isto é, ${\displaystyle f\equiv 0}$. Definindo uma condição inicial para ${\displaystyle \Phi }$ temos o seguinte problema de valor inicial:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\Phi +\mathbf {v} \cdot \nabla \Phi =0}$

${\displaystyle \Phi (x,0)=g}$

onde, ${\displaystyle \Phi =\Phi (x,t)}$ com ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ e ${\displaystyle t\in [0,~\infty )}$. Além disso, assumimos que ${\displaystyle g\in C^{1}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )}$, i.e. ${\displaystyle g}$ é uma vez continuamente diferenciável.

Com isso, podemos mostrar que a solução deste problema é:

${\displaystyle \Phi (x,t)=g(x-t\mathbf {v} ),~{\text{para todo }}(x,t)\in \mathbb {R} ^{n}\times [0,~\infty )}$.

Com feito, esta solução satisfaz a condição inicial e, além disso, substituindo ${\displaystyle \Phi }$ na equação do transporte homogênea vemos que:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\Phi +\mathbf {v} \cdot \nabla \Phi =-\mathbf {v} \cdot \nabla g(x-t\mathbf {v} )+\mathbf {v} \cdot \nabla g(x-t\mathbf {v} )=0}$.

Ou seja, ${\displaystyle \Phi }$ definida acima é de fato solução do problema.

Caso não-homogêneo[editar | editar código-fonte]

Aqui, encontramos uma solução clássica para o seguinte problema de valor inicial:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\Phi +\mathbf {v} \cdot \nabla \Phi =f}$

${\displaystyle \Phi (x,0)=g}$

onde, ${\displaystyle \Phi }$ e ${\displaystyle g}$ estão definidas como acima e ${\displaystyle f\in C^{0}(\mathbb {R} ^{n}\times (0,\infty ),~\mathbb {R} )}$.

Para buscarmos uma solução para este problema, definimos:

${\displaystyle z(s)=\Phi (x+s\mathbf {v} ,~t+s)}$

o que nos dá:

${\displaystyle {\frac {d}{ds}}z(s)=f(x+s\mathbf {v} ,~t+s)}$.

Logo:

${\displaystyle \int _{0}^{t}f(x+(s-t)\mathbf {v} ,~s)~ds=\int _{-t}^{0}f(x+s\mathbf {v} ,~t+s)~ds=z(0)-z(-t)=\Phi (x,t)-g(x-t\mathbf {v} )}$.

Portanto:

${\displaystyle \Phi (x,t)=g(x-t\mathbf {v} )+\int _{0}^{t}f(x+(s-t)\mathbf {v} ,~s)~ds,~{\text{para todo }}(x,t)\in \mathbb {R} ^{n}\times [0,~\infty )}$

é solução clássica do problema dado.

Derivação[editar | editar código-fonte]

A equação de convecção-difusão pode ser derivada em uma forma simplificada da equação de continuidade, a qual estabelece que a taxa de alteração para uma grandeza escalar em um volume de controle diferencial é dado por fluxo e difusão dentro e fora da parte do sistema, juntamente com toda a geração ou o consumo dentro do volume de controle:

${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}+\nabla \cdot {\vec {j}}=s,}$

onde ${\displaystyle {\vec {j}}}$ é o fluxo total e s é uma fonte volumétrica líquida (resultado de balanço) para c. Na ausência de fluxo físico, este fluxo pode ser descrito através da fenomenológica primeira lei de Fick, a qual assume que o fluxo de material em difusão em qualquer parte do sistema é proporcional ao gradiente local. Quando há convecção ou fluxo, o fluxo total é dado pela soma do fluxo difusivo e que é conhecido como o fluxo convectivo ${\displaystyle {\vec {v}}\,c}$.

Combinando-se estes dois termos o fluxo total torna-se:

${\displaystyle {\vec {j}}=-D\,\nabla c+{\vec {v}}c.}$

A substituição desta equação na equação de continuidade dá a forma geral da equação de convecção–difusão:

${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}+\nabla \cdot \left({\vec {-D\,\nabla c+{\vec {v}}\,c}}\right)=s.}$

Referências[editar | editar código-fonte]

• Granville Sewell, The Numerical Solution of Ordinary and Partial Differential Equations, Academic Press (1988). ISBN 0-12-637475-9
• Armando de Oliveira Fortuna; TECNICAS COMPUTACIONAIS PARA DINAMICA DOS FLUIDOS: CONCEITOS BÁSICOS E APLICAÇÕES; EdUSP, 2000 - 426 páginas

Ver também[editar | editar código-fonte]

• Equação de difusão
• Equação Nernst–Planck